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8. 若 $3ab - 3b^2 - 2 = 0$，则代数式 $(1 - \dfrac{2ab - b^2}{a^2}) ÷ \dfrac{a - b}{a^2b}$ 的值为
$\frac{2}{3}$
。答案
8. $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
本题是已知含a、b的等式求分式值的问题，解题思路如下：第一步，先化简所求的代数式，因为直接求a、b的具体值比较困难，所以先对分式进行运算化简；第二步，将化简后的结果和已知等式对比，发现可以通过变形已知等式得到化简后代数式的值，整体代入即可求解。具体操作时先处理括号内的分式减法，通分后利用完全平方公式因式分解，再将除法转化为乘法约分，最后结合已知条件整体代入计算。
【解析】
先化简代数式：
1. 计算括号内的减法：
$\begin{aligned}1 - \frac{2ab - b^2}{a^2}&=\frac{a^2}{a^2} - \frac{2ab - b^2}{a^2}\\&=\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2}\\&=\frac{(a - b)^2}{a^2}\end{aligned}$
2. 将除法转化为乘法并约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(a - b)^2}{a^2} ÷ \frac{a - b}{a^2b}\\&=\frac{(a - b)^2}{a^2} × \frac{a^2b}{a - b}\\&=b(a - b)\\&=ab - b^2\end{aligned}$
3. 结合已知条件变形代入：
已知$3ab - 3b^2 - 2 = 0$，整理得$3(ab - b^2)=2$，因此$ab - b^2=\frac{2}{3}$，即原式的值为$\frac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
分式的化简求值，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题解题的核心是先对所求分式进行化简，无需单独求解a、b的具体数值，通过整体代入已知条件变形后的结果即可得到答案，考查了运算能力和整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
本题是已知含a、b的等式求分式值的问题，解题思路如下：第一步，先化简所求的代数式，因为直接求a、b的具体值比较困难，所以先对分式进行运算化简；第二步，将化简后的结果和已知等式对比，发现可以通过变形已知等式得到化简后代数式的值，整体代入即可求解。具体操作时先处理括号内的分式减法，通分后利用完全平方公式因式分解，再将除法转化为乘法约分，最后结合已知条件整体代入计算。
【解析】
先化简代数式：
1. 计算括号内的减法：
$\begin{aligned}1 - \frac{2ab - b^2}{a^2}&=\frac{a^2}{a^2} - \frac{2ab - b^2}{a^2}\\&=\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2}\\&=\frac{(a - b)^2}{a^2}\end{aligned}$
2. 将除法转化为乘法并约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(a - b)^2}{a^2} ÷ \frac{a - b}{a^2b}\\&=\frac{(a - b)^2}{a^2} × \frac{a^2b}{a - b}\\&=b(a - b)\\&=ab - b^2\end{aligned}$
3. 结合已知条件变形代入：
已知$3ab - 3b^2 - 2 = 0$，整理得$3(ab - b^2)=2$，因此$ab - b^2=\frac{2}{3}$，即原式的值为$\frac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
分式的化简求值，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题解题的核心是先对所求分式进行化简，无需单独求解a、b的具体数值，通过整体代入已知条件变形后的结果即可得到答案，考查了运算能力和整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
9. 若分式方程$\frac{x}{x-1}=3-\frac{mx}{1-x}$的解为正整数，则整数$m$的值为
-1
.答案
9. -1
解析
【分析】
解决这类分式方程含参求整数解的问题，思路分三步：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用参数表示的方程的解；第二步结合分式方程的隐含条件：分母不为0，排除增根对应的参数取值；第三步根据题目给出的“解为正整数”的要求，推导参数的整数取值。
【解析】
首先对原方程变形，将右边的分母转化为和左边一致的形式：
$\frac{x}{x-1}=3+\frac{mx}{x-1}$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$，注意$x≠1$（否则原方程分母为0，无意义），去分母得：
$x = 3(x-1) + mx$
展开右侧括号：$x = 3x - 3 + mx$
移项，将含$x$的项移到左侧，常数项移到右侧：
$x - 3x - mx = -3$
合并同类项：$(-2 - m)x = -3$
系数化为1得：$x = \frac{3}{m+2}$
根据题意，方程的解为正整数，因此需满足两个条件：
① $\frac{3}{m+2}$是正整数，即$m+2$是3的正因数，3的正因数为1、3；
② $\frac{3}{m+2} ≠ 1$（避免增根）。
当$m+2=1$时，解得$m=-1$，此时$x=\frac{3}{1}=3$，是正整数且$3≠1$，符合要求；
当$m+2=3$时，解得$m=1$，此时$x=\frac{3}{3}=1$，是增根，舍去；
若$m+2$为负因数，则$x$为负数，不符合解为正整数的要求，排除。
综上，整数$m$的值为-1。
【答案】
-1
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的增根；整数解问题
【点评】
本题是分式方程中典型的含参求值问题，解题核心是掌握分式方程的求解步骤，同时牢记分式方程有解的前提是分母不为0，需排除增根对应的参数值，再结合解的限制条件筛选符合要求的结果。
【难度系数】
0.5
解决这类分式方程含参求整数解的问题，思路分三步：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用参数表示的方程的解；第二步结合分式方程的隐含条件：分母不为0，排除增根对应的参数取值；第三步根据题目给出的“解为正整数”的要求，推导参数的整数取值。
【解析】
首先对原方程变形，将右边的分母转化为和左边一致的形式：
$\frac{x}{x-1}=3+\frac{mx}{x-1}$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$，注意$x≠1$（否则原方程分母为0，无意义），去分母得：
$x = 3(x-1) + mx$
展开右侧括号：$x = 3x - 3 + mx$
移项，将含$x$的项移到左侧，常数项移到右侧：
$x - 3x - mx = -3$
合并同类项：$(-2 - m)x = -3$
系数化为1得：$x = \frac{3}{m+2}$
根据题意，方程的解为正整数，因此需满足两个条件：
① $\frac{3}{m+2}$是正整数，即$m+2$是3的正因数，3的正因数为1、3；
② $\frac{3}{m+2} ≠ 1$（避免增根）。
当$m+2=1$时，解得$m=-1$，此时$x=\frac{3}{1}=3$，是正整数且$3≠1$，符合要求；
当$m+2=3$时，解得$m=1$，此时$x=\frac{3}{3}=1$，是增根，舍去；
若$m+2$为负因数，则$x$为负数，不符合解为正整数的要求，排除。
综上，整数$m$的值为-1。
【答案】
-1
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的增根；整数解问题
【点评】
本题是分式方程中典型的含参求值问题，解题核心是掌握分式方程的求解步骤，同时牢记分式方程有解的前提是分母不为0，需排除增根对应的参数值，再结合解的限制条件筛选符合要求的结果。
【难度系数】
0.5
10. 对于非零的两个实数$a,b$,规定$a*b=\dfrac{3}{b}-\dfrac{2}{a}$,若$5*(3x-1)=2$,则$x$的值为
$\frac{3}{4}$
.答案
10. $\frac{3}{4}$
解析
【分析】
本题是新定义运算结合分式方程的求解问题，解题思路如下：①先读懂新定义$a*b=\dfrac{3}{b}-\dfrac{2}{a}$的运算规则，明确$*$前后的数分别对应公式里的$a$和$b$；②将$5*(3x-1)$中的$a=5$、$b=3x-1$代入新定义公式，列出关于$x$的分式方程；③解分式方程并检验解是否使原分式分母不为0，最终得到$x$的值。
【解析】
根据新定义的运算规则$a*b=\dfrac{3}{b}-\dfrac{2}{a}$，可得：
$5*(3x-1)=\dfrac{3}{3x-1}-\dfrac{2}{5}$
已知$5*(3x-1)=2$，因此列方程：
$\dfrac{3}{3x-1}-\dfrac{2}{5}=2$
移项得：
$\dfrac{3}{3x-1}=2+\dfrac{2}{5}=\dfrac{12}{5}$
交叉相乘去分母得：
$3×5=12×(3x-1)$
化简计算：
$15=36x-12$
移项合并同类项：
$36x=27$
系数化为1得：
$x=\dfrac{27}{36}=\dfrac{3}{4}$
检验：当$x=\dfrac{3}{4}$时，$3x-1=3×\dfrac{3}{4}-1=\dfrac{5}{4}≠0$，所以$x=\dfrac{3}{4}$是原方程的解。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
新定义运算、分式方程求解、分式有意义的条件
【点评】
本题重点考查对新运算规则的转化能力和分式方程的求解能力，解题时要注意不要混淆新定义中$a$、$b$的对应位置，解完分式方程必须检验根是否使分母不为零，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算结合分式方程的求解问题，解题思路如下：①先读懂新定义$a*b=\dfrac{3}{b}-\dfrac{2}{a}$的运算规则，明确$*$前后的数分别对应公式里的$a$和$b$；②将$5*(3x-1)$中的$a=5$、$b=3x-1$代入新定义公式，列出关于$x$的分式方程；③解分式方程并检验解是否使原分式分母不为0，最终得到$x$的值。
【解析】
根据新定义的运算规则$a*b=\dfrac{3}{b}-\dfrac{2}{a}$，可得：
$5*(3x-1)=\dfrac{3}{3x-1}-\dfrac{2}{5}$
已知$5*(3x-1)=2$，因此列方程：
$\dfrac{3}{3x-1}-\dfrac{2}{5}=2$
移项得：
$\dfrac{3}{3x-1}=2+\dfrac{2}{5}=\dfrac{12}{5}$
交叉相乘去分母得：
$3×5=12×(3x-1)$
化简计算：
$15=36x-12$
移项合并同类项：
$36x=27$
系数化为1得：
$x=\dfrac{27}{36}=\dfrac{3}{4}$
检验：当$x=\dfrac{3}{4}$时，$3x-1=3×\dfrac{3}{4}-1=\dfrac{5}{4}≠0$，所以$x=\dfrac{3}{4}$是原方程的解。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
新定义运算、分式方程求解、分式有意义的条件
【点评】
本题重点考查对新运算规则的转化能力和分式方程的求解能力，解题时要注意不要混淆新定义中$a$、$b$的对应位置，解完分式方程必须检验根是否使分母不为零，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 计算：
(1) $\dfrac{-b^2}{27a^3} ÷ \dfrac{2b}{9a} · \dfrac{3ab}{b^4}$；
(2) $\dfrac{a^2 - 2}{a + 2} - a + 2$。
11. 计算：
(1) $\dfrac{-b^2}{27a^3} ÷ \dfrac{2b}{9a} · \dfrac{3ab}{b^4}$；
(2) $\dfrac{a^2 - 2}{a + 2} - a + 2$。
答案
11. (1) 解:原式$= \frac{-b^2}{27a^3} · \frac{9a}{2b} · \frac{3ab}{b^4} = -\frac{1}{2ab^2}$.
(2) 解:原式$= \frac{a^2 - 2}{a + 2} - (a - 2)$
$= \frac{a^2 - 2}{a + 2} - \frac{(a - 2)(a + 2)}{a + 2} = \frac{a^2 - 2 - a^2 + 4}{a + 2} = \frac{2}{a + 2}$.
(2) 解:原式$= \frac{a^2 - 2}{a + 2} - (a - 2)$
$= \frac{a^2 - 2}{a + 2} - \frac{(a - 2)(a + 2)}{a + 2} = \frac{a^2 - 2 - a^2 + 4}{a + 2} = \frac{2}{a + 2}$.
解析
【分析】
(1) 本题是分式乘除混合运算，解题思路如下：首先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；接着先确定结果的符号，再分别对常数项、含a的项、含b的项约分，最后整理得到最简分式即可。
(2) 本题是分式与整式的加减混合运算，解题思路如下：首先将后面的整式部分变形为整体，通分转化为同分母分式的减法；再利用平方差公式计算整式部分的分子，然后对分子去括号、合并同类项，最后得到最简结果，注意去括号时符号的变化。
【解析】
(1) 先根据分式除法法则，把除法转为乘法：
原式$= \frac{-b^2}{27a^3} · \frac{9a}{2b} · \frac{3ab}{b^4}$
确定结果符号为负，再逐项约分：
常数项：$\frac{9×3}{27}=1$，剩余分母的常数项为2；
含a的项：分子a的总次数为$1+1=2$，分母a的次数为3，约分后剩余1个a在分母；
含b的项：分子b的次数为2，分母b的总次数为$1+4=5$，约分后剩余$b^2$在分母；
整理得结果为$-\frac{1}{2ab^2}$。
(2) 先把整式部分变形，再通分计算：
原式$= \frac{a^2 - 2}{a + 2} - (a - 2)$
将$a-2$通分，分子分母同乘$(a+2)$：
$= \frac{a^2 - 2}{a + 2} - \frac{(a - 2)(a + 2)}{a + 2}$
用平方差公式计算$(a-2)(a+2)=a^2-4$，再计算分子的减法：
$= \frac{a^2 - 2 - (a^2 - 4)}{a + 2}$
去括号合并同类项：
$= \frac{a^2 - 2 - a^2 + 4}{a + 2} = \frac{2}{a + 2}$。
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{2ab^2}$；(2) $\dfrac{2}{a+2}$
【知识点】
分式乘除运算；分式加减运算；平方差公式
【点评】
本题是分式运算的基础题，计算时要注意遵循运算顺序，除法转乘法时要乘倒数，加减运算通分后去括号要注意符号变化，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是分式乘除混合运算，解题思路如下：首先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；接着先确定结果的符号，再分别对常数项、含a的项、含b的项约分，最后整理得到最简分式即可。
(2) 本题是分式与整式的加减混合运算，解题思路如下：首先将后面的整式部分变形为整体，通分转化为同分母分式的减法；再利用平方差公式计算整式部分的分子，然后对分子去括号、合并同类项，最后得到最简结果，注意去括号时符号的变化。
【解析】
(1) 先根据分式除法法则，把除法转为乘法：
原式$= \frac{-b^2}{27a^3} · \frac{9a}{2b} · \frac{3ab}{b^4}$
确定结果符号为负，再逐项约分：
常数项：$\frac{9×3}{27}=1$，剩余分母的常数项为2；
含a的项：分子a的总次数为$1+1=2$，分母a的次数为3，约分后剩余1个a在分母；
含b的项：分子b的次数为2，分母b的总次数为$1+4=5$，约分后剩余$b^2$在分母；
整理得结果为$-\frac{1}{2ab^2}$。
(2) 先把整式部分变形，再通分计算：
原式$= \frac{a^2 - 2}{a + 2} - (a - 2)$
将$a-2$通分，分子分母同乘$(a+2)$：
$= \frac{a^2 - 2}{a + 2} - \frac{(a - 2)(a + 2)}{a + 2}$
用平方差公式计算$(a-2)(a+2)=a^2-4$，再计算分子的减法：
$= \frac{a^2 - 2 - (a^2 - 4)}{a + 2}$
去括号合并同类项：
$= \frac{a^2 - 2 - a^2 + 4}{a + 2} = \frac{2}{a + 2}$。
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{2ab^2}$；(2) $\dfrac{2}{a+2}$
【知识点】
分式乘除运算；分式加减运算；平方差公式
【点评】
本题是分式运算的基础题，计算时要注意遵循运算顺序，除法转乘法时要乘倒数，加减运算通分后去括号要注意符号变化，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.7
12. 解方程:(1)$\frac{1}{x-1}=\frac{4}{x^2 -1}$;
(2)$\frac{x}{x-2}+\frac{1}{2x+4}=1$.
(2)$\frac{x}{x-2}+\frac{1}{2x+4}=1$.
答案
12. (1) 解:方程两边乘$(x + 1)(x - 1)$,得$x + 1 = 4$.
解得$x = 3$.
检验:当$x = 3$时,$(x + 1)(x - 1) ≠ 0$.
所以,原分式方程的解为$x = 3$.
(2) 解:方程两边乘$2(x - 2)(x + 2)$,得
$2x(x + 2) + x - 2 = 2(x - 2)(x + 2)$.
解得$x = -\frac{6}{5}$.
检验:当$x = -\frac{6}{5}$时,$2(x - 2)(x + 2) ≠ 0$.
所以,原分式方程的解为$x = -\frac{6}{5}$.
解得$x = 3$.
检验:当$x = 3$时,$(x + 1)(x - 1) ≠ 0$.
所以,原分式方程的解为$x = 3$.
(2) 解:方程两边乘$2(x - 2)(x + 2)$,得
$2x(x + 2) + x - 2 = 2(x - 2)(x + 2)$.
解得$x = -\frac{6}{5}$.
检验:当$x = -\frac{6}{5}$时,$2(x - 2)(x + 2) ≠ 0$.
所以,原分式方程的解为$x = -\frac{6}{5}$.
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否为增根。
(1) 先利用平方差公式对分母$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，可得最简公分母为$(x+1)(x-1)$，方程两边同乘最简公分母即可消去分母得到整式方程，解整式方程后要代入最简公分母检验，若结果不为0则为原方程的解。
(2) 先将分母$2x+4$提取公因式整理为$2(x+2)$，可得最简公分母为$2(x-2)(x+2)$，方程两边同乘最简公分母消去分母得到整式方程，求解后同样代入检验即可。
【解析】
(1) 方程两边乘$(x + 1)(x - 1)$，得$x + 1 = 4$。
解得$x = 3$。
检验：当$x = 3$时，$(x + 1)(x - 1) ≠ 0$。
所以原分式方程的解为$x = 3$。
(2) 方程两边乘$2(x - 2)(x + 2)$，得
$2x(x + 2) + x - 2 = 2(x - 2)(x + 2)$。
展开整理得$5x=-6$，解得$x = -\frac{6}{5}$。
检验：当$x = -\frac{6}{5}$时，$2(x - 2)(x + 2) ≠ 0$。
所以原分式方程的解为$x = -\frac{6}{5}$。
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=-\frac{6}{5}$
【知识点】
分式方程的解法，因式分解，增根检验
【点评】
本题是分式方程的基础常考题，解题关键是先对分母因式分解准确找到最简公分母，要特别注意分式方程必须检验所得的解是否为增根，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否为增根。
(1) 先利用平方差公式对分母$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，可得最简公分母为$(x+1)(x-1)$，方程两边同乘最简公分母即可消去分母得到整式方程，解整式方程后要代入最简公分母检验，若结果不为0则为原方程的解。
(2) 先将分母$2x+4$提取公因式整理为$2(x+2)$，可得最简公分母为$2(x-2)(x+2)$，方程两边同乘最简公分母消去分母得到整式方程，求解后同样代入检验即可。
【解析】
(1) 方程两边乘$(x + 1)(x - 1)$，得$x + 1 = 4$。
解得$x = 3$。
检验：当$x = 3$时，$(x + 1)(x - 1) ≠ 0$。
所以原分式方程的解为$x = 3$。
(2) 方程两边乘$2(x - 2)(x + 2)$，得
$2x(x + 2) + x - 2 = 2(x - 2)(x + 2)$。
展开整理得$5x=-6$，解得$x = -\frac{6}{5}$。
检验：当$x = -\frac{6}{5}$时，$2(x - 2)(x + 2) ≠ 0$。
所以原分式方程的解为$x = -\frac{6}{5}$。
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=-\frac{6}{5}$
【知识点】
分式方程的解法，因式分解，增根检验
【点评】
本题是分式方程的基础常考题，解题关键是先对分母因式分解准确找到最简公分母，要特别注意分式方程必须检验所得的解是否为增根，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
13. 先化简，再求值：$( \frac{x}{x-1} - \frac{x}{x^2 -1} ) ÷ \frac{x^2 - x}{x^2 - 2x + 1}$，其中$x$是满足$-1 ≤ x ＜ 3$的整数。
答案
13. 解:原式$= \frac{x(x + 1) - x}{(x + 1)(x - 1)} ÷ \frac{x^2 - x}{x^2 - 2x + 1}$
$= \frac{x^2}{(x + 1)(x - 1)} · \frac{(x - 1)^2}{x(x - 1)} = \frac{x}{x + 1}$.
$\because x^2 - 1 ≠ 0$,$x ≠ 0$,$\therefore x ≠ ±1$,$x ≠ 0$.
$\therefore$ 当$x = 2$时,原式$= \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}$.
$= \frac{x^2}{(x + 1)(x - 1)} · \frac{(x - 1)^2}{x(x - 1)} = \frac{x}{x + 1}$.
$\because x^2 - 1 ≠ 0$,$x ≠ 0$,$\therefore x ≠ ±1$,$x ≠ 0$.
$\therefore$ 当$x = 2$时,原式$= \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}$.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题型，解题思路分为三步：第一步化简分式，先处理括号内的减法运算，先对分母$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，找到最简公分母通分后计算括号内的结果；第二步将除法运算转化为乘法运算，对除式的分子、分母分别因式分解后约分，得到最简分式；第三步确定合法的$x$取值，根据分式有意义的条件（所有分母不为0、除式不为0）排除不符合的$x$值，再从给定的$x$取值范围内选取符合要求的整数，代入最简式计算最终结果。
【解析】
解：先对原式括号内通分，分母$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此：
原式$=\frac{x(x + 1) - x}{(x + 1)(x - 1)} ÷ \frac{x^2 - x}{x^2 - 2x + 1}$
计算括号内分子：$x(x+1)-x=x^2+x-x=x^2$，可得：
$=\frac{x^2}{(x + 1)(x - 1)} ÷ \frac{x(x - 1)}{(x - 1)^2}$
将除法转化为乘法，即乘以除式的倒数：
$=\frac{x^2}{(x + 1)(x - 1)} · \frac{(x - 1)^2}{x(x - 1)}$
约去公因式$x(x-1)^2$，得到最简式：
$=\frac{x}{x + 1}$
接下来确定$x$的可取值：要使原分式有意义，需满足所有分母、除式不为0，即$x^2-1≠0$，$x≠0$，$x^2-x≠0$，解得$x≠±1$，$x≠0$。
已知$x$是满足$-1 ≤ x ＜ 3$的整数，符合范围的整数有$-1、0、1、2$，排除不符合要求的$-1、0、1$，因此取$x=2$。
将$x=2$代入最简式，得原式$=\frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
分式化简求值；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是分式运算的典型考题，既考查分式混合运算的运算顺序、通分约分的计算能力，也设置了分式有意义的隐含条件，需注意代入的$x$值必须保证原式中所有分母、除式均不为0，避免忽略取值限制直接代入导致错误。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题型，解题思路分为三步：第一步化简分式，先处理括号内的减法运算，先对分母$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，找到最简公分母通分后计算括号内的结果；第二步将除法运算转化为乘法运算，对除式的分子、分母分别因式分解后约分，得到最简分式；第三步确定合法的$x$取值，根据分式有意义的条件（所有分母不为0、除式不为0）排除不符合的$x$值，再从给定的$x$取值范围内选取符合要求的整数，代入最简式计算最终结果。
【解析】
解：先对原式括号内通分，分母$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此：
原式$=\frac{x(x + 1) - x}{(x + 1)(x - 1)} ÷ \frac{x^2 - x}{x^2 - 2x + 1}$
计算括号内分子：$x(x+1)-x=x^2+x-x=x^2$，可得：
$=\frac{x^2}{(x + 1)(x - 1)} ÷ \frac{x(x - 1)}{(x - 1)^2}$
将除法转化为乘法，即乘以除式的倒数：
$=\frac{x^2}{(x + 1)(x - 1)} · \frac{(x - 1)^2}{x(x - 1)}$
约去公因式$x(x-1)^2$，得到最简式：
$=\frac{x}{x + 1}$
接下来确定$x$的可取值：要使原分式有意义，需满足所有分母、除式不为0，即$x^2-1≠0$，$x≠0$，$x^2-x≠0$，解得$x≠±1$，$x≠0$。
已知$x$是满足$-1 ≤ x ＜ 3$的整数，符合范围的整数有$-1、0、1、2$，排除不符合要求的$-1、0、1$，因此取$x=2$。
将$x=2$代入最简式，得原式$=\frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
分式化简求值；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是分式运算的典型考题，既考查分式混合运算的运算顺序、通分约分的计算能力，也设置了分式有意义的隐含条件，需注意代入的$x$值必须保证原式中所有分母、除式均不为0，避免忽略取值限制直接代入导致错误。
【难度系数】
0.7
14. 某公司为节约成本,提高效率,计划购买A,B两款机器人.已知A款机器人的单价比B款机器人的单价多1万元,用25万元购买A款机器人的数量与用20万元购买B款机器人的数量相同.
(1)求A,B两款机器人的单价分别是多少万元?
(2)如果购买A,B两款机器人共12台,且购买A款机器人的数量不少于B款机器人数量的一半,请设计购买成本最少的方案.
(1)求A,B两款机器人的单价分别是多少万元?
(2)如果购买A,B两款机器人共12台,且购买A款机器人的数量不少于B款机器人数量的一半,请设计购买成本最少的方案.
答案
14. 解:(1)设A款机器人的单价为$x$万元,则B款机器人的单价为$(x - 1)$万元.
根据题意,得$\frac{25}{x} = \frac{20}{x - 1}$. 解得$x = 5$.
经检验,$x = 5$是原方程的解,且符合题意.
$\therefore x - 1 = 4$.
答:A款机器人的单价为5万元,B款机器人的单价为4万元.
(2)设购买A款机器人$m$台,则购买B款机器人$(12 - m)$台.
根据题意,得$m ≥ \frac{1}{2}(12 - m)$. 解得$m ≥ 4$.
设购买成本为$w$万元.
根据题意,得$w = 5m + 4(12 - m) = m + 48$.
$\because 1 ＞ 0$,$\therefore w$随$m$的增大而增大.
$\therefore$ 当$m = 4$时,$w$有最小值. 此时,$12 - m = 8$.
答:购买成本最少的方案是购买A款机器人4台,B款机器人8台.
根据题意,得$\frac{25}{x} = \frac{20}{x - 1}$. 解得$x = 5$.
经检验,$x = 5$是原方程的解,且符合题意.
$\therefore x - 1 = 4$.
答:A款机器人的单价为5万元,B款机器人的单价为4万元.
(2)设购买A款机器人$m$台,则购买B款机器人$(12 - m)$台.
根据题意,得$m ≥ \frac{1}{2}(12 - m)$. 解得$m ≥ 4$.
设购买成本为$w$万元.
根据题意,得$w = 5m + 4(12 - m) = m + 48$.
$\because 1 ＞ 0$,$\therefore w$随$m$的增大而增大.
$\therefore$ 当$m = 4$时,$w$有最小值. 此时,$12 - m = 8$.
答:购买成本最少的方案是购买A款机器人4台,B款机器人8台.
解析
【分析】
(1)第一问为分式方程的实际应用，解题核心是找到等量关系：25万元购买A款机器人的数量=20万元购买B款机器人的数量。首先设A款单价为x万元，根据A款比B款单价多1万元可得B款单价为(x-1)万元，再结合“数量=总价÷单价”分别表示两款机器人的购买数量，列出分式方程求解即可，注意分式方程必须检验是否符合题意。
(2)第二问是结合不等式的一次函数最值问题，首先设购买A款机器人m台，可得B款为(12-m)台，先根据“A款数量不少于B款数量的一半”列不等式求出m的取值范围；再列出总成本w关于m的一次函数表达式，根据一次函数的增减性，结合m的取值范围找到使w最小的m值，即可得到最优购买方案。
【解析】
(1)设A款机器人的单价为$x$万元，则B款机器人的单价为$(x - 1)$万元。
根据题意列方程：
$\frac{25}{x} = \frac{20}{x - 1}$
交叉相乘得$25(x-1)=20x$，展开移项解得$x = 5$。
经检验，$x = 5$是原方程的解，且符合实际题意。
$\therefore x - 1 = 5-1=4$（万元）。
(2)设购买A款机器人$m$台，则购买B款机器人$(12 - m)$台。
根据题意列不等式：
$m ≥ \frac{1}{2}(12 - m)$
解得$m ≥ 4$。
设购买成本为$w$万元，根据题意得：
$w = 5m + 4(12 - m) = m + 48$
$\because 1 ＞ 0$，$\therefore w$随$m$的增大而增大，
$\therefore$ 当$m = 4$时，$w$取得最小值，此时$12 - m = 12-4=8$（台）。
【答案】
(1)A款机器人的单价为5万元，B款机器人的单价为4万元；
(2)购买成本最少的方案是购买A款机器人4台，B款机器人8台。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用
【点评】
本题是方程、不等式与一次函数结合的典型实际应用题，既考查了提取等量关系列方程、检验的基础能力，也考查了利用一次函数增减性求解最优方案的应用能力，解题时需注意结合实际意义确定参数的取值范围。
【难度系数】
0.7
(1)第一问为分式方程的实际应用，解题核心是找到等量关系：25万元购买A款机器人的数量=20万元购买B款机器人的数量。首先设A款单价为x万元，根据A款比B款单价多1万元可得B款单价为(x-1)万元，再结合“数量=总价÷单价”分别表示两款机器人的购买数量，列出分式方程求解即可，注意分式方程必须检验是否符合题意。
(2)第二问是结合不等式的一次函数最值问题，首先设购买A款机器人m台，可得B款为(12-m)台，先根据“A款数量不少于B款数量的一半”列不等式求出m的取值范围；再列出总成本w关于m的一次函数表达式，根据一次函数的增减性，结合m的取值范围找到使w最小的m值，即可得到最优购买方案。
【解析】
(1)设A款机器人的单价为$x$万元，则B款机器人的单价为$(x - 1)$万元。
根据题意列方程：
$\frac{25}{x} = \frac{20}{x - 1}$
交叉相乘得$25(x-1)=20x$，展开移项解得$x = 5$。
经检验，$x = 5$是原方程的解，且符合实际题意。
$\therefore x - 1 = 5-1=4$（万元）。
(2)设购买A款机器人$m$台，则购买B款机器人$(12 - m)$台。
根据题意列不等式：
$m ≥ \frac{1}{2}(12 - m)$
解得$m ≥ 4$。
设购买成本为$w$万元，根据题意得：
$w = 5m + 4(12 - m) = m + 48$
$\because 1 ＞ 0$，$\therefore w$随$m$的增大而增大，
$\therefore$ 当$m = 4$时，$w$取得最小值，此时$12 - m = 12-4=8$（台）。
【答案】
(1)A款机器人的单价为5万元，B款机器人的单价为4万元；
(2)购买成本最少的方案是购买A款机器人4台，B款机器人8台。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用
【点评】
本题是方程、不等式与一次函数结合的典型实际应用题，既考查了提取等量关系列方程、检验的基础能力，也考查了利用一次函数增减性求解最优方案的应用能力，解题时需注意结合实际意义确定参数的取值范围。
【难度系数】
0.7
