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知识体系构建
分式
分式及其性质
分式的概念——分子、分母是①
基本性质——$\frac{A}{B}=\frac{A · C}{B · C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A ÷ C}{B ÷ C}(C≠0)$，其中A，B，C是整式
约分——公因式
最简分式
通分——最简公分母
分式的运算
乘法法则
除法法则
乘方法则
加减法法则
混合运算
负整数指数幂——用科学记数法表示绝对值小于1的数
分式方程
概念——③
基本思想→转化思想
解法
分式方程的实际应用
分式有意义的条件：分母不为0
检验是否是原分式方程的解
分式
分式及其性质
分式的概念——分子、分母是①
整式
，且分母中含有②字母
基本性质——$\frac{A}{B}=\frac{A · C}{B · C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A ÷ C}{B ÷ C}(C≠0)$，其中A，B，C是整式
约分——公因式
最简分式
通分——最简公分母
分式的运算
乘法法则
除法法则
乘方法则
加减法法则
混合运算
负整数指数幂——用科学记数法表示绝对值小于1的数
分式方程
概念——③
分母
中含未知数的方程基本思想→转化思想
解法
分式方程的实际应用
分式有意义的条件：分母不为0
检验是否是原分式方程的解
答案
① 整式
② 字母
③ 分母
② 字母
③ 分母
解析
【分析】
本题考查分式章节的基础概念，解题时结合对应定义逐一分析即可：首先回忆分式的定义，明确分式的分子、分母的形式要求，以及分式和整式的核心区别，就能得到①②的答案；再回忆分式方程的定义，抓住分式方程的核心特征，就能得到③的答案。
【解析】
1. 填①：根据分式的定义，形如$\frac{A}{B}$（A、B为整式）的式子叫做分式，因此分式的分子、分母都是整式，故①填整式；
2. 填②：分式和整式的核心区别是分式的分母中含有字母，因此②填字母；
3. 填③：根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，因此③填分母。
【答案】
①整式；②字母；③分母
【知识点】
分式的概念；分式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，考查的都是分式章节最核心的基础定义，熟练掌握这类基础概念是后续学习分式运算、分式方程求解及实际应用的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查分式章节的基础概念，解题时结合对应定义逐一分析即可：首先回忆分式的定义，明确分式的分子、分母的形式要求，以及分式和整式的核心区别，就能得到①②的答案；再回忆分式方程的定义，抓住分式方程的核心特征，就能得到③的答案。
【解析】
1. 填①：根据分式的定义，形如$\frac{A}{B}$（A、B为整式）的式子叫做分式，因此分式的分子、分母都是整式，故①填整式；
2. 填②：分式和整式的核心区别是分式的分母中含有字母，因此②填字母；
3. 填③：根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，因此③填分母。
【答案】
①整式；②字母；③分母
【知识点】
分式的概念；分式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，考查的都是分式章节最核心的基础定义，熟练掌握这类基础概念是后续学习分式运算、分式方程求解及实际应用的前提。
【难度系数】
0.9
1. 计算$(-8)^{-2}$的值为 （
A.64
B.$\frac{1}{64}$
C.$-64$
D.$-\frac{1}{64}$
B
）A.64
B.$\frac{1}{64}$
C.$-64$
D.$-\frac{1}{64}$
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查负整数指数幂的计算，解题思路如下：第一步，回忆负整数指数幂的运算规则，明确负指数需要转化为正指数的倒数进行计算；第二步，确定底数为-8，指数为2，要注意负数的偶次幂结果为正数，避免符号出错；第三步，按照规则计算即可得到结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得：
$(-8)^{-2}=\frac{1}{(-8)^2}$
计算$(-8)^2$，负数的偶次幂为正，$(-8)^2=64$，因此：
$(-8)^{-2}=\frac{1}{64}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂的运算；有理数的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查负整数指数幂的转化规则，解题时需要特别注意负数的幂的符号判断，避免因符号记错导致失分。
【难度系数】
0.9
本题考查负整数指数幂的计算，解题思路如下：第一步，回忆负整数指数幂的运算规则，明确负指数需要转化为正指数的倒数进行计算；第二步，确定底数为-8，指数为2，要注意负数的偶次幂结果为正数，避免符号出错；第三步，按照规则计算即可得到结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得：
$(-8)^{-2}=\frac{1}{(-8)^2}$
计算$(-8)^2$，负数的偶次幂为正，$(-8)^2=64$，因此：
$(-8)^{-2}=\frac{1}{64}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂的运算；有理数的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查负整数指数幂的转化规则，解题时需要特别注意负数的幂的符号判断，避免因符号记错导致失分。
【难度系数】
0.9
2. 若分式$\frac{5}{x+1}$有意义，则实数$x$的取值范围是（
A.$x≠-1$
B.$x=-1$
C.$x≥-1$
D.$x＞-1$
A
）A.$x≠-1$
B.$x=-1$
C.$x≥-1$
D.$x＞-1$
答案
2. A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确分式有意义的判定规则：分式有意义的核心要求是分母不能为0。解题时第一步先找到给定分式的分母，再令分母不等于0，解出对应的x的取值范围，最后匹配选项即可。
【解析】
根据分式有意义的条件：分母不为0。
本题中分式$\frac{5}{x+1}$的分母为$x+1$，因此可列不等式：
$x+1≠0$
解得：$x≠-1$
因此选A选项。
【答案】A
【知识点】
分式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式有意义的判定规则，只要牢记“分式分母不能为0”的知识点即可快速求解，是考试中的常见基础题。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先要明确分式有意义的判定规则：分式有意义的核心要求是分母不能为0。解题时第一步先找到给定分式的分母，再令分母不等于0，解出对应的x的取值范围，最后匹配选项即可。
【解析】
根据分式有意义的条件：分母不为0。
本题中分式$\frac{5}{x+1}$的分母为$x+1$，因此可列不等式：
$x+1≠0$
解得：$x≠-1$
因此选A选项。
【答案】A
【知识点】
分式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式有意义的判定规则，只要牢记“分式分母不能为0”的知识点即可快速求解，是考试中的常见基础题。
【难度系数】
0.9
3. 将分式方程$\frac{1}{x}=\frac{2}{x-2}$去分母后，得到的整式方程是（
A.$x-2=2x$
B.$x^2 -2x=2x$
C.$x-2=x$
D.$x=2x-4$
A
）A.$x-2=2x$
B.$x^2 -2x=2x$
C.$x-2=x$
D.$x=2x-4$
答案
3. A
解析
【分析】
解决分式方程去分母问题的思路如下：首先回忆去分母的依据是等式的基本性质，即等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。第一步先确定所有分式的最简公分母，本题中两个分式的分母分别是x和x-2，二者没有公因式，因此最简公分母为x(x-2)；第二步将方程左右两边的每一项都乘这个最简公分母，约分后即可得到整式方程，注意不要漏乘任何一项。
【解析】
解：分式方程$\frac{1}{x}=\frac{2}{x-2}$的最简公分母为$x(x-2)$。
根据等式的性质，将方程两边同时乘以$x(x-2)$（$x≠0$且$x≠2$），可得：
$\frac{1}{x} · x(x-2) = \frac{2}{x-2} · x(x-2)$
约分后得到整式方程：$x-2=2x$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程去分母；等式的基本性质；最简公分母
【点评】
本题属于分式方程相关的基础题型，主要考查去分母的操作规范，解题核心是准确找到最简公分母，同时要牢记方程两边所有项都要乘公分母，避免出现漏乘的错误。
【难度系数】
0.9
解决分式方程去分母问题的思路如下：首先回忆去分母的依据是等式的基本性质，即等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。第一步先确定所有分式的最简公分母，本题中两个分式的分母分别是x和x-2，二者没有公因式，因此最简公分母为x(x-2)；第二步将方程左右两边的每一项都乘这个最简公分母，约分后即可得到整式方程，注意不要漏乘任何一项。
【解析】
解：分式方程$\frac{1}{x}=\frac{2}{x-2}$的最简公分母为$x(x-2)$。
根据等式的性质，将方程两边同时乘以$x(x-2)$（$x≠0$且$x≠2$），可得：
$\frac{1}{x} · x(x-2) = \frac{2}{x-2} · x(x-2)$
约分后得到整式方程：$x-2=2x$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程去分母；等式的基本性质；最简公分母
【点评】
本题属于分式方程相关的基础题型，主要考查去分母的操作规范，解题核心是准确找到最简公分母，同时要牢记方程两边所有项都要乘公分母，避免出现漏乘的错误。
【难度系数】
0.9
4. 小王从A地开车去B地，两地相距240 km.
原计划平均速度为x km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达. 由此可建立方程为 (
A.$\frac{240}{0.5x} - \frac{240}{x} = 1$
B.$\frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 1$
C.$\frac{240}{1.5x} - \frac{240}{x} = 1$
D.$x + 1.5x = 240$
原计划平均速度为x km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达. 由此可建立方程为 (
B
)A.$\frac{240}{0.5x} - \frac{240}{x} = 1$
B.$\frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 1$
C.$\frac{240}{1.5x} - \frac{240}{x} = 1$
D.$x + 1.5x = 240$
答案
4. B
解析
【分析】
本题是行程类列方程问题，解题思路可按三步梳理：第一步回忆行程问题核心公式：时间=路程÷速度；第二步分别计算原计划行驶时间和实际行驶时间；第三步抓住“提前1小时到达”的等量关系：原计划时间-实际时间=1小时，代入对应表达式即可得到方程，再匹配选项。
【解析】
1. 计算原计划行驶时间：两地路程为240km，原计划平均速度为x km/h，根据时间=路程÷速度，原计划时间为$\frac{240}{x}$小时。
2. 计算实际行驶时间：实际平均速度提高50%，则实际速度为$x×(1+50\%)=1.5x$ km/h，因此实际行驶时间为$\frac{240}{1.5x}$小时。
3. 结合等量关系列方程：实际比原计划提前1小时到达，即原计划时间比实际时间多1小时，可得方程：$\frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
行程问题基本关系，列分式方程
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题核心是找准行程问题中路程、速度、时间的对应关系，尤其要注意“提前到达”代表原计划用时更长，不要混淆两个时间的前后顺序即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题是行程类列方程问题，解题思路可按三步梳理：第一步回忆行程问题核心公式：时间=路程÷速度；第二步分别计算原计划行驶时间和实际行驶时间；第三步抓住“提前1小时到达”的等量关系：原计划时间-实际时间=1小时，代入对应表达式即可得到方程，再匹配选项。
【解析】
1. 计算原计划行驶时间：两地路程为240km，原计划平均速度为x km/h，根据时间=路程÷速度，原计划时间为$\frac{240}{x}$小时。
2. 计算实际行驶时间：实际平均速度提高50%，则实际速度为$x×(1+50\%)=1.5x$ km/h，因此实际行驶时间为$\frac{240}{1.5x}$小时。
3. 结合等量关系列方程：实际比原计划提前1小时到达，即原计划时间比实际时间多1小时，可得方程：$\frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
行程问题基本关系，列分式方程
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题核心是找准行程问题中路程、速度、时间的对应关系，尤其要注意“提前到达”代表原计划用时更长，不要混淆两个时间的前后顺序即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
5. 若关于$ x $的分式方程$\frac{3 - ax}{2 - x} = \frac{a}{x - 2} - 1$无解，
则$ a $的值为 （
A.2
B.3
C.0或2
D.-1或3
则$ a $的值为 （
D
）A.2
B.3
C.0或2
D.-1或3
答案
5. D
解析
【分析】
分式方程无解有两种常见情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解恰好是使原分式方程分母为0的增根。解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，再分以上两种情况分别计算a的值即可。
【解析】
解：原方程整理为：$\frac{3-ax}{2-x} = \frac{a}{x-2} - 1$
两边同时乘以最简公分母$(x-2)$（注意$x≠2$），得：
$-(3-ax) = a - (x-2)$
去括号：$-3 + ax = a - x + 2$
移项合并同类项：$(a+1)x = a + 5$
分式方程无解分两种情况讨论：
① 当整式方程无解时，一次项系数为0且常数项不为0：
即$a+1=0$，且$a+5≠0$，解得$a=-1$，此时$0· x=4$，整式方程无解，符合条件；
② 当整式方程的解是原分式方程的增根时，增根为$x=2$（使分母$x-2=0$），将$x=2$代入整式方程：
$2(a+1) = a + 5$
解得$a=3$，此时$x=2$为增根，原分式方程无解，符合条件。
综上，$a$的值为$-1$或$3$。
【答案】
D
【知识点】
分式方程无解判定，增根的概念，一元一次方程求解
【点评】
本题解题核心是掌握分式方程无解的两类情况，解题时需分类讨论，避免遗漏整式方程本身无解的情况。
【难度系数】
0.6
分式方程无解有两种常见情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解恰好是使原分式方程分母为0的增根。解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，再分以上两种情况分别计算a的值即可。
【解析】
解：原方程整理为：$\frac{3-ax}{2-x} = \frac{a}{x-2} - 1$
两边同时乘以最简公分母$(x-2)$（注意$x≠2$），得：
$-(3-ax) = a - (x-2)$
去括号：$-3 + ax = a - x + 2$
移项合并同类项：$(a+1)x = a + 5$
分式方程无解分两种情况讨论：
① 当整式方程无解时，一次项系数为0且常数项不为0：
即$a+1=0$，且$a+5≠0$，解得$a=-1$，此时$0· x=4$，整式方程无解，符合条件；
② 当整式方程的解是原分式方程的增根时，增根为$x=2$（使分母$x-2=0$），将$x=2$代入整式方程：
$2(a+1) = a + 5$
解得$a=3$，此时$x=2$为增根，原分式方程无解，符合条件。
综上，$a$的值为$-1$或$3$。
【答案】
D
【知识点】
分式方程无解判定，增根的概念，一元一次方程求解
【点评】
本题解题核心是掌握分式方程无解的两类情况，解题时需分类讨论，避免遗漏整式方程本身无解的情况。
【难度系数】
0.6
6. 在分式$\frac{x^2 - 2x}{2y - xy}, \frac{x - 1}{x^2 + 1}, \frac{-2}{a^2 - 2a}, \frac{12xy}{9^3}$中，最简分式有
2
个.答案
6. 2
解析
【分析】
要判断最简分式的个数，首先明确最简分式的定义：分子与分母没有非零次公因式，也没有非1的常数公因数的分式是最简分式。解题时先对每个分式的分子、分母分别因式分解，再判断是否存在公因式，最后统计最简分式的数量即可。
【解析】
我们逐个分析4个分式：
1. 对$\frac{x^2 - 2x}{2y - xy}$因式分解：
分子$x^2-2x=x(x-2)$，分母$2y-xy=y(2-x)=-y(x-2)$，分子分母有公因式$(x-2)$，可约分为$-\frac{x}{y}$，不是最简分式；
2. 对$\frac{x - 1}{x^2 + 1}$分析：
分子为$x-1$，分母$x^2+1$在实数范围内无法因式分解，二者没有公因式，是最简分式；
3. 对$\frac{-2}{a^2 - 2a}$因式分解：
分母$a^2-2a=a(a-2)$，分子为常数$-2$，和分母没有公因式，是最简分式；
4. 对$\frac{12xy}{9^3}$分析：
分母$9^3=729$，分子的系数12和分母729有公因数3，可约分为$\frac{4xy}{243}$，不是最简分式。
综上，最简分式共有2个。
【答案】
2
【知识点】
最简分式定义，因式分解，分式约分
【点评】
本题核心考查最简分式的判定方法，易错点是容易忽略分子分母的常数公因数，或是误将$(2-x)$与$(x-2)$当作没有关联的因式，解题时要先对分子分母彻底因式分解，再逐一排查公因式。
【难度系数】
0.7
要判断最简分式的个数，首先明确最简分式的定义：分子与分母没有非零次公因式，也没有非1的常数公因数的分式是最简分式。解题时先对每个分式的分子、分母分别因式分解，再判断是否存在公因式，最后统计最简分式的数量即可。
【解析】
我们逐个分析4个分式：
1. 对$\frac{x^2 - 2x}{2y - xy}$因式分解：
分子$x^2-2x=x(x-2)$，分母$2y-xy=y(2-x)=-y(x-2)$，分子分母有公因式$(x-2)$，可约分为$-\frac{x}{y}$，不是最简分式；
2. 对$\frac{x - 1}{x^2 + 1}$分析：
分子为$x-1$，分母$x^2+1$在实数范围内无法因式分解，二者没有公因式，是最简分式；
3. 对$\frac{-2}{a^2 - 2a}$因式分解：
分母$a^2-2a=a(a-2)$，分子为常数$-2$，和分母没有公因式，是最简分式；
4. 对$\frac{12xy}{9^3}$分析：
分母$9^3=729$，分子的系数12和分母729有公因数3，可约分为$\frac{4xy}{243}$，不是最简分式。
综上，最简分式共有2个。
【答案】
2
【知识点】
最简分式定义，因式分解，分式约分
【点评】
本题核心考查最简分式的判定方法，易错点是容易忽略分子分母的常数公因数，或是误将$(2-x)$与$(x-2)$当作没有关联的因式，解题时要先对分子分母彻底因式分解，再逐一排查公因式。
【难度系数】
0.7
7.（跨学科）袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来. 苔花如米小，也学牡丹开.”若苔花的花粉直径为0.000 008 4米，用科学记数法表示$0.000\ 008\ 4 = 8.4× 10^{n}$，则$n$为
-6
.答案
7. -6
解析
【分析】
这道题考查用科学记数法表示绝对值小于1的正数，解题时首先要明确科学记数法表示较小数的规则：形式为$a × 10^{-n}$（其中$1≤ a ＜ 10$，$n$为正整数），$n$的取值等于原数左边起第一个不为零的数字前面所有0的个数（包含小数点前的0），数出对应0的个数即可确定指数$n$的值。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的一般形式为$a × 10^{-n}$，其中要求$1≤ a ＜ 10$，$n$的取值规则为：等于原数左边第一个非零数字前所有0的总个数（包含小数点前的0）。
观察原数$0.0000084$，第一个不为0的数字是8，8前面一共有6个0，因此$0.0000084 = 8.4 × 10^{-6}$，对比题干给出的$8.4× 10^n$，可得$n=-6$。
【答案】
$-6$
【知识点】
科学记数法表示较小的数
【点评】
本题属于基础题，主要考查科学记数法的应用，熟练掌握科学记数法表示较小数的规则，准确数出第一个非零数字前的0的个数是解题的关键。
【难度系数】
0.8
这道题考查用科学记数法表示绝对值小于1的正数，解题时首先要明确科学记数法表示较小数的规则：形式为$a × 10^{-n}$（其中$1≤ a ＜ 10$，$n$为正整数），$n$的取值等于原数左边起第一个不为零的数字前面所有0的个数（包含小数点前的0），数出对应0的个数即可确定指数$n$的值。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的一般形式为$a × 10^{-n}$，其中要求$1≤ a ＜ 10$，$n$的取值规则为：等于原数左边第一个非零数字前所有0的总个数（包含小数点前的0）。
观察原数$0.0000084$，第一个不为0的数字是8，8前面一共有6个0，因此$0.0000084 = 8.4 × 10^{-6}$，对比题干给出的$8.4× 10^n$，可得$n=-6$。
【答案】
$-6$
【知识点】
科学记数法表示较小的数
【点评】
本题属于基础题，主要考查科学记数法的应用，熟练掌握科学记数法表示较小数的规则，准确数出第一个非零数字前的0的个数是解题的关键。
【难度系数】
0.8
