(人教八上$P_{170}$数学活动2改编)某数学实验小组在探究“$x^2 + \frac{1}{x^2}$取值的规律”时，进行了如下活动.
(1)【实验操作】取不同的$x$的值，计算$x^2 + \frac{1}{x^2}$的值.

(2)【观察猜想】实验小组组员通过观察表格，提出以下猜想：
①代数式$x^2 + \frac{1}{x^2}$的值随着$x$的增大而减小；
②当$x = \pm1$时，代数式$x^2 + \frac{1}{x^2}$有最小值，最小值是2.
上述猜想中正确的是.（填写序号）
(3)【验证猜想】请对正确的猜想进行证明.
(4)【归纳运用】根据实验经验解决下列问题：
求代数式$x^2 -6x + \frac{1}{(x-3)^2} +10(x＞3)$的最小值，并求出此时$x$的值.

(1) $\frac{82}{9}$ $\frac{17}{4}$ 2 $\frac{17}{4}$ $\frac{82}{9}$ $\frac{82}{9}$ $\frac{17}{4}$ 2 $\frac{17}{4}$ $\frac{82}{9}$
(2) ②
(3) 证明:$\because x^2 + \frac{1}{x^2} = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} + 2 = (x - \frac{1}{x})^2 + 2$,
又$\because (x - \frac{1}{x})^2 \ge 0$,
$\therefore (x - \frac{1}{x})^2 + 2 \ge 2$,即当$x = \frac{1}{x}$时,$x^2 + \frac{1}{x^2}$取得最小值.
$\therefore x^2 + \frac{1}{x^2}$的最小值是2,此时$x = \pm 1$.
(4) 解:$\because x^2 -6x + \frac{1}{(x-3)^2} +10 = x^2 -6x +9 + \frac{1}{(x-3)^2} +1 = (x-3)^2 + \frac{1}{(x-3)^2} +1 = (x-3)^2 -2 + \frac{1}{(x-3)^2} +1 +2 = [(x-3) - \frac{1}{x-3}]^2 +3$,又$[(x-3) - \frac{1}{x-3}]^2 \ge 0$,
$\therefore [(x-3) - \frac{1}{x-3}]^2 +3 \ge 3$.
当$x-3 = \frac{1}{x-3}$时,有最小值,最小值为3.
解$x-3 = \frac{1}{x-3}$,得x=2或x=4.
$\because x＞3$,$\therefore x=4$.
$\therefore$ 当x=4时,$x^2 -6x + \frac{1}{(x-3)^2} +10$有最小值是3.

【分析】
1. 第(1)问直接将给定的x值代入代数式$x^2 + \frac{1}{x^2}$，分别计算即可得到对应的y值。
2. 第(2)问判断猜想：观察表格数据，当x＜0时x增大，代数式值减小，但x＞0时x从1开始增大，代数式值反而增大，故猜想①错误；表格中x=±1时，代数式值为2，是所有计算结果中最小的，初步判断猜想②正确。
3. 第(3)问证明猜想②，利用完全平方公式对代数式配方：$x^2+\frac{1}{x^2}$可以拆成$x^2-2· x· \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} +2$，也就是$(x-\frac{1}{x})^2 +2$，根据平方的非负性，$(x-\frac{1}{x})^2≥0$，所以代数式最小值为2，当且仅当$x=\frac{1}{x}$即x=±1时取到最小值。
4. 第(4)问求最值，先观察代数式结构：$x^2-6x$可以配方为$(x-3)^2 -9$，代入原式后整理可得$(x-3)^2 + \frac{1}{(x-3)^2} +1$，再沿用第(3)问的配方方法，将其变形为$[(x-3)-\frac{1}{x-3}]^2 +3$，利用平方非负性求最小值，再结合x＞3的条件求解对应的x值。
【解析】
(1) 分别代入x的值计算：
当x=-3时，$y=(-3)^2+\frac{1}{(-3)^2}=9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}$；
当x=-2时，$y=(-2)^2+\frac{1}{(-2)^2}=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$；
当x=-1时，$y=(-1)^2+\frac{1}{(-1)^2}=1+1=2$；
当x=$-\frac{1}{2}$时，$y=(-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$；
当x=$-\frac{1}{3}$时，$y=(-\frac{1}{3})^2+\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{9}+9=\frac{82}{9}$；
当x=$\frac{1}{3}$时，$y=(\frac{1}{3})^2+\frac{1}{(\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{9}+9=\frac{82}{9}$；
当x=$\frac{1}{2}$时，$y=(\frac{1}{2})^2+\frac{1}{(\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$；
当x=1时，$y=1^2+\frac{1}{1^2}=1+1=2$；
当x=2时，$y=2^2+\frac{1}{2^2}=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$；
当x=3时，$y=3^2+\frac{1}{3^2}=9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}$。
(2) 分析猜想：①当x＞0时，x从1增大到3，代数式值从2增大到$\frac{82}{9}$，并非随x增大而减小，故①错误；②由计算结果和后续证明可知，x=±1时，代数式最小值为2，故②正确。
(3) 证明：
$\because x^2 + \frac{1}{x^2} = x^2 - 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + 2 = (x - \frac{1}{x})^2 + 2$，
又$\because$任意实数的平方是非负数，即$(x - \frac{1}{x})^2 \ge 0$，
$\therefore (x - \frac{1}{x})^2 + 2 \ge 2$，当且仅当$x = \frac{1}{x}$时，等号成立，
解得$x=\pm1$，即当$x = \pm1$时，$x^2 + \frac{1}{x^2}$有最小值2，猜想②成立。
(4) 解：
先对代数式变形：
$x^2 -6x + \frac{1}{(x-3)^2} +10$
$= (x^2 -6x +9) + \frac{1}{(x-3)^2} +10 -9$
$= (x-3)^2 + \frac{1}{(x-3)^2} +1$
仿照(3)的配方方法：
$= (x-3)^2 - 2· (x-3)· \frac{1}{x-3} + \frac{1}{(x-3)^2} +1 +2$
$= [(x-3) - \frac{1}{x-3}]^2 +3$
$\because [(x-3) - \frac{1}{x-3}]^2 \ge 0$，
$\therefore [(x-3) - \frac{1}{x-3}]^2 +3 \ge 3$，当$(x-3) = \frac{1}{x-3}$时，代数式取得最小值3。
解方程$x-3 = \frac{1}{x-3}$，两边乘$(x-3)$得$(x-3)^2=1$，解得x=2或x=4，
$\because x＞3$，$\therefore$舍去x=2，取x=4。
即当x=4时，代数式有最小值3。
【答案】
(1) 从左到右依次为：$\frac{82}{9}$，$\frac{17}{4}$，2，$\frac{17}{4}$，$\frac{82}{9}$，$\frac{82}{9}$，$\frac{17}{4}$，2，$\frac{17}{4}$，$\frac{82}{9}$
(2) ②
(3) 证明见上述解析
(4) 最小值为3，此时x的值为4
【知识点】
完全平方公式，平方的非负性，分式运算
【点评】
本题属于规律探究与应用类题型，从特殊值计算入手，引导学生通过猜想、证明掌握$a^2+\frac{1}{a^2}$类代数式的最值求解方法，重点考察配方变形能力，解题时要注意结合给定的未知数取值范围对解进行取舍。
【难度系数】
0.6