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1. 新情境·古算问题（2026江苏无锡锡山区期末）我国古代《孙子算经》中记载“多人共车”问题，其原文如下：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步. 问：人与车各几何？”其大意为若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行. 问人数和车数各是多少？设车数为$x$，可列方程为（
A.$3(x+2)=2x-9$
B.$3(x-2)=2x+9$
C.$3x-2=2x+9$
D.$3x+2=2x-9$
B
）A.$3(x+2)=2x-9$
B.$3(x-2)=2x+9$
C.$3x-2=2x+9$
D.$3x+2=2x-9$
答案
1. B
解析
【分析】
列方程解应用题的核心是找到不变的等量关系，本题中两种乘车方案的总人数完全相等，我们可以分别用含x的式子表示两种方案的总人数，联立即可得到方程。首先分析第一种方案：3人共车时空2辆，说明实际参与载人的车辆数比总车数x少2，即(x-2)辆，总人数为3乘以(x-2)；再分析第二种方案：2人共车时9人步行，说明x辆车都坐满2人，再加上步行的9人就是总人数，即总人数为2x+9，两者相等就能得到方程。
【解析】
设车数为$x$，两种乘车方案的总人数相等。
1. 由“3人共车，二车空”可得：
实际用于载人的车辆数为$x-2$，总人数可表示为$3(x-2)$。
2. 由“2人共车，九人步”可得：
$x$辆车可载$2x$人，加上步行的9人，总人数可表示为$2x+9$。
3. 联立两个总人数表达式，得方程：$3(x-2)=2x+9$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元一次方程，找等量关系
【点评】
本题结合古代数学典籍的经典问题，考查一元一次方程的实际应用能力，解题的关键是准确理解文字含义，抓住总人数不变的隐含等量关系，属于方程应用的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
列方程解应用题的核心是找到不变的等量关系，本题中两种乘车方案的总人数完全相等，我们可以分别用含x的式子表示两种方案的总人数，联立即可得到方程。首先分析第一种方案：3人共车时空2辆，说明实际参与载人的车辆数比总车数x少2，即(x-2)辆，总人数为3乘以(x-2)；再分析第二种方案：2人共车时9人步行，说明x辆车都坐满2人，再加上步行的9人就是总人数，即总人数为2x+9，两者相等就能得到方程。
【解析】
设车数为$x$，两种乘车方案的总人数相等。
1. 由“3人共车，二车空”可得：
实际用于载人的车辆数为$x-2$，总人数可表示为$3(x-2)$。
2. 由“2人共车，九人步”可得：
$x$辆车可载$2x$人，加上步行的9人，总人数可表示为$2x+9$。
3. 联立两个总人数表达式，得方程：$3(x-2)=2x+9$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元一次方程，找等量关系
【点评】
本题结合古代数学典籍的经典问题，考查一元一次方程的实际应用能力，解题的关键是准确理解文字含义，抓住总人数不变的隐含等量关系，属于方程应用的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
2.(2026重庆巴蜀中学期末)博物馆正在修缮一座古建筑，需要成攒制作斗拱。已知每攒斗拱由1个“昂”和5个“拱”配套组成，一名工匠每天能制作4个“昂”或30个“拱”。现有40名工匠，设安排x名工匠加工“昂”，为使每天制作的“昂”和“拱”刚好配套，可列方程为（
A.$5×4x=30(40-x)$
B.$4x=5×30(40-x)$
C.$5×4(40-x)=30x$
D.$4(40-x)=5×30x$
A
）A.$5×4x=30(40-x)$
B.$4x=5×30(40-x)$
C.$5×4(40-x)=30x$
D.$4(40-x)=5×30x$
答案
2. A
解析
【分析】
这是一元一次方程配套类应用题，解题可按三步思考：第一步明确配套关系，本题1个“昂”需搭配5个“拱”，说明总“拱”数是总“昂”数的5倍；第二步分别表示两类部件的日总产量，先根据总人数确定生产两类部件的工匠人数，再结合每人日产量计算总产量；第三步根据配套等量关系列方程即可。
【解析】
解：已知安排x名工匠加工“昂”，则加工“拱”的工匠人数为$(40-x)$名。
1. 计算每日生产“昂”的总数量：每名工匠每天做4个“昂”，因此总昂数为$4x$个；
2. 计算每日生产“拱”的总数量：每名工匠每天做30个“拱”，因此总拱数为$30(40-x)$个；
3. 根据配套规则可得等量关系：总拱数=5×总昂数，代入得方程：
$5×4x=30(40-x)$
因此符合题意的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程应用；配套问题
【点评】
本题是配套类列方程的典型题型，核心是准确梳理两类部件的数量对应关系，再正确表示出两类部件的总产量即可顺利解题，属于方程应用的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
这是一元一次方程配套类应用题，解题可按三步思考：第一步明确配套关系，本题1个“昂”需搭配5个“拱”，说明总“拱”数是总“昂”数的5倍；第二步分别表示两类部件的日总产量，先根据总人数确定生产两类部件的工匠人数，再结合每人日产量计算总产量；第三步根据配套等量关系列方程即可。
【解析】
解：已知安排x名工匠加工“昂”，则加工“拱”的工匠人数为$(40-x)$名。
1. 计算每日生产“昂”的总数量：每名工匠每天做4个“昂”，因此总昂数为$4x$个；
2. 计算每日生产“拱”的总数量：每名工匠每天做30个“拱”，因此总拱数为$30(40-x)$个；
3. 根据配套规则可得等量关系：总拱数=5×总昂数，代入得方程：
$5×4x=30(40-x)$
因此符合题意的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程应用；配套问题
【点评】
本题是配套类列方程的典型题型，核心是准确梳理两类部件的数量对应关系，再正确表示出两类部件的总产量即可顺利解题，属于方程应用的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
3.某果园将一批水果按两种方式出售.
方式一:直接出售.
方式二:加工成果脯出售.(水果加工成果脯出售,售价可提高60%,但质量只有加工前的80%.100 kg水果加工成果脯后比加工前多卖560元)
已知果园将1 000 kg水果按方式一出售,将2 250 kg水果按方式二出售,直接出售的成本是8元/kg,加工成果脯出售的成本是14元/kg.
(1)水果和果脯的售价各是多少?
(2)在实际销售过程中,水果按水果售价直接出售很快全部售出,果脯按果脯售价加价25%销售,售出一部分后出现滞销的情况,果园老板决定在现果脯售价的基础上打七折出售剩余的果脯.如果水果和果脯全部售出后,
共获利54 000元,那么有多少果脯是打七折出售的?
方式一:直接出售.
方式二:加工成果脯出售.(水果加工成果脯出售,售价可提高60%,但质量只有加工前的80%.100 kg水果加工成果脯后比加工前多卖560元)
已知果园将1 000 kg水果按方式一出售,将2 250 kg水果按方式二出售,直接出售的成本是8元/kg,加工成果脯出售的成本是14元/kg.
(1)水果和果脯的售价各是多少?
(2)在实际销售过程中,水果按水果售价直接出售很快全部售出,果脯按果脯售价加价25%销售,售出一部分后出现滞销的情况,果园老板决定在现果脯售价的基础上打七折出售剩余的果脯.如果水果和果脯全部售出后,
共获利54 000元,那么有多少果脯是打七折出售的?
答案
3. 解:(1)设水果的售价为 x 元/kg,则果脯的售价为 1.6x 元/kg.
由题意得 100×0.8×1.6x-100x=560. 解得 x=20.
那么 1.6x=32.
答:水果的售价为 20 元/kg,果脯的售价为 32 元/kg.
(2)设有 y kg 果脯是打七折出售的.
由题意得 1 000×(20-8)+(2 250-y)×[32×(1+25%)-14]+[32×(1+25%)×0.7-14]y=54 000.
解得 y=1 375.
答:有 1 375 kg 的果脯是打七折出售的.
由题意得 100×0.8×1.6x-100x=560. 解得 x=20.
那么 1.6x=32.
答:水果的售价为 20 元/kg,果脯的售价为 32 元/kg.
(2)设有 y kg 果脯是打七折出售的.
由题意得 1 000×(20-8)+(2 250-y)×[32×(1+25%)-14]+[32×(1+25%)×0.7-14]y=54 000.
解得 y=1 375.
答:有 1 375 kg 的果脯是打七折出售的.
解析
【分析】
（1）第一问求解两种商品的售价，首先根据“果脯售价比水果提高60%”可得果脯售价是水果售价的1.6倍，因此设水果售价为x元/kg，果脯售价为1.6x元/kg。再根据“100kg水果加工成果脯后比加工前多卖560元”找等量关系：加工后果脯的总销售额 - 加工前100kg水果的总销售额=560元，其中加工后果脯质量为100×80%kg，代入对应量列一元一次方程求解即可。
（2）第二问求解打折出售的果脯质量，设该质量为y kg。总获利为水果总利润加果脯总利润，总利润=（售价-成本）×销售量。先算水果的利润：1000kg水果每kg利润为（水果售价-直接出售成本）；果脯分两部分，一部分是加价25%销售的，质量为（2250-y）kg，售价为原果脯售价×(1+25%)，每kg利润为该售价减加工成本；另一部分是打七折销售的y kg，售价为加价后售价×0.7，每kg利润为该售价减加工成本。根据“总获利54000元”列方程求解即可。
【解析】
(1) 设水果的售价为x元/kg，则果脯的售价为1.6x元/kg。
由题意列方程：
$100×0.8×1.6x - 100x = 560$
化简得：$28x=560$
解得：$x=20$
因此果脯售价为$1.6×20=32$（元/kg）
(2) 设有y kg果脯是打七折出售的。
由题意列方程：
$1000×(20-8)+(2250-y)×[32×(1+25\%)-14]+[32×(1+25\%)×0.7-14]y=54000$
化简计算：
$12000 + 26×(2250-y) +14y = 54000$
$70500 -12y = 54000$
$12y=16500$
解得：$y=1375$
【答案】
(1) 水果的售价为20元/kg，果脯的售价为32元/kg；
(2) 有1375kg果脯是打七折出售的。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 销售利润问题
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题关键是理清不同销售模式下售价、成本、销量和利润的对应关系，准确抓住总利润的等量关系列方程，计算时要注意加工后质量换算、打折售价的计算，避免混淆各类量导致出错。
【难度系数】
0.6
（1）第一问求解两种商品的售价，首先根据“果脯售价比水果提高60%”可得果脯售价是水果售价的1.6倍，因此设水果售价为x元/kg，果脯售价为1.6x元/kg。再根据“100kg水果加工成果脯后比加工前多卖560元”找等量关系：加工后果脯的总销售额 - 加工前100kg水果的总销售额=560元，其中加工后果脯质量为100×80%kg，代入对应量列一元一次方程求解即可。
（2）第二问求解打折出售的果脯质量，设该质量为y kg。总获利为水果总利润加果脯总利润，总利润=（售价-成本）×销售量。先算水果的利润：1000kg水果每kg利润为（水果售价-直接出售成本）；果脯分两部分，一部分是加价25%销售的，质量为（2250-y）kg，售价为原果脯售价×(1+25%)，每kg利润为该售价减加工成本；另一部分是打七折销售的y kg，售价为加价后售价×0.7，每kg利润为该售价减加工成本。根据“总获利54000元”列方程求解即可。
【解析】
(1) 设水果的售价为x元/kg，则果脯的售价为1.6x元/kg。
由题意列方程：
$100×0.8×1.6x - 100x = 560$
化简得：$28x=560$
解得：$x=20$
因此果脯售价为$1.6×20=32$（元/kg）
(2) 设有y kg果脯是打七折出售的。
由题意列方程：
$1000×(20-8)+(2250-y)×[32×(1+25\%)-14]+[32×(1+25\%)×0.7-14]y=54000$
化简计算：
$12000 + 26×(2250-y) +14y = 54000$
$70500 -12y = 54000$
$12y=16500$
解得：$y=1375$
【答案】
(1) 水果的售价为20元/kg，果脯的售价为32元/kg；
(2) 有1375kg果脯是打七折出售的。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 销售利润问题
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题关键是理清不同销售模式下售价、成本、销量和利润的对应关系，准确抓住总利润的等量关系列方程，计算时要注意加工后质量换算、打折售价的计算，避免混淆各类量导致出错。
【难度系数】
0.6
4.(2025陕西汉中南郑区期末)如图,小琪先从一张正方形纸片中剪去一个宽为4 cm的长方形纸片,又从剩下的长方形纸片中剪去一个宽为5 cm的长方形纸片.如果两次剪下的长方形纸片的面积正好相等,求这张正方形纸片剩余部分(图中空白部分)的面积. 
答案
4. 解: 设这张正方形纸片的边长为 x cm.
由题意得 4x=5(x-4).
解得 x=20.
(20-4)×(20-5)=16×15=240(cm²).
答:这张正方形纸片剩余部分的面积为 240cm².
由题意得 4x=5(x-4).
解得 x=20.
(20-4)×(20-5)=16×15=240(cm²).
答:这张正方形纸片剩余部分的面积为 240cm².
解析
【分析】首先明确题目的核心等量关系：两次剪下的长方形纸片面积相等。我们可以先设正方形的边长为x cm，先分析第一个剪下的长方形：宽为4cm，长与正方形边长相等为x，面积可表示为4x；再分析第二个剪下的长方形：宽为5cm，它的长是第一次剪完后剩余长方形的长，即x-4，面积可表示为5(x-4)。根据面积相等列出一元一次方程，解出正方形边长后，剩余空白部分是长方形，长为(x-4)、宽为(x-5)，代入长方形面积公式就能求出剩余面积。
【解析】
解：设这张正方形纸片的边长为x cm。
由题意得：
$4x = 5(x-4)$
去括号得：$4x = 5x - 20$
移项得：$5x - 4x = 20$
解得：$x = 20$
剩余空白部分为长方形，长为$20-4=16\ \mathrm{cm}$，宽为$20-5=15\ \mathrm{cm}$，
因此空白部分面积为：$16×15=240\ \mathrm{cm^2}$
【答案】$\boxed{240\mathrm{cm^2}}$
【知识点】一元一次方程的应用；长方形面积计算
【点评】本题解题关键是准确找到两次剪下的长方形面积相等的等量关系，易错点是无法正确表示第二次剪下的长方形的长，理清图形各边的数量关系后结合面积公式即可顺利求解。
【难度系数】0.7
【解析】
解：设这张正方形纸片的边长为x cm。
由题意得：
$4x = 5(x-4)$
去括号得：$4x = 5x - 20$
移项得：$5x - 4x = 20$
解得：$x = 20$
剩余空白部分为长方形，长为$20-4=16\ \mathrm{cm}$，宽为$20-5=15\ \mathrm{cm}$，
因此空白部分面积为：$16×15=240\ \mathrm{cm^2}$
【答案】$\boxed{240\mathrm{cm^2}}$
【知识点】一元一次方程的应用；长方形面积计算
【点评】本题解题关键是准确找到两次剪下的长方形面积相等的等量关系，易错点是无法正确表示第二次剪下的长方形的长，理清图形各边的数量关系后结合面积公式即可顺利求解。
【难度系数】0.7
5. 甲、乙两人某天共生产零件若干个，已知这一天甲生产的零件个数比两人生产的零件总数的$\frac{3}{4}$少3个，乙生产的零件个数比两人生产的零件总数的$\frac{1}{3}$多1个。这一天甲生产了多少个零件？
答案
5. 解:设这一天甲、乙两人共生产 x 个零件.
由题意得$\frac{3}{4}x-3+\frac{1}{3}x+1=x$.
解得 x=24.
$\frac{3}{4}×24-3=15$(个).
答:这一天甲生产了 15 个零件.
由题意得$\frac{3}{4}x-3+\frac{1}{3}x+1=x$.
解得 x=24.
$\frac{3}{4}×24-3=15$(个).
答:这一天甲生产了 15 个零件.
解析
【分析】
这是一道分数与一元一次方程结合的实际应用题，解题时首先要找准核心等量关系：甲生产的零件数+乙生产的零件数=两人生产的零件总个数。已知甲、乙的零件数均以总个数为基准表述，因此间接设两人生产的总个数为未知数x更便于列式，先通过方程求出总个数，再代入甲的数量表达式即可算出甲生产的零件数。
【解析】
解：设这一天甲、乙两人共生产$x$个零件。
根据等量关系“甲生产数量+乙生产数量=总生产数量”列方程：
$\frac{3}{4}x-3+\frac{1}{3}x+1=x$
合并同类项得：$\frac{13}{12}x-2=x$
移项计算得：$\frac{1}{12}x=2$
解得：$x=24$
将$x=24$代入甲的数量表达式计算：
$\frac{3}{4}×24-3=18-3=15$（个）
【答案】
15个
【知识点】
一元一次方程应用，分数运算，等量关系确定
【点评】
本题属于常见的分数类实际应用题，解题核心是找准等量关系、合理选择设未知数的方式，间接设总数量可有效降低列式难度，同时考察学生解含分数系数一元一次方程的计算能力。
【难度系数】
0.7
这是一道分数与一元一次方程结合的实际应用题，解题时首先要找准核心等量关系：甲生产的零件数+乙生产的零件数=两人生产的零件总个数。已知甲、乙的零件数均以总个数为基准表述，因此间接设两人生产的总个数为未知数x更便于列式，先通过方程求出总个数，再代入甲的数量表达式即可算出甲生产的零件数。
【解析】
解：设这一天甲、乙两人共生产$x$个零件。
根据等量关系“甲生产数量+乙生产数量=总生产数量”列方程：
$\frac{3}{4}x-3+\frac{1}{3}x+1=x$
合并同类项得：$\frac{13}{12}x-2=x$
移项计算得：$\frac{1}{12}x=2$
解得：$x=24$
将$x=24$代入甲的数量表达式计算：
$\frac{3}{4}×24-3=18-3=15$（个）
【答案】
15个
【知识点】
一元一次方程应用，分数运算，等量关系确定
【点评】
本题属于常见的分数类实际应用题，解题核心是找准等量关系、合理选择设未知数的方式，间接设总数量可有效降低列式难度，同时考察学生解含分数系数一元一次方程的计算能力。
【难度系数】
0.7
