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二次函数在利润问题中常用的数量关系:利润=售价-成本,总利润=每件商品的
利润
×数量
.答案
利润 数量
解析
【分析】
本题考查利润问题的基本数量关系，解题时可结合实际销售场景思考：总利润是所有售出商品的利润总和，若1件商品获利固定，售卖的商品数量越多，总利润越高，因此总利润等于每件商品的利润乘以售卖的总数量，对应填入即可。
【解析】
根据利润问题的核心数量关系：总利润是所有已售商品的利润之和，设每件商品的利润为$a$，售出的商品总数量为$b$，则总利润$W = a × b$，因此两个空依次填利润、数量。
【答案】
利润 数量
【知识点】
利润问题数量关系；二次函数实际应用
【点评】
本题属于基础识记类题目，是利润类应用题的核心列式基础，也是后续求解利润最值问题的前提，需要熟练掌握该数量关系。
【难度系数】
0.9
本题考查利润问题的基本数量关系，解题时可结合实际销售场景思考：总利润是所有售出商品的利润总和，若1件商品获利固定，售卖的商品数量越多，总利润越高，因此总利润等于每件商品的利润乘以售卖的总数量，对应填入即可。
【解析】
根据利润问题的核心数量关系：总利润是所有已售商品的利润之和，设每件商品的利润为$a$，售出的商品总数量为$b$，则总利润$W = a × b$，因此两个空依次填利润、数量。
【答案】
利润 数量
【知识点】
利润问题数量关系；二次函数实际应用
【点评】
本题属于基础识记类题目，是利润类应用题的核心列式基础，也是后续求解利润最值问题的前提，需要熟练掌握该数量关系。
【难度系数】
0.9
典例分享
例 某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量$y$(单位:盒)与销售单价$x$(单位:元)之间的函数图象如图
所示.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式，并写出自变量$x$的取值范围.
(2)当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润.
解 (1)设函数解析式为$y=kx+b$，由题意得
$\begin{cases}60k + b = 200, \\80k + b = 100,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-5, \\b=500,\end{cases}$
∴$y=-5x+500$.
当$y=0$时，$-5x+500=0$，
∴$x=100$.
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=-5x+500(50＜x＜100)$.
(2)设销售利润为$w$元，
$w=(x-50)(-5x+500)=-5x^2+750x-25000=-5(x-75)^2+3125$.
∵抛物线开口向下，$50＜x＜100$，
∴当$x=75$时，$w$有最大值，是3125.
∴当销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是3125元.
方法感悟 在利润问题中，需要注意自变量的取值范围对函数最值的影响.
例 某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量$y$(单位:盒)与销售单价$x$(单位:元)之间的函数图象如图
所示.(1)求$y$关于$x$的函数解析式，并写出自变量$x$的取值范围.
(2)当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润.
解 (1)设函数解析式为$y=kx+b$，由题意得
$\begin{cases}60k + b = 200, \\80k + b = 100,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-5, \\b=500,\end{cases}$
∴$y=-5x+500$.
当$y=0$时，$-5x+500=0$，
∴$x=100$.
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=-5x+500(50＜x＜100)$.
(2)设销售利润为$w$元，
$w=(x-50)(-5x+500)=-5x^2+750x-25000=-5(x-75)^2+3125$.
∵抛物线开口向下，$50＜x＜100$，
∴当$x=75$时，$w$有最大值，是3125.
∴当销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是3125元.
方法感悟 在利润问题中，需要注意自变量的取值范围对函数最值的影响.
答案
解析
【分析】
(1) 观察图象可知y与x满足一次函数关系，采用待定系数法求解：首先从图象中提取两个已知点坐标(60,200)、(80,100)，代入一次函数通式$y=kx+b$，解二元一次方程组得到k、b的值；再结合实际意义确定自变量取值范围：销售单价需高于成本价50元，且销售量y必须大于0，代入$y=0$计算对应的x值，即可得到x的完整范围。
(2) 根据“总利润=单盒利润×月销售量”的数量关系列函数式：单盒利润为$(x-50)$元，月销售量为(1)中求得的y，据此列出利润w关于x的二次函数关系式，将函数配方为顶点式，结合二次函数开口方向和自变量x的取值范围，即可求出最大利润及对应销售单价。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$(60,200)$、$(80,100)$代入解析式，得：
$\begin{cases}60k + b = 200 \\80k + b = 100 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-5 \\b=500 \end{cases}$
因此$y=-5x+500$。
结合实际意义：销售单价高于成本价，故$x＞50$；销售量大于0，即$y＞0$，
令$y=0$，得$-5x+500=0$，解得$x=100$，故$x＜100$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为$y=-5x+500(50＜x＜100)$。
(2) 设月销售利润为$w$元，根据总利润的计算公式得：
$w=(x-50)(-5x+500)$
展开整理得：$w=-5x^2+750x-25000$
配方得：$w=-5(x-75)^2+3125$
$\because -5＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，
又$\because 50＜x＜100$，顶点横坐标$x=75$在自变量取值范围内，
$\therefore$当$x=75$时，$w$取得最大值，最大值为3125元。
【答案】
(1) $y=-5x+500(50＜x＜100)$；
(2) 当销售单价定为75元时，月销售利润最大，最大利润为3125元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数利润应用；二次函数的最值
【点评】
本题是函数实际应用的典型题型，结合一次函数与二次函数的性质解决销售利润问题，解题核心是正确建立函数关系式，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免忽略范围直接求最值出现错误。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图象可知y与x满足一次函数关系，采用待定系数法求解：首先从图象中提取两个已知点坐标(60,200)、(80,100)，代入一次函数通式$y=kx+b$，解二元一次方程组得到k、b的值；再结合实际意义确定自变量取值范围：销售单价需高于成本价50元，且销售量y必须大于0，代入$y=0$计算对应的x值，即可得到x的完整范围。
(2) 根据“总利润=单盒利润×月销售量”的数量关系列函数式：单盒利润为$(x-50)$元，月销售量为(1)中求得的y，据此列出利润w关于x的二次函数关系式，将函数配方为顶点式，结合二次函数开口方向和自变量x的取值范围，即可求出最大利润及对应销售单价。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$(60,200)$、$(80,100)$代入解析式，得：
$\begin{cases}60k + b = 200 \\80k + b = 100 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-5 \\b=500 \end{cases}$
因此$y=-5x+500$。
结合实际意义：销售单价高于成本价，故$x＞50$；销售量大于0，即$y＞0$，
令$y=0$，得$-5x+500=0$，解得$x=100$，故$x＜100$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为$y=-5x+500(50＜x＜100)$。
(2) 设月销售利润为$w$元，根据总利润的计算公式得：
$w=(x-50)(-5x+500)$
展开整理得：$w=-5x^2+750x-25000$
配方得：$w=-5(x-75)^2+3125$
$\because -5＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，
又$\because 50＜x＜100$，顶点横坐标$x=75$在自变量取值范围内，
$\therefore$当$x=75$时，$w$取得最大值，最大值为3125元。
【答案】
(1) $y=-5x+500(50＜x＜100)$；
(2) 当销售单价定为75元时，月销售利润最大，最大利润为3125元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数利润应用；二次函数的最值
【点评】
本题是函数实际应用的典型题型，结合一次函数与二次函数的性质解决销售利润问题，解题核心是正确建立函数关系式，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免忽略范围直接求最值出现错误。
【难度系数】
0.7
1. 某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件.设涨价x元，利润y元，则y关于x的函数解析式正确的是(
A.$y=(10+x)(100-10x)$
B.$y=(1+x)(100-10x)-9$
C.$y=(10+x-9)(100-10x)$
D.$y=(10+x)(100-10x)-9×100$
C
).A.$y=(10+x)(100-10x)$
B.$y=(1+x)(100-10x)-9$
C.$y=(10+x-9)(100-10x)$
D.$y=(10+x)(100-10x)-9×100$
答案
1. C
解析
【分析】
这是一道销售利润类的函数解析式求解问题，解题核心是牢记“总利润=单件商品的利润×销售总数量”这个公式。我们可以分两步推导：第一步先求涨价x元后每件商品的利润，售价在原来10元的基础上涨了x元，所以新售价是(10+x)元，减去进价9元就是单件利润；第二步求涨价后的销售数量，原本销量是100件，每涨1元少卖10件，涨x元就少卖10x件，用原本销量减去减少的销量就是实际销量；最后把两个式子相乘就能得到y和x的函数关系式，再对应选项判断即可。
【解析】
解：根据销售问题的基本公式：$\mathrm{总利润}=\mathrm{单件利润}×\mathrm{销售数量}$
1. 计算涨价x元后的单件利润：
涨价后售价为$(10+x)$元，进价为9元，因此$\mathrm{单件利润}=\mathrm{售价}-\mathrm{进价}=(10+x-9)$元
2. 计算涨价x元后的销售数量：
每涨价1元销量减少10件，涨价x元共减少$10x$件，因此$\mathrm{实际销量}=\mathrm{原销量}-\mathrm{减少的销量}=(100-10x)$件
3. 总利润y为两者乘积：
$y=(10+x-9)(100-10x)$
对比选项可知C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
销售利润计算；列函数解析式
【点评】
本题属于销售类实际应用的基础题型，主要考查对利润计算公式的理解和实际量的提取能力，解题时要注意区分涨价后售价、单件利润、销量这几个量的变化，避免混淆售价和利润、错算减少的销量。
【难度系数】
0.8
这是一道销售利润类的函数解析式求解问题，解题核心是牢记“总利润=单件商品的利润×销售总数量”这个公式。我们可以分两步推导：第一步先求涨价x元后每件商品的利润，售价在原来10元的基础上涨了x元，所以新售价是(10+x)元，减去进价9元就是单件利润；第二步求涨价后的销售数量，原本销量是100件，每涨1元少卖10件，涨x元就少卖10x件，用原本销量减去减少的销量就是实际销量；最后把两个式子相乘就能得到y和x的函数关系式，再对应选项判断即可。
【解析】
解：根据销售问题的基本公式：$\mathrm{总利润}=\mathrm{单件利润}×\mathrm{销售数量}$
1. 计算涨价x元后的单件利润：
涨价后售价为$(10+x)$元，进价为9元，因此$\mathrm{单件利润}=\mathrm{售价}-\mathrm{进价}=(10+x-9)$元
2. 计算涨价x元后的销售数量：
每涨价1元销量减少10件，涨价x元共减少$10x$件，因此$\mathrm{实际销量}=\mathrm{原销量}-\mathrm{减少的销量}=(100-10x)$件
3. 总利润y为两者乘积：
$y=(10+x-9)(100-10x)$
对比选项可知C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
销售利润计算；列函数解析式
【点评】
本题属于销售类实际应用的基础题型，主要考查对利润计算公式的理解和实际量的提取能力，解题时要注意区分涨价后售价、单件利润、销量这几个量的变化，避免混淆售价和利润、错算减少的销量。
【难度系数】
0.8
2. 商店销售一种商品，利润$y$（单位：元）关于销售单价$x$（单位：元）的函数解析式为$y=-x^2 +10x +20$，则该商品的最大利润为（
A.20元
B.45元
C.50元
D.70元
B
）。A.20元
B.45元
C.50元
D.70元
答案
2. B
解析
【分析】
本题是二次函数在实际问题中求最值的应用，首先观察函数解析式，二次项系数为-1＜0，说明抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，我们可以用配方法或者二次函数最值公式来计算最大利润，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
解法一：配方法
对函数解析式变形：
$y=-x^2 +10x +20$
$=-(x^2 -10x) +20$
$=-(x^2 -10x +25 -25) +20$
$=-(x-5)^2 +25 +20$
$=-(x-5)^2 +45$
因为$(x-5)^2≥0$，所以$-(x-5)^2≤0$，当$x=5$时，$-(x-5)^2=0$，此时y取得最大值45，即最大利润为45元。
解法二：最值公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时，函数最大值为$\frac{4ac - b^2}{4a}$。
本题中$a=-1$，$b=10$，$c=20$，代入得：
最大利润$y_{max}=\frac{4×(-1)×20 - 10^2}{4×(-1)}=\frac{-80-100}{-4}=\frac{-180}{-4}=45$（元）
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值计算；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数的实际应用基础题，核心是掌握开口向下的二次函数在顶点处取得最大值的性质，熟练运用配方法或最值公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在实际问题中求最值的应用，首先观察函数解析式，二次项系数为-1＜0，说明抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，我们可以用配方法或者二次函数最值公式来计算最大利润，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
解法一：配方法
对函数解析式变形：
$y=-x^2 +10x +20$
$=-(x^2 -10x) +20$
$=-(x^2 -10x +25 -25) +20$
$=-(x-5)^2 +25 +20$
$=-(x-5)^2 +45$
因为$(x-5)^2≥0$，所以$-(x-5)^2≤0$，当$x=5$时，$-(x-5)^2=0$，此时y取得最大值45，即最大利润为45元。
解法二：最值公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时，函数最大值为$\frac{4ac - b^2}{4a}$。
本题中$a=-1$，$b=10$，$c=20$，代入得：
最大利润$y_{max}=\frac{4×(-1)×20 - 10^2}{4×(-1)}=\frac{-80-100}{-4}=\frac{-180}{-4}=45$（元）
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值计算；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数的实际应用基础题，核心是掌握开口向下的二次函数在顶点处取得最大值的性质，熟练运用配方法或最值公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满.当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.游客居住房间期间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用.则宾馆的利润取得最大值时，房价定为(
A.210元
B.220元
C.230元
D.240元
B
).A.210元
B.220元
C.230元
D.240元
答案
3. B
解析
【分析】
这是一道二次函数在实际利润问题中的应用题，解题思路如下：首先明确利润的核心计算公式：总利润=（单房定价 - 单房每日支出）×实际入住房间数。我们可以通过设定价的涨幅次数为变量，分别表示出单房净利润和入住房间数，进而列出总利润关于该变量的二次函数解析式，再利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，求出对应最值时的变量值，最终计算得到对应的房价。
【解析】
设每个房间的定价在200元基础上增加10x元时，宾馆每日总利润为y元。
由题意可知：
此时单房定价为$(200 + 10x)$元，空闲房间数为x间，实际入住房间数为$(20 - x)$间；
单房每日净利润为$200 + 10x - 40 = (160 + 10x)$元。
总利润的解析式为：
$\begin{aligned}y&=(160 + 10x)(20 - x)\\&=-10x^2 + 40x + 3200\end{aligned}$
该二次函数中$a=-10＜0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2×(-10)}=2$
即当$x=2$时利润最大，此时房价为$200 + 10×2 = 220$元。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；利润问题计算；二次函数的最值
【点评】
本题是典型的利用二次函数解决实际最值问题的题型，解题关键是找准数量关系，正确列出二次函数解析式，同时要注意结合变量的实际意义验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
这是一道二次函数在实际利润问题中的应用题，解题思路如下：首先明确利润的核心计算公式：总利润=（单房定价 - 单房每日支出）×实际入住房间数。我们可以通过设定价的涨幅次数为变量，分别表示出单房净利润和入住房间数，进而列出总利润关于该变量的二次函数解析式，再利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，求出对应最值时的变量值，最终计算得到对应的房价。
【解析】
设每个房间的定价在200元基础上增加10x元时，宾馆每日总利润为y元。
由题意可知：
此时单房定价为$(200 + 10x)$元，空闲房间数为x间，实际入住房间数为$(20 - x)$间；
单房每日净利润为$200 + 10x - 40 = (160 + 10x)$元。
总利润的解析式为：
$\begin{aligned}y&=(160 + 10x)(20 - x)\\&=-10x^2 + 40x + 3200\end{aligned}$
该二次函数中$a=-10＜0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2×(-10)}=2$
即当$x=2$时利润最大，此时房价为$200 + 10×2 = 220$元。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；利润问题计算；二次函数的最值
【点评】
本题是典型的利用二次函数解决实际最值问题的题型，解题关键是找准数量关系，正确列出二次函数解析式，同时要注意结合变量的实际意义验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
