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1.【例1】分解因式：
(1)$x^2 + 7x + 10$；
(2)$x^2 - 8x + 12$；
(3)$x^2 - x - 6$；
(4)$x^2 + 2x - 8$。
2.分解因式：
(1)$x^2 + 4x + 3$；
(2)$x^2 - 10x + 16$；
(3)$x^2 - 3x - 10$；
(4)$x^2 + 9x - 10$。
(1)$x^2 + 7x + 10$；
(2)$x^2 - 8x + 12$；
(3)$x^2 - x - 6$；
(4)$x^2 + 2x - 8$。
2.分解因式：
(1)$x^2 + 4x + 3$；
(2)$x^2 - 10x + 16$；
(3)$x^2 - 3x - 10$；
(4)$x^2 + 9x - 10$。
答案
1. (1) 解:原式 = $(x + 2)(x + 5)$.
(2) 解:原式 = $(x - 6)(x - 2)$.
(3) 解:原式 = $(x + 2)(x - 3)$.
(4) 解:原式 = $(x + 4)(x - 2)$.
2. (1) 解:原式 = $(x + 1)(x + 3)$.
(2) 解:原式 = $(x - 2)(x - 8)$.
(3) 解:原式 = $(x + 2)(x - 5)$.
(4) 解:原式 = $(x + 10)(x - 1)$.
(2) 解:原式 = $(x - 6)(x - 2)$.
(3) 解:原式 = $(x + 2)(x - 3)$.
(4) 解:原式 = $(x + 4)(x - 2)$.
2. (1) 解:原式 = $(x + 1)(x + 3)$.
(2) 解:原式 = $(x - 2)(x - 8)$.
(3) 解:原式 = $(x + 2)(x - 5)$.
(4) 解:原式 = $(x + 10)(x - 1)$.
解析
【分析】
本组题目均为形如$x^2+bx+c$的二次三项式因式分解题，适用pq型十字相乘法求解，解题思路如下：
1. 核心规律：若能找到两个有理数$p$、$q$，满足$p× q=c$（常数项），且$p+q=b$（一次项系数），则原式可分解为$(x+p)(x+q)$；
2. 找数技巧：常数项为正时，$p$、$q$同号，符号与一次项系数一致；常数项为负时，$p$、$q$异号，绝对值较大的数符号与一次项系数一致。
【解析】
第1大题
(1) 对$x^2 + 7x + 10$，找得$2×5=10$，$2+5=7$，因此原式$=(x+2)(x+5)$；
(2) 对$x^2 - 8x + 12$，找得$(-2)×(-6)=12$，$-2+(-6)=-8$，因此原式$=(x-2)(x-6)$；
(3) 对$x^2 - x - 6$，找得$2×(-3)=-6$，$2+(-3)=-1$，因此原式$=(x+2)(x-3)$；
(4) 对$x^2 + 2x - 8$，找得$4×(-2)=-8$，$4+(-2)=2$，因此原式$=(x+4)(x-2)$。
第2大题
(1) 对$x^2 + 4x + 3$，找得$1×3=3$，$1+3=4$，因此原式$=(x+1)(x+3)$；
(2) 对$x^2 - 10x + 16$，找得$(-2)×(-8)=16$，$-2+(-8)=-10$，因此原式$=(x-2)(x-8)$；
(3) 对$x^2 - 3x - 10$，找得$2×(-5)=-10$，$2+(-5)=-3$，因此原式$=(x+2)(x-5)$；
(4) 对$x^2 + 9x - 10$，找得$10×(-1)=-10$，$10+(-1)=9$，因此原式$=(x+10)(x-1)$。
【答案】
1. (1) $\boldsymbol{(x + 2)(x + 5)}$
(2) $\boldsymbol{(x - 6)(x - 2)}$
(3) $\boldsymbol{(x + 2)(x - 3)}$
(4) $\boldsymbol{(x + 4)(x - 2)}$
2. (1) $\boldsymbol{(x + 1)(x + 3)}$
(2) $\boldsymbol{(x - 2)(x - 8)}$
(3) $\boldsymbol{(x + 2)(x - 5)}$
(4) $\boldsymbol{(x + 10)(x - 1)}$
【知识点】
1. 十字相乘法分解因式
2. 二次三项式因式分解
【点评】
本组题目是二次三项式因式分解的基础训练题，核心是熟练掌握pq型十字相乘法的拆分规律，该方法是后续求解复杂因式分解、一元二次方程的重要基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本组题目均为形如$x^2+bx+c$的二次三项式因式分解题，适用pq型十字相乘法求解，解题思路如下：
1. 核心规律：若能找到两个有理数$p$、$q$，满足$p× q=c$（常数项），且$p+q=b$（一次项系数），则原式可分解为$(x+p)(x+q)$；
2. 找数技巧：常数项为正时，$p$、$q$同号，符号与一次项系数一致；常数项为负时，$p$、$q$异号，绝对值较大的数符号与一次项系数一致。
【解析】
第1大题
(1) 对$x^2 + 7x + 10$，找得$2×5=10$，$2+5=7$，因此原式$=(x+2)(x+5)$；
(2) 对$x^2 - 8x + 12$，找得$(-2)×(-6)=12$，$-2+(-6)=-8$，因此原式$=(x-2)(x-6)$；
(3) 对$x^2 - x - 6$，找得$2×(-3)=-6$，$2+(-3)=-1$，因此原式$=(x+2)(x-3)$；
(4) 对$x^2 + 2x - 8$，找得$4×(-2)=-8$，$4+(-2)=2$，因此原式$=(x+4)(x-2)$。
第2大题
(1) 对$x^2 + 4x + 3$，找得$1×3=3$，$1+3=4$，因此原式$=(x+1)(x+3)$；
(2) 对$x^2 - 10x + 16$，找得$(-2)×(-8)=16$，$-2+(-8)=-10$，因此原式$=(x-2)(x-8)$；
(3) 对$x^2 - 3x - 10$，找得$2×(-5)=-10$，$2+(-5)=-3$，因此原式$=(x+2)(x-5)$；
(4) 对$x^2 + 9x - 10$，找得$10×(-1)=-10$，$10+(-1)=9$，因此原式$=(x+10)(x-1)$。
【答案】
1. (1) $\boldsymbol{(x + 2)(x + 5)}$
(2) $\boldsymbol{(x - 6)(x - 2)}$
(3) $\boldsymbol{(x + 2)(x - 3)}$
(4) $\boldsymbol{(x + 4)(x - 2)}$
2. (1) $\boldsymbol{(x + 1)(x + 3)}$
(2) $\boldsymbol{(x - 2)(x - 8)}$
(3) $\boldsymbol{(x + 2)(x - 5)}$
(4) $\boldsymbol{(x + 10)(x - 1)}$
【知识点】
1. 十字相乘法分解因式
2. 二次三项式因式分解
【点评】
本组题目是二次三项式因式分解的基础训练题，核心是熟练掌握pq型十字相乘法的拆分规律，该方法是后续求解复杂因式分解、一元二次方程的重要基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
3.【例2】分解因式：$x^2 - 2xy - 8y^2$.
4. 分解因式：$x^2 - 3xy + 2y^2$.
4. 分解因式：$x^2 - 3xy + 2y^2$.
答案
3. 解:原式 = $(x - 4y)(x + 2y)$.
4. 解:原式 = $(x - y)(x - 2y)$.
4. 解:原式 = $(x - y)(x - 2y)$.
解析
【分析】
这两道题都是关于x、y的二次齐次三项式，可采用十字相乘法分解因式。解题思路为：将式子看作关于x的二次三项式，把y当作常数，寻找两个含y的单项式，满足二者的乘积等于原式中y²项的系数乘y²，二者的和等于原式中xy项的系数乘y，即可直接写成(x+第一个单项式)(x+第二个单项式)的形式。第3题需找乘积为-8、和为-2的两个数，对应-4和2；第4题需找乘积为2、和为-3的两个数，对应-1和-2。
【解析】
3. 对$x^2 - 2xy - 8y^2$使用十字相乘法：
将二次项$x^2$拆分为$x· x$，把$-8y^2$拆分为$-4y·2y$，交叉相乘求和验证：$x·2y + x·(-4y) = -2xy$，与原式的xy项完全一致，因此可直接分解。
4. 对$x^2 - 3xy + 2y^2$使用十字相乘法：
将二次项$x^2$拆分为$x· x$，把$2y^2$拆分为$(-y)·(-2y)$，交叉相乘求和验证：$x·(-2y) + x·(-y) = -3xy$，与原式的xy项完全一致，因此可直接分解。
【答案】
3. $(x - 4y)(x + 2y)$
4. $(x - y)(x - 2y)$
【知识点】
1. 十字相乘法分解因式
2. 二次三项式因式分解
【点评】
这两道题是因式分解的基础常规题型，核心考查十字相乘法的应用，解题关键是根据一次项和常数项的系数特征，准确匹配拆分的两项，熟练掌握后可快速解决同类二次齐次三项式的分解问题。
【难度系数】
0.8
这两道题都是关于x、y的二次齐次三项式，可采用十字相乘法分解因式。解题思路为：将式子看作关于x的二次三项式，把y当作常数，寻找两个含y的单项式，满足二者的乘积等于原式中y²项的系数乘y²，二者的和等于原式中xy项的系数乘y，即可直接写成(x+第一个单项式)(x+第二个单项式)的形式。第3题需找乘积为-8、和为-2的两个数，对应-4和2；第4题需找乘积为2、和为-3的两个数，对应-1和-2。
【解析】
3. 对$x^2 - 2xy - 8y^2$使用十字相乘法：
将二次项$x^2$拆分为$x· x$，把$-8y^2$拆分为$-4y·2y$，交叉相乘求和验证：$x·2y + x·(-4y) = -2xy$，与原式的xy项完全一致，因此可直接分解。
4. 对$x^2 - 3xy + 2y^2$使用十字相乘法：
将二次项$x^2$拆分为$x· x$，把$2y^2$拆分为$(-y)·(-2y)$，交叉相乘求和验证：$x·(-2y) + x·(-y) = -3xy$，与原式的xy项完全一致，因此可直接分解。
【答案】
3. $(x - 4y)(x + 2y)$
4. $(x - y)(x - 2y)$
【知识点】
1. 十字相乘法分解因式
2. 二次三项式因式分解
【点评】
这两道题是因式分解的基础常规题型，核心考查十字相乘法的应用，解题关键是根据一次项和常数项的系数特征，准确匹配拆分的两项，熟练掌握后可快速解决同类二次齐次三项式的分解问题。
【难度系数】
0.8
5.【例3】分解因式：$3x^2 -8x +4$.
6. 分解因式：$2x^2 -5x -3$.
6. 分解因式：$2x^2 -5x -3$.
答案
5. 解:原式 = $(3x - 2)(x - 2)$.
6. 解:原式 = $(2x + 1)(x - 3)$.
6. 解:原式 = $(2x + 1)(x - 3)$.
解析
【分析】
这两道题都是二次项系数不为1的二次三项式因式分解，适合用十字相乘法求解。解题思路如下：①先拆分二次项系数，拆成两个正整数的乘积；②再拆分常数项，根据一次项系数的正负确定拆分的正负性；③验证交叉相乘的和是否等于一次项系数，若相等则可写成乘积形式。
【解析】
5. 分解$3x^2 -8x +4$：
第一步：拆分二次项系数$3=3×1$，对应因式的一次项为$3x$和$x$；
第二步：常数项为$+4$，一次项系数为$-8$，说明常数项要拆成两个负数相乘，尝试拆为$(-2)×(-2)$；
第三步：十字交叉验证：$3x×(-2) + x×(-2) = -6x-2x=-8x$，与一次项一致，因此原式可分解为乘积形式。
6. 分解$2x^2 -5x -3$：
第一步：拆分二次项系数$2=2×1$，对应因式的一次项为$2x$和$x$；
第二步：常数项为$-3$，一次项系数为$-5$，说明常数项要拆成一正一负相乘，尝试拆为$1×(-3)$；
第三步：十字交叉验证：$2x×(-3) + x×1 = -6x+x=-5x$，与一次项一致，因此原式可分解为乘积形式。
【答案】
5. $\boldsymbol{(3x - 2)(x - 2)}$
6. $\boldsymbol{(2x + 1)(x - 3)}$
【知识点】
1. 十字相乘法分解因式
2. 二次三项式因式分解
【点评】
这两道题是十字相乘法分解因式的基础题型，关键是掌握二次项系数和常数项的拆分技巧，拆分后要验证交叉相乘的和是否等于一次项系数，完成分解后可以通过整式乘法展开验算，保证结果正确。
【难度系数】
0.7
这两道题都是二次项系数不为1的二次三项式因式分解，适合用十字相乘法求解。解题思路如下：①先拆分二次项系数，拆成两个正整数的乘积；②再拆分常数项，根据一次项系数的正负确定拆分的正负性；③验证交叉相乘的和是否等于一次项系数，若相等则可写成乘积形式。
【解析】
5. 分解$3x^2 -8x +4$：
第一步：拆分二次项系数$3=3×1$，对应因式的一次项为$3x$和$x$；
第二步：常数项为$+4$，一次项系数为$-8$，说明常数项要拆成两个负数相乘，尝试拆为$(-2)×(-2)$；
第三步：十字交叉验证：$3x×(-2) + x×(-2) = -6x-2x=-8x$，与一次项一致，因此原式可分解为乘积形式。
6. 分解$2x^2 -5x -3$：
第一步：拆分二次项系数$2=2×1$，对应因式的一次项为$2x$和$x$；
第二步：常数项为$-3$，一次项系数为$-5$，说明常数项要拆成一正一负相乘，尝试拆为$1×(-3)$；
第三步：十字交叉验证：$2x×(-3) + x×1 = -6x+x=-5x$，与一次项一致，因此原式可分解为乘积形式。
【答案】
5. $\boldsymbol{(3x - 2)(x - 2)}$
6. $\boldsymbol{(2x + 1)(x - 3)}$
【知识点】
1. 十字相乘法分解因式
2. 二次三项式因式分解
【点评】
这两道题是十字相乘法分解因式的基础题型，关键是掌握二次项系数和常数项的拆分技巧，拆分后要验证交叉相乘的和是否等于一次项系数，完成分解后可以通过整式乘法展开验算，保证结果正确。
【难度系数】
0.7
