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14. 新趋势·结论开放 在整式$2(x-1), \frac{x+5}{2}, \frac{2(x+3)}{3}$中任选两个整式构建一个方程,并解方程.
答案
14. 解:当选择整式 2(x-1) 和 $\frac{x+5}{2}$ 构建方程时,
可得 $2(x-1)=\frac{x+5}{2}$.
去分母,得 4(x-1)=x+5.
去括号,得 4x-4=x+5.
移项,得 4x-x=5+4.
合并同类项,得 3x=9.
系数化为 1,得 x=3.
(答案不唯一)
可得 $2(x-1)=\frac{x+5}{2}$.
去分母,得 4(x-1)=x+5.
去括号,得 4x-4=x+5.
移项,得 4x-x=5+4.
合并同类项,得 3x=9.
系数化为 1,得 x=3.
(答案不唯一)
解析
【分析】
这是一道结论开放型题目，解题可分为两步：第一步，根据方程的定义（含有未知数的等式），从给出的三个整式中任意选两个，用等号连接就能得到一个一元一次方程；第二步，按照解一元一次方程的常规步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1逐步求解即可，选择的整式不同，得到的方程和解也可能不同。
【解析】
我们选择整式$2(x-1)$和$\frac{x+5}{2}$构建方程，可得：
$2(x-1)=\frac{x+5}{2}$
去分母，得：$4(x-1)=x+5$
去括号，得：$4x-4=x+5$
移项，得：$4x-x=5+4$
合并同类项，得：$3x=9$
系数化为1，得：$x=3$
(选择其他整式构建方程求解也可)
【答案】
如选择$2(x-1)$和$\frac{x+5}{2}$构建方程，解得$x=3$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于开放类题型，形式灵活，主要考查对一元一次方程的认识和解一元一次方程步骤的掌握情况，解题时只要严格按照解方程的规范步骤操作即可避免出错。
【难度系数】
0.8
这是一道结论开放型题目，解题可分为两步：第一步，根据方程的定义（含有未知数的等式），从给出的三个整式中任意选两个，用等号连接就能得到一个一元一次方程；第二步，按照解一元一次方程的常规步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1逐步求解即可，选择的整式不同，得到的方程和解也可能不同。
【解析】
我们选择整式$2(x-1)$和$\frac{x+5}{2}$构建方程，可得：
$2(x-1)=\frac{x+5}{2}$
去分母，得：$4(x-1)=x+5$
去括号，得：$4x-4=x+5$
移项，得：$4x-x=5+4$
合并同类项，得：$3x=9$
系数化为1，得：$x=3$
(选择其他整式构建方程求解也可)
【答案】
如选择$2(x-1)$和$\frac{x+5}{2}$构建方程，解得$x=3$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于开放类题型，形式灵活，主要考查对一元一次方程的认识和解一元一次方程步骤的掌握情况，解题时只要严格按照解方程的规范步骤操作即可避免出错。
【难度系数】
0.8
15. 新考法·项目式学习 从任务1、任务2中任选一个,并解答.
| 项目 | 设计合适的盒子 |
| --- | --- |
| 材料 | 一块长为90 cm,宽为60 cm的长方形硬纸板(纸板的厚度忽略不计) |
| 项目1: 设计无盖长方体盒子 | |
| 方案1 | 在这块长方形硬纸板的四个角处各剪去一个同样大小的正方形(图1),再折叠成一个无盖的长方体盒子(图2),该长方体盒子底面的周长是220 cm |
| 示意图 |
图2 |
| 任务1 | 根据方案1,求出该无盖长方体盒子的高 |
| 项目2: 设计有盖长方体盒子 | |
| 方案2 | 在这块长方形硬纸板的四个角处分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样大小的长方形(图3),再折叠成一个有盖的长方体盒子(图4),该长方体盒子底面的长是宽的4倍 |
| 示意图 | 图3 图4 |
| 任务2 | 根据方案2,求出剪去的正方形的边长,并求出该有盖长方体盒子的体积 |
| 项目 | 设计合适的盒子 |
| --- | --- |
| 材料 | 一块长为90 cm,宽为60 cm的长方形硬纸板(纸板的厚度忽略不计) |
| 项目1: 设计无盖长方体盒子 | |
| 方案1 | 在这块长方形硬纸板的四个角处各剪去一个同样大小的正方形(图1),再折叠成一个无盖的长方体盒子(图2),该长方体盒子底面的周长是220 cm |
| 示意图 |
图2 || 任务1 | 根据方案1,求出该无盖长方体盒子的高 |
| 项目2: 设计有盖长方体盒子 | |
| 方案2 | 在这块长方形硬纸板的四个角处分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样大小的长方形(图3),再折叠成一个有盖的长方体盒子(图4),该长方体盒子底面的长是宽的4倍 |
| 示意图 | 图3 图4 |
| 任务2 | 根据方案2,求出剪去的正方形的边长,并求出该有盖长方体盒子的体积 |
答案
15. 解:选任务1.
设无盖长方体盒子的高为 a cm,则底面的长为(90-2a)cm,底面的宽为(60-2a)cm.
由题意得 2(90-2a+60-2a)=220.
解得 a=10.
故该无盖长方体盒子的高为 10 cm.
选任务2.
设剪去的正方形的边长为 x cm,即该有盖长方体盒子的高为 x cm,则底面的宽为(30-x)cm,长为(90-2x)cm.
由题意得 90-2x=4(30-x). 解得 x=15.
所以剪去的正方形的边长为 15 cm,该有盖长方体盒子的高为 15 cm,底面的宽为 15 cm,长为 60 cm.
故该有盖长方体盒子的体积为 15×15×60=13500 (cm³).
(任选1个任务解答即可)
设无盖长方体盒子的高为 a cm,则底面的长为(90-2a)cm,底面的宽为(60-2a)cm.
由题意得 2(90-2a+60-2a)=220.
解得 a=10.
故该无盖长方体盒子的高为 10 cm.
选任务2.
设剪去的正方形的边长为 x cm,即该有盖长方体盒子的高为 x cm,则底面的宽为(30-x)cm,长为(90-2x)cm.
由题意得 90-2x=4(30-x). 解得 x=15.
所以剪去的正方形的边长为 15 cm,该有盖长方体盒子的高为 15 cm,底面的宽为 15 cm,长为 60 cm.
故该有盖长方体盒子的体积为 15×15×60=13500 (cm³).
(任选1个任务解答即可)
解析
【分析】
本题是结合长方形纸板折叠为长方体盒子的实际场景的应用题，可任选任务解答：
若选任务1：无盖盒子的高就是四个角剪去的小正方形的边长，设为a，折叠后底面的长为原纸板长减去2个正方形边长，宽为原纸板宽减去2个正方形边长，再根据长方形周长公式，结合底面周长为220cm的条件列方程求解即可。
若选任务2：剪去的正方形边长就是有盖盒子的高，设为x，折叠后底面的宽为原纸板宽的一半减去x，底面的长为原纸板长减去2个正方形边长，再根据“底面的长是宽的4倍”的等量关系列方程求出x，最后用长方体体积公式计算体积即可。
【解析】
选任务1解答：
设无盖长方体盒子的高为$ a \, \mathrm{cm} $，即剪去的小正方形边长为$ a \, \mathrm{cm} $。
折叠后盒子底面的长为$ (90-2a) \, \mathrm{cm} $，底面的宽为$ (60-2a) \, \mathrm{cm} $。
根据长方形周长公式列方程：
$ 2[(90-2a)+(60-2a)] = 220 $
化简得$ 2(150-4a)=220 $，即$ 150-4a=110 $
解得$ a=10 $。
选任务2解答：
设剪去的正方形的边长为$ x \, \mathrm{cm} $，即有盖长方体盒子的高为$ x \, \mathrm{cm} $。
折叠后盒子底面的宽为$ (30-x) \, \mathrm{cm} $，底面的长为$ (90-2x) \, \mathrm{cm} $。
根据题意列方程：
$ 90-2x=4(30-x) $
展开得$ 90-2x=120-4x $，移项化简得$ 2x=30 $
解得$ x=15 $。
此时盒子底面宽为$ 30-15=15 \, \mathrm{cm} $，底面长为$ 90-2×15=60 \, \mathrm{cm} $，高为15cm，体积为$ 60×15×15=13500 \, \mathrm{cm}^3 $。
（两个任务任选其一解答即可）
【答案】
选任务1：该无盖长方体盒子的高为$\boxed{10 \, \mathrm{cm}}$；
选任务2：剪去的正方形的边长为$\boxed{15 \, \mathrm{cm}}$，该有盖长方体盒子的体积为$\boxed{13500 \, \mathrm{cm}^3}$。（任选其一即可）
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形周长计算；长方体体积计算
【点评】
本题结合手工制作盒子的生活场景命题，考查将实际问题转化为数学方程的能力，解题关键是准确梳理折叠前后各边的数量关系，找准等量关系列方程求解，贴近生活实际，应用性较强。
【难度系数】
0.7
本题是结合长方形纸板折叠为长方体盒子的实际场景的应用题，可任选任务解答：
若选任务1：无盖盒子的高就是四个角剪去的小正方形的边长，设为a，折叠后底面的长为原纸板长减去2个正方形边长，宽为原纸板宽减去2个正方形边长，再根据长方形周长公式，结合底面周长为220cm的条件列方程求解即可。
若选任务2：剪去的正方形边长就是有盖盒子的高，设为x，折叠后底面的宽为原纸板宽的一半减去x，底面的长为原纸板长减去2个正方形边长，再根据“底面的长是宽的4倍”的等量关系列方程求出x，最后用长方体体积公式计算体积即可。
【解析】
选任务1解答：
设无盖长方体盒子的高为$ a \, \mathrm{cm} $，即剪去的小正方形边长为$ a \, \mathrm{cm} $。
折叠后盒子底面的长为$ (90-2a) \, \mathrm{cm} $，底面的宽为$ (60-2a) \, \mathrm{cm} $。
根据长方形周长公式列方程：
$ 2[(90-2a)+(60-2a)] = 220 $
化简得$ 2(150-4a)=220 $，即$ 150-4a=110 $
解得$ a=10 $。
选任务2解答：
设剪去的正方形的边长为$ x \, \mathrm{cm} $，即有盖长方体盒子的高为$ x \, \mathrm{cm} $。
折叠后盒子底面的宽为$ (30-x) \, \mathrm{cm} $，底面的长为$ (90-2x) \, \mathrm{cm} $。
根据题意列方程：
$ 90-2x=4(30-x) $
展开得$ 90-2x=120-4x $，移项化简得$ 2x=30 $
解得$ x=15 $。
此时盒子底面宽为$ 30-15=15 \, \mathrm{cm} $，底面长为$ 90-2×15=60 \, \mathrm{cm} $，高为15cm，体积为$ 60×15×15=13500 \, \mathrm{cm}^3 $。
（两个任务任选其一解答即可）
【答案】
选任务1：该无盖长方体盒子的高为$\boxed{10 \, \mathrm{cm}}$；
选任务2：剪去的正方形的边长为$\boxed{15 \, \mathrm{cm}}$，该有盖长方体盒子的体积为$\boxed{13500 \, \mathrm{cm}^3}$。（任选其一即可）
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形周长计算；长方体体积计算
【点评】
本题结合手工制作盒子的生活场景命题，考查将实际问题转化为数学方程的能力，解题关键是准确梳理折叠前后各边的数量关系，找准等量关系列方程求解，贴近生活实际，应用性较强。
【难度系数】
0.7
