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课前预习
教材梳理，厘清必备知识
1. 二次函数与一元二次方程的关系
(1)由二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴的交点情况判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况：
一般地，如果二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴有两个交点$(x_1,0),(x_2,0)$，那么一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根$x=x_1,x=x_2$；
如果二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴有一个交点$(d,0)$，那么一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根$x_1=x_2=d$；
如果二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴没有交点，那么一元二次方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根。
(2)由一元二次方程的根的情况确定相应的二次函数的图象与$x$轴的位置关系.具体如下表所示：
教材梳理，厘清必备知识
1. 二次函数与一元二次方程的关系
(1)由二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴的交点情况判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况：
一般地，如果二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴有两个交点$(x_1,0),(x_2,0)$，那么一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根$x=x_1,x=x_2$；
如果二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴有一个交点$(d,0)$，那么一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根$x_1=x_2=d$；
如果二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴没有交点，那么一元二次方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根。
(2)由一元二次方程的根的情况确定相应的二次函数的图象与$x$轴的位置关系.具体如下表所示：
答案
解：
根据一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：
方程有两个不相等的实数根时，$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$；
方程有两个相等的实数根时，$\Delta = b^2-4ac = 0$；
方程没有实数根时，$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$。
表格中三个空从左到右依次填入：$\boldsymbol{＞}$，$\boldsymbol{=}$，$\boldsymbol{＜}$。
根据一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：
方程有两个不相等的实数根时，$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$；
方程有两个相等的实数根时，$\Delta = b^2-4ac = 0$；
方程没有实数根时，$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$。
表格中三个空从左到右依次填入：$\boldsymbol{＞}$，$\boldsymbol{=}$，$\boldsymbol{＜}$。
解析
【分析】
解题时可结合一元二次方程根的判别式的意义，也可结合二次函数图象与x轴的交点个数推导判别式和0的大小关系：①当二次函数图象与x轴有2个不同交点，对应方程有2个不等实根，此时判别式大于0；②当二次函数图象与x轴只有1个交点，对应方程有2个相等实根，此时判别式等于0；③当二次函数图象与x轴没有交点，对应方程无实根，此时判别式小于0，对应表格三列依次填写即可。
【解析】
根据一元二次方程根的情况与判别式$\Delta=b^2-4ac$的对应关系：
1. 当方程有两个不相等的实数根时，$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$；
2. 当方程有两个相等的实数根时，$\Delta = b^2-4ac = 0$；
3. 当方程没有实数根时，$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$。
因此表格中三个空从左到右依次填入$＞$、$=$、$＜$。
【答案】
表格从左到右依次为：$\boldsymbol{＞}$，$\boldsymbol{=}$，$\boldsymbol{＜}$
【知识点】
根的判别式，二次函数与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于基础概念题，核心考察二次函数图象与一元二次方程根的对应关系，熟练掌握判别式和根的个数、图象交点个数的对应规律，是解决二次函数相关问题的基础。
【难度系数】
0.9
解题时可结合一元二次方程根的判别式的意义，也可结合二次函数图象与x轴的交点个数推导判别式和0的大小关系：①当二次函数图象与x轴有2个不同交点，对应方程有2个不等实根，此时判别式大于0；②当二次函数图象与x轴只有1个交点，对应方程有2个相等实根，此时判别式等于0；③当二次函数图象与x轴没有交点，对应方程无实根，此时判别式小于0，对应表格三列依次填写即可。
【解析】
根据一元二次方程根的情况与判别式$\Delta=b^2-4ac$的对应关系：
1. 当方程有两个不相等的实数根时，$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$；
2. 当方程有两个相等的实数根时，$\Delta = b^2-4ac = 0$；
3. 当方程没有实数根时，$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$。
因此表格中三个空从左到右依次填入$＞$、$=$、$＜$。
【答案】
表格从左到右依次为：$\boldsymbol{＞}$，$\boldsymbol{=}$，$\boldsymbol{＜}$
【知识点】
根的判别式，二次函数与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于基础概念题，核心考察二次函数图象与一元二次方程根的对应关系，熟练掌握判别式和根的个数、图象交点个数的对应规律，是解决二次函数相关问题的基础。
【难度系数】
0.9
(3)求一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是求二次函数$y=ax^2+bx+c$在$y=0$时自变量$x$的值，也就是二次函数图象与$x$轴交点的横坐标，因而可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根。要注意的是，由于作图或观察容易产生误差，因而利用图象求得的根，一般是近似的。
2. 图象法解一元二次方程
先画出二次函数对应的抛物线，然后从图象上找出它与$x$轴的交点的
课堂探究
典例研习，掌握关键能力
探究1 二次函数与一元二次方程的关系
2. 图象法解一元二次方程
先画出二次函数对应的抛物线，然后从图象上找出它与$x$轴的交点的
横坐标
。这种解一元二次方程的方法叫作图象法。课堂探究
典例研习，掌握关键能力
探究1 二次函数与一元二次方程的关系
答案
2. 横坐标
解析
【分析】
解题时先结合已给出的二次函数与一元二次方程的对应关系思考：一元二次方程的根本质是二次函数y=0时自变量x的取值，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，因此图象法解方程的核心就是获取交点对应的横坐标，顺着这个逻辑就能确定空缺处的内容。
【解析】
由题干已知信息可知，一元二次方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，因此用图象法解一元二次方程时，画出对应二次函数的抛物线后，只需找到它与x轴交点的横坐标，即可得到方程的根，所以空缺处应填“横坐标”。
【答案】
横坐标
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 图象法解一元二次方程
【点评】
本题是基础概念识记类题目，主要考查对二次函数和一元二次方程对应关系的理解，只要掌握核心对应逻辑就能快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先结合已给出的二次函数与一元二次方程的对应关系思考：一元二次方程的根本质是二次函数y=0时自变量x的取值，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，因此图象法解方程的核心就是获取交点对应的横坐标，顺着这个逻辑就能确定空缺处的内容。
【解析】
由题干已知信息可知，一元二次方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，因此用图象法解一元二次方程时，画出对应二次函数的抛物线后，只需找到它与x轴交点的横坐标，即可得到方程的根，所以空缺处应填“横坐标”。
【答案】
横坐标
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 图象法解一元二次方程
【点评】
本题是基础概念识记类题目，主要考查对二次函数和一元二次方程对应关系的理解，只要掌握核心对应逻辑就能快速作答。
【难度系数】
0.9
【例1】试判断下列抛物线与x轴的交点情况：
(1)$y=2x^2 - 3x + 1$；
(2)$y=4x^2 + 4x + 1$；
(3)$y=-x^2 + 2x - 4$。
(1)$y=2x^2 - 3x + 1$；
(2)$y=4x^2 + 4x + 1$；
(3)$y=-x^2 + 2x - 4$。
答案
解:(1)$\Delta=b^2-4ac=9-4×2×1=1＞0$,故抛物线与$x$轴有两个不同的交点；
(2)$\Delta=b^2-4ac=16-4×4×1=0$,故抛物线与$x$轴有两个重合的交点；
(3)$\Delta=b^2-4ac=4-4×(-1)×(-4)=-12＜0$,故抛物线与$x$轴没有交点.
(2)$\Delta=b^2-4ac=16-4×4×1=0$,故抛物线与$x$轴有两个重合的交点；
(3)$\Delta=b^2-4ac=4-4×(-1)×(-4)=-12＜0$,故抛物线与$x$轴没有交点.
解析
【分析】
判断抛物线与x轴的交点情况，可利用二次函数和一元二次方程的对应关系，通过计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值判断：对二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，$\Delta＞0$时抛物线与x轴有两个不同交点，$\Delta=0$时抛物线与x轴有两个重合的交点，$\Delta＜0$时抛物线与x轴没有交点。解题时先分别确定每个二次函数的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再代入公式计算$\Delta$，最后根据$\Delta$的符号判断交点情况即可。
【解析】
(1) 对$y=2x^2 - 3x + 1$，取$a=2,b=-3,c=1$，
$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×1=9-8=1＞0$，故抛物线与x轴有两个不同的交点；
(2) 对$y=4x^2 + 4x + 1$，取$a=4,b=4,c=1$，
$\Delta=b^2-4ac=4^2-4×4×1=16-16=0$，故抛物线与x轴有两个重合的交点；
(3) 对$y=-x^2 + 2x - 4$，取$a=-1,b=2,c=-4$，
$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×(-1)×(-4)=4-16=-12＜0$，故抛物线与x轴没有交点。
【答案】
(1)抛物线与$x$轴有两个不同的交点；
(2)抛物线与$x$轴有两个重合的交点；
(3)抛物线与$x$轴没有交点。
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；根的判别式；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是基础题型，重点考查判别式的实际应用，解题核心是准确提取二次函数的各项系数，正确计算判别式并熟记判别式取值对应的交点结论。
【难度系数】
0.8
判断抛物线与x轴的交点情况，可利用二次函数和一元二次方程的对应关系，通过计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值判断：对二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，$\Delta＞0$时抛物线与x轴有两个不同交点，$\Delta=0$时抛物线与x轴有两个重合的交点，$\Delta＜0$时抛物线与x轴没有交点。解题时先分别确定每个二次函数的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再代入公式计算$\Delta$，最后根据$\Delta$的符号判断交点情况即可。
【解析】
(1) 对$y=2x^2 - 3x + 1$，取$a=2,b=-3,c=1$，
$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×1=9-8=1＞0$，故抛物线与x轴有两个不同的交点；
(2) 对$y=4x^2 + 4x + 1$，取$a=4,b=4,c=1$，
$\Delta=b^2-4ac=4^2-4×4×1=16-16=0$，故抛物线与x轴有两个重合的交点；
(3) 对$y=-x^2 + 2x - 4$，取$a=-1,b=2,c=-4$，
$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×(-1)×(-4)=4-16=-12＜0$，故抛物线与x轴没有交点。
【答案】
(1)抛物线与$x$轴有两个不同的交点；
(2)抛物线与$x$轴有两个重合的交点；
(3)抛物线与$x$轴没有交点。
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；根的判别式；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是基础题型，重点考查判别式的实际应用，解题核心是准确提取二次函数的各项系数，正确计算判别式并熟记判别式取值对应的交点结论。
【难度系数】
0.8
【变式】(2025贵州期末)若关于x的二次函数$y=-x^2+mx+n$的图象与x轴的交点坐标是$(-1,0)$和$(3,0)$，则关于x的一元二次方程$-x^2+mx+n=0$的解为（
A.$x_1=x_2=0$
B.$x_1=1,x_2=-3$
C.$x_1=1,x_2=0$
D.$x_1=-1,x_2=3$
D
）A.$x_1=x_2=0$
B.$x_1=1,x_2=-3$
C.$x_1=1,x_2=0$
D.$x_1=-1,x_2=3$
答案
D
解析
【分析】
解题的核心是明确二次函数与对应一元二次方程的关系：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，就是当$y=0$时对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解。拿到题目后，我们直接提取已知的二次函数与x轴两个交点的横坐标，就是所求一元二次方程的两个解，再匹配选项即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系：对于二次函数$y=-x^2+mx+n$，当$y=0$时，得到的方程就是一元二次方程$-x^2+mx+n=0$，此时二次函数图象与x轴交点的横坐标就是该方程的解。
已知二次函数图象与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，因此方程$-x^2+mx+n=0$的解为$x_1=-1$，$x_2=3$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，只需掌握二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的解这一核心关系，就能直接得出答案，无需复杂运算。
【难度系数】
0.9
解题的核心是明确二次函数与对应一元二次方程的关系：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，就是当$y=0$时对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解。拿到题目后，我们直接提取已知的二次函数与x轴两个交点的横坐标，就是所求一元二次方程的两个解，再匹配选项即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系：对于二次函数$y=-x^2+mx+n$，当$y=0$时，得到的方程就是一元二次方程$-x^2+mx+n=0$，此时二次函数图象与x轴交点的横坐标就是该方程的解。
已知二次函数图象与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，因此方程$-x^2+mx+n=0$的解为$x_1=-1$，$x_2=3$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，只需掌握二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的解这一核心关系，就能直接得出答案，无需复杂运算。
【难度系数】
0.9
