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【例2】利用二次函数的图象求一元二次方程$x^2+2x-2=0$的根的近似值(精确到0.1).
答案
解:(1)作出二次函数$y=x^2+2x-2$的图象.
$\because y=x^2+2x-2=(x+1)^2-3$,
$\therefore$顶点坐标为$(-1,-3)$,对称轴为直线$x=-1$.
列表：
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $1$ | $-2$ | $-3$ | $-2$ | $1$ |
描点并作出图象,如图所示.
由图象可知方程有两根,一个在$-3$和$-2$之间,另一个在$0$和$1$之间.
(2)求出在$-3$和$-2$之间的根,利用计算器进行探索.
| $x$ | $-2.9$ | $-2.8$ | $-2.7$ | $-2.6$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $0.61$ | $0.24$ | $-0.11$ | $-0.44$ |
因此,$x=-2.7$是方程的一个近似根.
(3)求出在$0$和$1$之间的根,利用计算器进行探索.
| $x$ | $0.9$ | $0.8$ | $0.7$ | $0.6$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $0.61$ | $0.24$ | $-0.11$ | $-0.44$ |
因此$x=0.7$是方程的一个近似根.
故一元二次方程$x^2+2x-2=0$的根的近似值为$x_1=-2.7,x_2=0.7$.
解析
【分析】
本题可利用二次函数与一元二次方程的对应关系求解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。解题思路如下：首先写出方程对应的二次函数，通过配方确定函数的顶点坐标、对称轴，画出函数图象，确定图象与x轴交点的大致区间；再在区间内逐步取x的值计算对应的y值，找到y最接近0的x值，即为方程精确到0.1的近似根。
【解析】
(1) 方程$x^2+2x-2=0$对应的二次函数为$y=x^2+2x-2$，将函数配方得：
$y=x^2+2x-2=(x+1)^2-3$
因此函数顶点坐标为$(-1,-3)$，对称轴为直线$x=-1$。
列表取值如下：
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $1$ | $-2$ | $-3$ | $-2$ | $1$ |
描点并作出图象，如图所示：
观察图象可知，函数图象与x轴有两个交点，一个在$-3$和$-2$之间，另一个在$0$和$1$之间，即方程的两个根分别在这两个区间内。
(2) 估算$-3∼-2$区间内的根，取x值计算对应y值如下：
| $x$ | $-2.9$ | $-2.8$ | $-2.7$ | $-2.6$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $0.61$ | $0.24$ | $-0.11$ | $-0.44$ |
当$x=-2.7$时y值最接近0，因此$x=-2.7$是方程的一个近似根。
(3) 估算$0∼1$区间内的根，取x值计算对应y值如下：
| $x$ | $0.9$ | $0.8$ | $0.7$ | $0.6$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $0.61$ | $0.24$ | $-0.11$ | $-0.44$ |
当$x=0.7$时y值最接近0，因此$x=0.7$是方程的另一个近似根。
【答案】
一元二次方程$x^2+2x-2=0$的根的近似值为$x_1=-2.7$，$x_2=0.7$。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 二次函数的图象与性质
3. 一元二次方程近似根估算
【点评】
本题重点考查数形结合思想的应用，需要学生理解二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，掌握逐步试值逼近的估算方法，能有效提升学生用几何方法解决代数问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题可利用二次函数与一元二次方程的对应关系求解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。解题思路如下：首先写出方程对应的二次函数，通过配方确定函数的顶点坐标、对称轴，画出函数图象，确定图象与x轴交点的大致区间；再在区间内逐步取x的值计算对应的y值，找到y最接近0的x值，即为方程精确到0.1的近似根。
【解析】
(1) 方程$x^2+2x-2=0$对应的二次函数为$y=x^2+2x-2$，将函数配方得：
$y=x^2+2x-2=(x+1)^2-3$
因此函数顶点坐标为$(-1,-3)$，对称轴为直线$x=-1$。
列表取值如下：
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $1$ | $-2$ | $-3$ | $-2$ | $1$ |
描点并作出图象，如图所示：
观察图象可知，函数图象与x轴有两个交点，一个在$-3$和$-2$之间，另一个在$0$和$1$之间，即方程的两个根分别在这两个区间内。
(2) 估算$-3∼-2$区间内的根，取x值计算对应y值如下：
| $x$ | $-2.9$ | $-2.8$ | $-2.7$ | $-2.6$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $0.61$ | $0.24$ | $-0.11$ | $-0.44$ |
当$x=-2.7$时y值最接近0，因此$x=-2.7$是方程的一个近似根。
(3) 估算$0∼1$区间内的根，取x值计算对应y值如下：
| $x$ | $0.9$ | $0.8$ | $0.7$ | $0.6$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $0.61$ | $0.24$ | $-0.11$ | $-0.44$ |
当$x=0.7$时y值最接近0，因此$x=0.7$是方程的另一个近似根。
【答案】
一元二次方程$x^2+2x-2=0$的根的近似值为$x_1=-2.7$，$x_2=0.7$。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 二次函数的图象与性质
3. 一元二次方程近似根估算
【点评】
本题重点考查数形结合思想的应用，需要学生理解二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，掌握逐步试值逼近的估算方法，能有效提升学生用几何方法解决代数问题的能力。
【难度系数】
0.6
【变式】如图，以$(2,5)$为顶点的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴负半轴交于点$A$，则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解的范围是
（
A.$2＜x＜3$
B.$1＜x＜2$
C.$4＜x＜5$
D.$5＜x＜6$
（
D
）A.$2＜x＜3$
B.$1＜x＜2$
C.$4＜x＜5$
D.$5＜x＜6$
答案
D
解析
【分析】
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解范围，首先明确该方程的解就是二次函数图象与$x$轴交点的横坐标。二次函数的图象是轴对称图形，过顶点的竖直线为对称轴，图象与$x$轴的两个交点关于对称轴对称。解题思路如下：第一步，根据顶点坐标求出抛物线的对称轴；第二步，观察图象得到$x$轴负半轴交点$A$的横坐标范围；第三步，利用对称性计算正半轴交点的横坐标范围，即为方程的正数解范围。
【解析】
已知二次函数的顶点为$(2,5)$，因此抛物线的对称轴为直线$x=2$。
设二次函数图象与$x$轴负半轴交点$A$的横坐标为$x_1$，正半轴交点的横坐标为$x_2$（即方程的正数解），根据抛物线的对称性，两个交点关于对称轴$x=2$对称，可得：
$\frac{x_1+x_2}{2}=2$，变形得$x_2=4-x_1$。
由图象可知，点$A$的横坐标满足$-2＜x_1＜-1$，对该不等式变形：
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$1＜-x_1＜2$；
不等式两边同时加$4$，得$4+1＜4-x_1＜4+2$，即$5＜x_2＜6$。
因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解的范围是$5＜x＜6$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题核心是利用二次函数的轴对称性求解方程根的范围，解题关键是掌握抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称的性质，结合图象给出的负半轴交点范围，通过简单的不等式变形即可推算正半轴解的范围，解题时注意不等式乘负数时不等号方向要改变。
【难度系数】
0.65
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解范围，首先明确该方程的解就是二次函数图象与$x$轴交点的横坐标。二次函数的图象是轴对称图形，过顶点的竖直线为对称轴，图象与$x$轴的两个交点关于对称轴对称。解题思路如下：第一步，根据顶点坐标求出抛物线的对称轴；第二步，观察图象得到$x$轴负半轴交点$A$的横坐标范围；第三步，利用对称性计算正半轴交点的横坐标范围，即为方程的正数解范围。
【解析】
已知二次函数的顶点为$(2,5)$，因此抛物线的对称轴为直线$x=2$。
设二次函数图象与$x$轴负半轴交点$A$的横坐标为$x_1$，正半轴交点的横坐标为$x_2$（即方程的正数解），根据抛物线的对称性，两个交点关于对称轴$x=2$对称，可得：
$\frac{x_1+x_2}{2}=2$，变形得$x_2=4-x_1$。
由图象可知，点$A$的横坐标满足$-2＜x_1＜-1$，对该不等式变形：
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$1＜-x_1＜2$；
不等式两边同时加$4$，得$4+1＜4-x_1＜4+2$，即$5＜x_2＜6$。
因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解的范围是$5＜x＜6$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题核心是利用二次函数的轴对称性求解方程根的范围，解题关键是掌握抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称的性质，结合图象给出的负半轴交点范围，通过简单的不等式变形即可推算正半轴解的范围，解题时注意不等式乘负数时不等号方向要改变。
【难度系数】
0.65
【例3】教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系(如图)，发现铅球与地面的高度 $y(\mathrm{m})$ 和运动员出手点的水平距离 $x(\mathrm{m})$之间的函数关系为 $y=-\dfrac{1}{10}x^2+\dfrac{4}{5}x+2$，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是
10
m.答案
10
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确铅球落地点的实际意义：铅球落到地面时，与地面的高度$ y=0 $。因此我们只需将$ y=0 $代入给出的二次函数解析式，求解对应的$ x $的值，再结合实际情况舍去不符合要求的负根，得到的正根就是铅球落地点与出手点的水平距离。
【解析】
当铅球落地时，高度$ y = 0 $，将$ y=0 $代入函数$ y=-\dfrac{1}{10}x^2+\dfrac{4}{5}x+2 $，得：
$0 = -\dfrac{1}{10}x^2+\dfrac{4}{5}x+2$
方程两边同时乘以10消去分母，整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - 8x - 20 = 0$
因式分解得：
$(x - 10)(x + 2) = 0$
解得$ x_1 = 10 $，$ x_2 = -2 $。
由于水平距离不能为负数，因此舍去$ x=-2 $。
【答案】
10
【知识点】
二次函数的应用；解一元二次方程；函数实际意义
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，核心是将实际问题转化为函数解方程的问题，求解后要注意根据实际含义对根进行取舍，属于二次函数应用类的基础典型题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确铅球落地点的实际意义：铅球落到地面时，与地面的高度$ y=0 $。因此我们只需将$ y=0 $代入给出的二次函数解析式，求解对应的$ x $的值，再结合实际情况舍去不符合要求的负根，得到的正根就是铅球落地点与出手点的水平距离。
【解析】
当铅球落地时，高度$ y = 0 $，将$ y=0 $代入函数$ y=-\dfrac{1}{10}x^2+\dfrac{4}{5}x+2 $，得：
$0 = -\dfrac{1}{10}x^2+\dfrac{4}{5}x+2$
方程两边同时乘以10消去分母，整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - 8x - 20 = 0$
因式分解得：
$(x - 10)(x + 2) = 0$
解得$ x_1 = 10 $，$ x_2 = -2 $。
由于水平距离不能为负数，因此舍去$ x=-2 $。
【答案】
10
【知识点】
二次函数的应用；解一元二次方程；函数实际意义
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，核心是将实际问题转化为函数解方程的问题，求解后要注意根据实际含义对根进行取舍，属于二次函数应用类的基础典型题。
【难度系数】
0.7
1.二次函数$y=ax^2 - bx + 2$的图象与x轴交于$A(-2,0),B(3,0)$两点,则关于x的一元二次方程$ax^2 - bx + 2=0$的解为 (
A.$x_1=-2,x_2=3$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=-1,x_2=2$
D.$x_1=2,x_2=-3$
A
)A.$x_1=-2,x_2=3$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=-1,x_2=2$
D.$x_1=2,x_2=-3$
答案
1. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数与对应一元二次方程的关系：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个实数根。本题已经直接给出二次函数与x轴的两个交点坐标，我们只需提取两个交点的横坐标，就能直接得到对应方程的解，无需计算参数a、b的具体值，可简化解题步骤。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系可知：二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的解。
已知二次函数$y=ax^2 - bx + 2$的图象与x轴交于$A(-2,0)$、$B(3,0)$两点，因此两个交点的横坐标-2、3就是方程$ax^2 - bx + 2=0$的两个解，即$x_1=-2,x_2=3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系 2.一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，掌握该对应关系即可快速得出答案，无需计算未知参数，解题难度较低。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆二次函数与对应一元二次方程的关系：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个实数根。本题已经直接给出二次函数与x轴的两个交点坐标，我们只需提取两个交点的横坐标，就能直接得到对应方程的解，无需计算参数a、b的具体值，可简化解题步骤。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系可知：二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的解。
已知二次函数$y=ax^2 - bx + 2$的图象与x轴交于$A(-2,0)$、$B(3,0)$两点，因此两个交点的横坐标-2、3就是方程$ax^2 - bx + 2=0$的两个解，即$x_1=-2,x_2=3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系 2.一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，掌握该对应关系即可快速得出答案，无需计算未知参数，解题难度较低。
【难度系数】
0.9
2. (2025沈阳模拟)函数$y=x^2 -x +1$的图象与x轴的交点的情况是（
A.有两个交点
B.有一个交点
C.没有交点
D.无法判断
C
）A.有两个交点
B.有一个交点
C.没有交点
D.无法判断
答案
2. C
解析
【分析】
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，可借助一元二次方程根的判别式Δ来分析：二次函数y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程ax²+bx+c=0的实根，交点个数和方程实根个数一致。解题步骤如下：第一步先确定函数中a、b、c的取值；第二步代入Δ=b²-4ac计算判别式的值；第三步根据Δ的符号判断交点情况：Δ＞0时有两个交点，Δ=0时有一个交点，Δ＜0时没有交点。
【解析】
对于二次函数$ y = x^2 - x + 1 $，可得各项系数：$ a=1 $，$ b=-1 $，$ c=1 $。
代入根的判别式公式计算：
$ \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 × 1 × 1 = 1 - 4 = -3 $
由于$ \Delta = -3 ＜ 0 $，说明对应的一元二次方程$ x^2 - x + 1 = 0 $没有实数根，因此该函数图象与x轴没有交点。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数图象与x轴交点个数和根的判别式的对应关系，牢记判别式的计算规则和不同取值对应的交点情况就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，可借助一元二次方程根的判别式Δ来分析：二次函数y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程ax²+bx+c=0的实根，交点个数和方程实根个数一致。解题步骤如下：第一步先确定函数中a、b、c的取值；第二步代入Δ=b²-4ac计算判别式的值；第三步根据Δ的符号判断交点情况：Δ＞0时有两个交点，Δ=0时有一个交点，Δ＜0时没有交点。
【解析】
对于二次函数$ y = x^2 - x + 1 $，可得各项系数：$ a=1 $，$ b=-1 $，$ c=1 $。
代入根的判别式公式计算：
$ \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 × 1 × 1 = 1 - 4 = -3 $
由于$ \Delta = -3 ＜ 0 $，说明对应的一元二次方程$ x^2 - x + 1 = 0 $没有实数根，因此该函数图象与x轴没有交点。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数图象与x轴交点个数和根的判别式的对应关系，牢记判别式的计算规则和不同取值对应的交点情况就能快速解题。
【难度系数】
0.9
3. (2025 遂宁模拟)下表列出了函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$中自变量$x$与函数值$y$的部分对应值.根据表中数据,判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个解在哪两个相邻的整数之间 (
A.1与2之间
B.−2与−1之间
C.−1与0之间
D.0与1之间
D
)A.1与2之间
B.−2与−1之间
C.−1与0之间
D.0与1之间
答案
3. D
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先明确关联：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解，就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的函数值为0时的自变量x的取值，也对应二次函数图象与x轴交点的横坐标。2. 二次函数的图象是连续的曲线，因此当两个相邻整数x对应的函数值y符号相反（一正一负）时，这两个整数之间一定存在某个x使得y=0，即方程的一个解在这两个整数之间。3. 逐组查看表格中相邻x对应的y值的符号，找到符号发生变化的区间即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系，方程$ax^2+bx+c=0$的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的x值。
观察表格中的数据：
当$x=0$时，$y=1＞0$；
当$x=1$时，$y=-2＜0$。
由于二次函数图象是连续的，因此在$0＜x＜1$的区间内，必然存在一个x使得$y=0$，即一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个解在0与1之间。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，通过函数值的符号变化判断对应方程解的范围，解题的关键是理解二次函数和一元二次方程的对应关系，是常考的基础考点。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 首先明确关联：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解，就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的函数值为0时的自变量x的取值，也对应二次函数图象与x轴交点的横坐标。2. 二次函数的图象是连续的曲线，因此当两个相邻整数x对应的函数值y符号相反（一正一负）时，这两个整数之间一定存在某个x使得y=0，即方程的一个解在这两个整数之间。3. 逐组查看表格中相邻x对应的y值的符号，找到符号发生变化的区间即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系，方程$ax^2+bx+c=0$的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的x值。
观察表格中的数据：
当$x=0$时，$y=1＞0$；
当$x=1$时，$y=-2＜0$。
由于二次函数图象是连续的，因此在$0＜x＜1$的区间内，必然存在一个x使得$y=0$，即一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个解在0与1之间。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，通过函数值的符号变化判断对应方程解的范围，解题的关键是理解二次函数和一元二次方程的对应关系，是常考的基础考点。
【难度系数】
0.8
4.在平面直角坐标系中，若抛物线$y=x^2+2x+k$与x轴只有一个交点，则k的值为
1
。答案
4. 1
解析
【分析】
当抛物线与x轴只有一个交点时，说明抛物线对应的一元二次方程有两个相等的实数根，此时根的判别式Δ=0。我们只需先确定二次函数解析式中a、b、c的值，代入判别式公式列方程，即可求出k的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2+2x+k$与x轴只有一个交点，
∴对应的一元二次方程$x^2+2x+k=0$有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$。
在二次函数$y=x^2+2x+k$中，$a=1$，$b=2$，$c=k$，代入得：
$2^2 - 4×1× k = 0$
$4 - 4k = 0$
解得$k=1$。
【答案】
1
【知识点】
1.二次函数与x轴交点问题
2.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和根的判别式的对应关系，牢记三者的对应规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
当抛物线与x轴只有一个交点时，说明抛物线对应的一元二次方程有两个相等的实数根，此时根的判别式Δ=0。我们只需先确定二次函数解析式中a、b、c的值，代入判别式公式列方程，即可求出k的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2+2x+k$与x轴只有一个交点，
∴对应的一元二次方程$x^2+2x+k=0$有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$。
在二次函数$y=x^2+2x+k$中，$a=1$，$b=2$，$c=k$，代入得：
$2^2 - 4×1× k = 0$
$4 - 4k = 0$
解得$k=1$。
【答案】
1
【知识点】
1.二次函数与x轴交点问题
2.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和根的判别式的对应关系，牢记三者的对应规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
5. (2026北京月考)函数$y=(m-1)x^2+2x+1$与$x$轴有两个交点，求$m$的取值范围.
答案
5. 解:由条件得$\begin{cases}\Delta=2^2-4·(m-1)·1＞0,\\m-1≠0,\end{cases}$
解得$m＜2$且$m≠1$.
解得$m＜2$且$m≠1$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确函数与x轴有两个交点的前提：若函数为一次函数（即二次项系数为0），和x轴最多只有1个交点，不符合题意，因此首先要保证该函数是二次函数，即二次项系数不为0；其次，二次函数与x轴有两个交点等价于对应的一元二次方程根的判别式Δ＞0，联立这两个条件解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵函数$y=(m-1)x^2+2x+1$与$x$轴有两个交点，
∴该函数为二次函数，且对应的一元二次方程$(m-1)x^2+2x+1=0$有两个不相等的实数根，
因此可列不等式组：
$\begin{cases}m-1 ≠ 0 \\\Delta = 2^2 - 4·(m-1)·1 ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式得：$m ≠ 1$
解第二个不等式：
$4 - 4(m-1) ＞ 0$
$8 - 4m ＞ 0$
解得$m ＜ 2$
综上可得m的取值范围。
【答案】
$m＜2$且$m≠1$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 抛物线与x轴交点判定
3. 根的判别式应用
【点评】
本题易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式大于0求解得到$m＜2$，漏掉$m≠1$的限制，解题时需先判断函数类型，再结合交点条件求解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确函数与x轴有两个交点的前提：若函数为一次函数（即二次项系数为0），和x轴最多只有1个交点，不符合题意，因此首先要保证该函数是二次函数，即二次项系数不为0；其次，二次函数与x轴有两个交点等价于对应的一元二次方程根的判别式Δ＞0，联立这两个条件解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵函数$y=(m-1)x^2+2x+1$与$x$轴有两个交点，
∴该函数为二次函数，且对应的一元二次方程$(m-1)x^2+2x+1=0$有两个不相等的实数根，
因此可列不等式组：
$\begin{cases}m-1 ≠ 0 \\\Delta = 2^2 - 4·(m-1)·1 ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式得：$m ≠ 1$
解第二个不等式：
$4 - 4(m-1) ＞ 0$
$8 - 4m ＞ 0$
解得$m ＜ 2$
综上可得m的取值范围。
【答案】
$m＜2$且$m≠1$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 抛物线与x轴交点判定
3. 根的判别式应用
【点评】
本题易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式大于0求解得到$m＜2$，漏掉$m≠1$的限制，解题时需先判断函数类型，再结合交点条件求解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
