【例1】如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ BCA = 90°$，$AC=12$，$AB=13$，D是$Rt△ ABC$外一点，连接DC，DB，且$CD=4$，$BD=3$。
(1)求BC的长；
(2)求证：$△ BCD$是直角三角形。

(1) 解:因为 $Rt△ABC$ 中,$∠BCA=90°,AC=12,AB=13$,所以 $BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$.
(2) 证明:因为在$△BCD$ 中,$CD=4,BD=3,BC=5$,所以 $CD^2+BD^2=4^2+3^2=5^2=BC^2$,所以$△BCD$ 是直角三角形.

【分析】
(1) 求BC的长度时，已知△ABC是直角三角形且直角为∠BCA，同时给出了斜边AB和直角边AC的长度，直接运用勾股定理就能计算出另一条直角边BC的长度。(2) 要证明△BCD是直角三角形，已知该三角形三条边的长度，只需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若满足该关系即可根据勾股定理的逆定理完成证明。
【解析】
(1) 解：在$Rt△ABC$中，$∠ BCA=90°$，$AC=12$，$AB=13$，根据勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$
(2) 证明：在$△BCD$中，已知$CD=4$，$BD=3$，由(1)得$BC=5$，计算三边平方得：
$CD^2+BD^2=4^2+3^2=16+9=25$，$BC^2=5^2=25$
因此$CD^2+BD^2=BC^2$，根据勾股定理的逆定理，可判定$△BCD$是直角三角形。
【答案】
(1) $BC=5$
(2) △BCD是直角三角形，证明成立。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的基础应用题型，解题核心是明确两个定理的适用场景：勾股定理用于直角三角形中已知两边求第三边，勾股定理的逆定理用于通过三边长度关系判断三角形是否为直角三角形，解题思路清晰，属于基础巩固类题目。
【难度系数】
0.9

【变式1】下列四组线段中，可以首尾相接构成直角三角形的是（）

A.2,3,4
B.6,8,10
C.4,5,6
D.1,$\sqrt{2}$,3

B

【分析】
要判断四组线段能否构成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形三边长a、b、c（c为最长边）满足a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形。解题时先找出每个选项中的最长边，再计算两条较短边的平方和，将其与最长边的平方比较，若相等则可构成直角三角形，否则不能。
【解析】
我们逐个验证选项：
A. 三条边为2、3、4，最长边是4。计算得2²+3²=4+9=13，4²=16，13≠16，不能构成直角三角形，不符合要求；
B. 三条边为6、8、10，最长边是10。计算得6²+8²=36+64=100，10²=100，满足6²+8²=10²，可以构成直角三角形，符合要求；
C. 三条边为4、5、6，最长边是6。计算得4²+5²=16+25=41，6²=36，41≠36，不能构成直角三角形，不符合要求；
D. 三条边为1、$\sqrt{2}$、3，最长边是3。计算得1²+$(\sqrt{2})^2$=1+2=3，3²=9，3≠9，不能构成直角三角形，不符合要求。
综上，只有B选项符合条件。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；平方运算
【点评】
本题属于勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是明确逆定理的判定逻辑，注意计算前先确定最长边，避免因边长顺序搞错导致计算错误。
【难度系数】
0.8

【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1. 求∠DAB的度数.

解:如图,连接 AC.

因为$∠B=90°,AB=BC=2$,
所以 $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$,
$∠BAC=∠ACB=45°$.
因为 $CD=3,DA=1$,
所以 $AD^2+AC^2=1^2+(2\sqrt{2})^2=9,CD^2=3^2=9$,
所以 $AD^2+AC^2=CD^2$,
所以$△ADC$ 是直角三角形,且$∠DAC=90°$,
所以$∠DAB=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°$.

【分析】
本题为四边形角度求解问题，可通过作辅助线将四边形转化为三角形求解。首先观察到∠B是直角且AB=BC，因此连接AC后，可先在Rt△ABC中用勾股定理算出AC的长度，同时得到等腰直角三角形的底角∠BAC=45°；再结合已知的AD、CD长度，用勾股定理的逆定理判断△ADC是否为直角三角形，若得到∠DAC为直角，最后将两个角相加即可求出∠DAB的度数。
【解析】
解：如图，连接AC。

∵$∠ B=90°$，$AB=BC=2$，
∴由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
且等腰直角$△ ABC$中，$∠ BAC=∠ ACB=45°$。
已知$CD=3$，$DA=1$，计算边长平方可得：
$AD^2+AC^2=1^2+(2\sqrt{2})^2=1+8=9$，$CD^2=3^2=9$，
∴$AD^2+AC^2=CD^2$，
由勾股定理的逆定理可知，$△ ADC$是直角三角形，且$∠ DAC=90°$，
∴$∠ DAB=∠ BAC+∠ DAC=45°+90°=135°$。
【答案】
$\boxed{135°}$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题考查勾股定理与勾股定理逆定理的综合应用，解题核心是通过作辅助线将四边形问题转化为三角形问题，先借助勾股定理求得公共边AC的长度，再利用逆定理判定直角三角形，进而求出目标角度，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.7

【例2】一种机器零件的形状如图所示，按规定，这个零件中的∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由。

解:符合要求.理由如下:
因为 $AD=12,AB=9,DC=17,BC=8,BD=15$,
所以 $AB^2+AD^2=BD^2,BD^2+BC^2=DC^2$,
所以$△ABD,△BDC$ 都是直角三角形,$∠A=90°,∠DBC=90°$.
故这个零件符合要求.

【分析】
要判断零件是否符合要求，只需验证∠A和∠DBC是否为直角，可利用勾股定理的逆定理分析：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角。首先分析△ABD的三边关系，判断∠A是否为直角；再分析△BDC的三边关系，判断∠DBC是否为直角，若两个角均为直角则零件符合要求。
【解析】
这个零件符合要求，理由如下：
已知$AD=12$，$AB=9$，$BD=15$，$BC=8$，$DC=17$，
在$△ ABD$中，$AB^2+AD^2=9^2+12^2=81+144=225$，$BD^2=15^2=225$，
因此$AB^2+AD^2=BD^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ABD$是直角三角形，$∠ A=90°$；
在$△ BDC$中，$BD^2+BC^2=15^2+8^2=225+64=289$，$DC^2=17^2=289$，
因此$BD^2+BC^2=DC^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ BDC$是直角三角形，$∠ DBC=90°$。
综上，$∠ A$和$∠ DBC$都为直角，零件符合要求。
【答案】
这个零件符合要求。
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于勾股定理逆定理的实际应用题，解题的关键是将实际的合格要求转化为几何中直角三角形的判定问题，通过计算三角形三边的平方关系即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8