7.【例4】分解因式:$2x^2 +6x -36.$
8.分解因式:$-3x^2 +3xy +6y^2.$

7. 解:原式 = $2(x^2 + 3x - 18) = 2(x - 3)(x + 6)$.
8. 解:原式 = $-3(x^2 - xy - 2y^2) = -3(x + y)(x - 2y)$.

【分析】
因式分解遵循“先提公因式，再选合适方法分解，最终分解彻底”的解题思路：
1. 第7题：先观察多项式各项，存在公因式2，先提取公因式得到二次三项式，再用十字相乘法分解：找到两个数，乘积等于常数项-18，和等于一次项系数3，即可完成分解。
2. 第8题：多项式首项为负，优先提取带负号的公因式-3，得到关于x、y的二次齐次式，将y看作常数，用十字相乘法分解：找到两个含y的单项式，乘积为常数项-2y²，和为一次项系数-y，即可完成分解。
【解析】
7. 解：第一步提取公因式2，可得：
原式$=2(x^2 + 3x - 18)$
对$x^2+3x-18$用十字相乘法分解，因为$-3×6=-18$，$-3+6=3$，因此$x^2+3x-18=(x-3)(x+6)$，代入得：
原式$=2(x - 3)(x + 6)$
8. 解：第一步提取公因式$-3$，可得：
原式$=-3(x^2 - xy - 2y^2)$
对$x^2 - xy - 2y^2$用十字相乘法分解，因为$y×(-2y)=-2y^2$，$y+(-2y)=-y$，因此$x^2 - xy - 2y^2=(x+y)(x-2y)$，代入得：
原式$=-3(x + y)(x - 2y)$
【答案】
7. $2(x - 3)(x + 6)$
8. $-3(x + y)(x - 2y)$
【知识点】
提公因式法因式分解；十字相乘法因式分解
【点评】
这两道是因式分解的常规基础题，解题时要先观察多项式特征，优先提取公因式，若首项系数为负可先提取负号简化后续计算，提取公因式后再根据剩余多项式的结构选择对应方法分解，注意最终结果要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8

1. 分解因式:
(1) $x^2 + 7x + 12$;
(2) $x^2 + 6x - 7$.
(2) $(x + y)^2 - 9(x + y) + 14$.
5. 分解因式:

1. (1) 原式 = (x + 3)(x + 4).
1. (2) 原式 = (x + 7)(x - 1).
4. (2) 原式 = (x + y - 2)(x + y - 7).

【分析】
这三道题均考查二次项系数为1的二次三项式的因式分解，使用十字相乘法即可求解。解题思路如下：①对于形如$X^2 + pX + q$的式子，只需找到两个整数$m$、$n$，满足$m+n=p$，$m× n=q$，就可以将式子分解为$(X+m)(X+n)$；②第三道题可以将$(x+y)$看作一个整体，当作上述式子中的$X$，再用相同方法分解即可。
【解析】
(1) 分解$x^2 +7x +12$：
寻找两个数，满足和为7、积为12，可得$3+4=7$，$3×4=12$，因此：
原式$=(x+3)(x+4)$。
(2) 分解$x^2 +6x -7$：
寻找两个数，满足和为6、积为-7，可得$7+(-1)=6$，$7×(-1)=-7$，因此：
原式$=(x+7)(x-1)$。
(3) 分解$(x+y)^2 -9(x+y) +14$：
将$(x+y)$看作一个整体，寻找两个数满足和为-9、积为14，可得$(-2)+(-7)=-9$，$(-2)×(-7)=14$，因此：
原式$=(x+y-2)(x+y-7)$。
【答案】
(1) $\boxed{(x + 3)(x + 4)}$
(2) $\boxed{(x + 7)(x - 1)}$
(3) $\boxed{(x + y - 2)(x + y - 7)}$
【知识点】
十字相乘法分解因式，整体换元思想，二次三项式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的常规基础题，核心考查十字相乘法的运用以及整体代换的思维，解题的关键是快速凑出满足和、积要求的两个数，整体代换类题型需先识别可看作整体的部分再计算。
【难度系数】
0.8

2. 分解因式：
(1)$x^2 -5x +6$；
(2)$x^2 -6x -27$；
(1)$4x^2 +7x +3$；
(2)$2x^2 +x -3$。

2. (1) 原式 = (x - 2)(x - 3).
2. (2) 原式 = (x - 9)(x + 3).
5. (1) 原式 = (4x + 3)(x + 1).
5. (2) 原式 = (2x + 3)(x - 1).

【分析】
本次因式分解的对象均为二次三项式，可采用十字相乘法求解：1. 若二次项系数为1，只需将常数项拆分为两个数的乘积，且这两个数的和等于一次项系数，即可直接写成两个一次式的乘积；2. 若二次项系数大于1，分别拆分二次项系数和常数项为两个数的乘积，调整拆分方式使交叉相乘的和等于一次项系数，即可完成分解。分解后可通过多项式乘法验证结果是否正确。
【解析】
(1) 对$x^2 -5x +6$，将常数项6拆为$(-2)×(-3)$，且$(-2)+(-3)=-5$，与一次项系数相等，因此：
原式$=(x-2)(x-3)$
(2) 对$x^2 -6x -27$，将常数项$-27$拆为$(-9)×3$，且$(-9)+3=-6$，与一次项系数相等，因此：
原式$=(x-9)(x+3)$
(3) 对$4x^2 +7x +3$，将二次项系数4拆为$4×1$，常数项3拆为$3×1$，交叉相乘得$4×1 + 1×3=7$，与一次项系数相等，因此：
原式$=(4x+3)(x+1)$
(4) 对$2x^2 +x -3$，将二次项系数2拆为$2×1$，常数项$-3$拆为$3×(-1)$，交叉相乘得$2×(-1)+1×3=1$，与一次项系数相等，因此：
原式$=(2x+3)(x-1)$
【答案】
(1) $(x - 2)(x - 3)$
(2) $(x - 9)(x + 3)$
(3) $(4x + 3)(x + 1)$
(4) $(2x + 3)(x - 1)$
【知识点】
十字相乘法分解因式；二次三项式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，核心考查十字相乘法的使用技巧，拆分常数项和二次项系数时可多尝试不同组合，分解后通过整式乘法反向验证可有效提高正确率。
【难度系数】
0.75

3. 分解因式:
(1)$b^2 + ab -6a^2$;
(2)$x^2 -11xy -12y^2$.
6. (阅读理解)阅读材料.
分解因式:$x^2 +12x -189$.
分析:由于常数项数值较大,可以先运用完全平方公式将$x^2 +12x -189$变形,再运用平方差公式进行分解,具体做法如下:
解:原式$=x^2 +2·6x +6^2 -6^2 -189=(x+6)^2 -225=(x+6)^2 -15^2=(x+6+15)(x+$

3. (1) 原式 = (b + 3a)(b - 2a).
3. (2) 原式 = (x - 12y)(x + y).

【分析】
这两道题都是二次三项式的因式分解，可采用十字相乘法求解：
1. 第(1)题将式子看作关于b的二次三项式，把a当作常数，需要将常数项-6a²拆分为两个整式的乘积，且这两个整式的和等于一次项系数a，即可完成分解。
2. 第(2)题将式子看作关于x的二次三项式，把y当作常数，需要将常数项-12y²拆分为两个整式的乘积，且这两个整式的和等于一次项系数-11y，即可完成分解。
【解析】
(1) 对$b^2 + ab -6a^2$用十字相乘法拆分：
二次项$b^2$拆为$b × b$，常数项$-6a^2$拆为$3a × (-2a)$，验证交叉乘积和：$b × (-2a) + b × 3a = ab$，与一次项一致，因此：
原式$=(b + 3a)(b - 2a)$
(2) 对$x^2 -11xy -12y^2$用十字相乘法拆分：
二次项$x^2$拆为$x × x$，常数项$-12y^2$拆为$(-12y) × y$，验证交叉乘积和：$x × y + x × (-12y) = -11xy$，与一次项一致，因此：
原式$=(x - 12y)(x + y)$
【答案】
(1) $(b + 3a)(b - 2a)$；(2) $(x - 12y)(x + y)$
【知识点】
十字相乘法；因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是掌握十字相乘法的拆分规则：拆分常数项得到的两个因式的代数和要等于一次项系数，拆分时要注意符号的准确性，分解后可通过整式乘法验证结果是否正确。
【难度系数】
0.8

4. 将下列各式分解因式.
(1) $-3x^2 +6xy +9y^2$；
6-15)=(x+21)(x-9).
请按照上面的方法分解因式:$x^2 -60x +884$.

4. (1) 原式 = $-3(x^2 -2xy -3y^2) = -3(x + y)(x - 3y)$.
6. 解:原式 = $x^2 - 2 · 30x + 30^2 - 30^2 + 884$
= $(x - 30)^2 - 16 = (x - 30)^2 - 4^2$
= $(x - 30 + 4)(x - 30 - 4) = (x - 26)(x - 34)$.

【分析】
第(1)题解题思路：首先观察多项式各项的特征，发现各项均含有公因式-3，第一步先提取公因式，将原式转化为-3与一个二次三项式相乘的形式，再对得到的二次三项式使用十字相乘法分解即可。
$x^2 -60x +884$解题思路：该式是二次项系数为1的二次三项式，我们采用配方法凑完全平方，一次项系数为-60，因此完全平方的常数项为$(\frac{60}{2})^2=900$，将常数项884拆为$900-16$，把原式转化为平方差的结构，再套用平方差公式分解即可。
【解析】
(1) 分解$-3x^2 +6xy +9y^2$：
先提取公因式$-3$，得：
原式$=-3(x^2 - 2xy - 3y^2)$
对二次三项式$x^2 -2xy -3y^2$用十字相乘法分解，将$x^2$拆为$x· x$，$-3y^2$拆为$y· (-3y)$，交叉相乘相加得$-3xy+xy=-2xy$，符合一次项，因此$x^2 -2xy -3y^2=(x+y)(x-3y)$，代入得原式$=-3(x+y)(x-3y)$。
分解$x^2 -60x +884$：
第一步配完全平方：
原式$=x^2 - 2 · 30x + 30^2 - 30^2 + 884$
合并常数项化简为平方差形式：
$=(x - 30)^2 - 16 = (x - 30)^2 - 4^2$
套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=x-30,b=4$：
$=(x - 30 + 4)(x - 30 - 4) = (x - 26)(x - 34)$
【答案】
(1) $-3(x + y)(x - 3y)$；
$x^2 -60x +884=(x - 26)(x - 34)$
【知识点】
提公因式法，十字相乘法，公式法分解因式
【点评】
本题考查因式分解的常规方法，解题时遵循“一提二套”的顺序，先提公因式，再根据多项式的结构选择合适的分解方法，最终结果要保证分解彻底，为最简整式乘积的形式。
【难度系数】
0.7