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4. 将进货单价为50元的某种商品按零售价每个60元出售时，每星期能卖出100个，若这种商品零售价每涨价1元，每星期销售量就减少2个，若利润不能超过成本价的30%，则每星期获得的最大利润为(
A.80元
B.1 000元
C.1 350元
D.1 800元
C
)。A.80元
B.1 000元
C.1 350元
D.1 800元
答案
4. C
解析
【分析】
这是一道二次函数在销售利润问题中的实际应用题，解题思路如下：1. 牢记总利润=单个商品利润×销售总量的核心公式，我们可设零售价涨价x元，分别用含x的代数式表示出单个商品的利润和每周的销售量；2. 据此列出总利润关于x的二次函数表达式；3. 结合“利润不能超过成本价的30%”的限制条件，求出自变量x的合法取值范围；4. 结合二次函数的开口方向和增减性，在允许的x取值范围内求出最大利润即可。注意本题不能直接取二次函数顶点处的最值，需优先考虑实际问题对自变量的限制。
【解析】
解：设这种商品零售价涨价x元，每星期获得的总利润为y元。
1. 表示单个利润与销售量：
单个商品的利润为：$60 + x - 50 = (10 + x)$元
每星期的销售量为：$(100 - 2x)$个
2. 列总利润的函数表达式：
根据总利润公式可得：
$y = (10 + x)(100 - 2x)$
化简得：$y = -2x^2 + 80x + 1000$
该函数是开口向下的二次函数，对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{80}{2×(-2)} = 20$，因此当$x ＜ 20$时，y随x的增大而增大。
3. 求自变量x的取值范围：
已知利润不能超过成本价的30%，则单个商品的最大利润为$50×30\% = 15$元，因此：
$10 + x ≤ 15$，解得$x ≤ 5$
结合销售量为正的隐含条件$100 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 50$，因此x的合法取值范围为$0 ≤ x ≤ 5$。
4. 计算最大利润：
因为在$x ≤ 20$时y随x的增大而增大，所以当x取最大值5时，y取得最大值，代入得：
$y = (10 + 5)×(100 - 2×5) = 15×90 = 1350$（元）
【答案】
C
【知识点】
销售利润计算、二次函数最值求解、实际问题自变量取值范围确定
【点评】
本题是典型的二次函数利润最值类应用题，解题的核心是先根据题目的限制条件确定自变量的合法取值范围，再结合二次函数的增减性求最值，易错点是容易忽略利润上限的限制，直接计算二次函数顶点处的最值导致错选。
【难度系数】
0.6
这是一道二次函数在销售利润问题中的实际应用题，解题思路如下：1. 牢记总利润=单个商品利润×销售总量的核心公式，我们可设零售价涨价x元，分别用含x的代数式表示出单个商品的利润和每周的销售量；2. 据此列出总利润关于x的二次函数表达式；3. 结合“利润不能超过成本价的30%”的限制条件，求出自变量x的合法取值范围；4. 结合二次函数的开口方向和增减性，在允许的x取值范围内求出最大利润即可。注意本题不能直接取二次函数顶点处的最值，需优先考虑实际问题对自变量的限制。
【解析】
解：设这种商品零售价涨价x元，每星期获得的总利润为y元。
1. 表示单个利润与销售量：
单个商品的利润为：$60 + x - 50 = (10 + x)$元
每星期的销售量为：$(100 - 2x)$个
2. 列总利润的函数表达式：
根据总利润公式可得：
$y = (10 + x)(100 - 2x)$
化简得：$y = -2x^2 + 80x + 1000$
该函数是开口向下的二次函数，对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{80}{2×(-2)} = 20$，因此当$x ＜ 20$时，y随x的增大而增大。
3. 求自变量x的取值范围：
已知利润不能超过成本价的30%，则单个商品的最大利润为$50×30\% = 15$元，因此：
$10 + x ≤ 15$，解得$x ≤ 5$
结合销售量为正的隐含条件$100 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 50$，因此x的合法取值范围为$0 ≤ x ≤ 5$。
4. 计算最大利润：
因为在$x ≤ 20$时y随x的增大而增大，所以当x取最大值5时，y取得最大值，代入得：
$y = (10 + 5)×(100 - 2×5) = 15×90 = 1350$（元）
【答案】
C
【知识点】
销售利润计算、二次函数最值求解、实际问题自变量取值范围确定
【点评】
本题是典型的二次函数利润最值类应用题，解题的核心是先根据题目的限制条件确定自变量的合法取值范围，再结合二次函数的增减性求最值，易错点是容易忽略利润上限的限制，直接计算二次函数顶点处的最值导致错选。
【难度系数】
0.6
5. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查发现：每涨价1元，每星期要少卖出10件.已知商品的进价为每件40元，设涨价x元，每星期利润为y元，则y关于x的函数解析式为
$y=-10x^2 + 100x + 6 000$
.答案
5. $y=-10x^2 + 100x + 6 000$
解析
【分析】
解题核心是利用“总利润=单件利润×销售量”的等量关系列函数式。第一步先确定涨价x元后的单件利润：原售价60元，进价40元，涨价x元后单件售价变为(60+x)元，减去进价即可得到单件利润；第二步确定涨价x元后的销售量：原销量300件，每涨1元少卖10件，涨价x元则少卖10x件，用原销量减去少卖的数量得到实际销售量；最后将两者相乘，展开化简即可得到y关于x的函数解析式。
【解析】
解：涨价x元后，每件商品的利润为：
$60 + x - 40 = 20 + x$（元）
涨价x元后，每星期的销售量为：
$300 - 10x$（件）
根据总利润的计算公式可得：
$y = (20 + x)(300 - 10x)$
展开并整理得：
$y = 6000 - 200x + 300x - 10x^2$
$y = -10x^2 + 100x + 6000$
【答案】
$y=-10x^2 + 100x + 6 000$
【知识点】
销售利润计算，列二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题关键是牢记销售问题的利润公式，准确梳理涨价后单件利润和销售量的变化，计算时注意合并同类项的准确性即可。
【难度系数】
0.8
解题核心是利用“总利润=单件利润×销售量”的等量关系列函数式。第一步先确定涨价x元后的单件利润：原售价60元，进价40元，涨价x元后单件售价变为(60+x)元，减去进价即可得到单件利润；第二步确定涨价x元后的销售量：原销量300件，每涨1元少卖10件，涨价x元则少卖10x件，用原销量减去少卖的数量得到实际销售量；最后将两者相乘，展开化简即可得到y关于x的函数解析式。
【解析】
解：涨价x元后，每件商品的利润为：
$60 + x - 40 = 20 + x$（元）
涨价x元后，每星期的销售量为：
$300 - 10x$（件）
根据总利润的计算公式可得：
$y = (20 + x)(300 - 10x)$
展开并整理得：
$y = 6000 - 200x + 300x - 10x^2$
$y = -10x^2 + 100x + 6000$
【答案】
$y=-10x^2 + 100x + 6 000$
【知识点】
销售利润计算，列二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题关键是牢记销售问题的利润公式，准确梳理涨价后单件利润和销售量的变化，计算时注意合并同类项的准确性即可。
【难度系数】
0.8
6. 某商家销售一种成本为30元的商品，销售一段时间后发现，每天的销售量y（单位：件）与当天的销售单价x（单位：元）满足的函数关系为$y=-15x+1500$，物价部门规定，该商品的销售单价不能超过60元.
（1）销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是9000元？
（2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
（1）销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是9000元？
（2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
答案
1. 根据题意，得$(x-30)(-15x+1500)=9000$，整理，得$x^2-130x+3600=0$，解得$x_1=40$，$x_2=90$。
∵销售单价不能超过60元，
∴$x=40$。
∴销售单价定为40元时，商家销售该商品每天获得的利润是9000元
2. 设销售利润为$w$元，则$w=(x-30)(-15x+1500)=-15(x-65)^2+18375$，
∵$-15＜0$，且销售单价不能超过60元，
∴当$x=60$时，$w$取得最大值为18000。故当销售单价定为60元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为18000元
∵销售单价不能超过60元，
∴$x=40$。
∴销售单价定为40元时，商家销售该商品每天获得的利润是9000元
2. 设销售利润为$w$元，则$w=(x-30)(-15x+1500)=-15(x-65)^2+18375$，
∵$-15＜0$，且销售单价不能超过60元，
∴当$x=60$时，$w$取得最大值为18000。故当销售单价定为60元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为18000元
解析
【分析】
（1）第一问求利润为9000元时的销售单价，核心利用“总利润=（单件售价-单件成本）×销售量”的等量关系列方程。已知成本、销售量与销售单价的函数关系，直接代入列一元二次方程求解，再结合“销售单价不超过60元”的限制舍去不符合题意的根即可。
（2）第二问求最大利润，先设总利润为w，根据利润公式写出w关于x的二次函数表达式，配方后结合二次函数的开口方向、自变量x的取值范围判断最值的取值点，代入计算即可得到最大利润。
【解析】
（1）根据题意列方程：
$(x-30)(-15x+1500)=9000$
整理得：$x^2-130x+3600=0$
解得：$x_1=40$，$x_2=90$
∵销售单价不能超过60元，$90＞60$不符合题意，舍去
∴$x=40$
（2）设每天获得的利润为w元，根据题意得：
$w=(x-30)(-15x+1500)$
配方得：$w=-15(x-65)^2+18375$
∵$-15＜0$，抛物线开口向下，且销售单价不超过60元，在对称轴$x=65$左侧，w随x的增大而增大
∴当$x=60$时，w取得最大值，代入得$w=-15×(60-65)^2+18375=18000$
【答案】
（1）销售单价定为40元时，商家销售该商品每天获得的利润是9000元；
（2）当销售单价定为60元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是18000元。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数利润问题；二次函数最值求解
【点评】
本题属于销售类实际应用问题，综合考查一元二次方程和二次函数的相关知识，解题的关键是牢记利润计算公式，同时不能忽略题目给出的自变量取值限制，求解二次函数最值时要结合取值范围判断，不可直接套用顶点坐标计算。
【难度系数】
0.6
（1）第一问求利润为9000元时的销售单价，核心利用“总利润=（单件售价-单件成本）×销售量”的等量关系列方程。已知成本、销售量与销售单价的函数关系，直接代入列一元二次方程求解，再结合“销售单价不超过60元”的限制舍去不符合题意的根即可。
（2）第二问求最大利润，先设总利润为w，根据利润公式写出w关于x的二次函数表达式，配方后结合二次函数的开口方向、自变量x的取值范围判断最值的取值点，代入计算即可得到最大利润。
【解析】
（1）根据题意列方程：
$(x-30)(-15x+1500)=9000$
整理得：$x^2-130x+3600=0$
解得：$x_1=40$，$x_2=90$
∵销售单价不能超过60元，$90＞60$不符合题意，舍去
∴$x=40$
（2）设每天获得的利润为w元，根据题意得：
$w=(x-30)(-15x+1500)$
配方得：$w=-15(x-65)^2+18375$
∵$-15＜0$，抛物线开口向下，且销售单价不超过60元，在对称轴$x=65$左侧，w随x的增大而增大
∴当$x=60$时，w取得最大值，代入得$w=-15×(60-65)^2+18375=18000$
【答案】
（1）销售单价定为40元时，商家销售该商品每天获得的利润是9000元；
（2）当销售单价定为60元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是18000元。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数利润问题；二次函数最值求解
【点评】
本题属于销售类实际应用问题，综合考查一元二次方程和二次函数的相关知识，解题的关键是牢记利润计算公式，同时不能忽略题目给出的自变量取值限制，求解二次函数最值时要结合取值范围判断，不可直接套用顶点坐标计算。
【难度系数】
0.6
7. 2025年春节期间,我国某国产动画电影刷新了中国电影票房的新纪录,商家推出A,B两款相关文旅纪念品.已知购进A款200个,B款300个,需花费14 000元;购进A款100个,B款200个,需花费8 000元.
(1)A,B两款纪念品每个进价分别为多少元?
(2)根据网上预约的情况,如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A,B两款纪念品共400个,那么至少需要购进B款纪念品多少个?
(3)在销售中,该商家发现每个A款纪念品售价60元时,可售出200个,售价每增加1元,销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价$a(60≤ a≤ 100)$元,$w$(单位:元)表示该商家销售A款纪念品的利润,求$w$关于$a$的函数解析式,并求出$w$的最大值.
(1)A,B两款纪念品每个进价分别为多少元?
(2)根据网上预约的情况,如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A,B两款纪念品共400个,那么至少需要购进B款纪念品多少个?
(3)在销售中,该商家发现每个A款纪念品售价60元时,可售出200个,售价每增加1元,销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价$a(60≤ a≤ 100)$元,$w$(单位:元)表示该商家销售A款纪念品的利润,求$w$关于$a$的函数解析式,并求出$w$的最大值.
答案
1. 设A款纪念品每个进价为$x$元，B款纪念品每个进价为$y$元，由题意得$\begin{cases}200x+300y=14000,\\100x+200y=8000,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=40,\\y=20,\end{cases}$
∴A款纪念品每个进价为40元，B款纪念品每个进价为20元
2. 设需要购进B款纪念品$m$个，则需要购进A款纪念品$(400-m)$个，由题意得，$40(400-m)+20m≤12000$，解得$m≥200$，
∴$m$的最小值为200。至少需要购进B款纪念品200个
3. 由题意得，$w=(a-40)[200-5(a-60)]=-5(a-70)^2+4500$，
∵$-5＜0$，$60≤ a≤100$，
∴当$a=70$时，$w$最大，最大值为4500
∴A款纪念品每个进价为40元，B款纪念品每个进价为20元
2. 设需要购进B款纪念品$m$个，则需要购进A款纪念品$(400-m)$个，由题意得，$40(400-m)+20m≤12000$，解得$m≥200$，
∴$m$的最小值为200。至少需要购进B款纪念品200个
3. 由题意得，$w=(a-40)[200-5(a-60)]=-5(a-70)^2+4500$，
∵$-5＜0$，$60≤ a≤100$，
∴当$a=70$时，$w$最大，最大值为4500
解析
【分析】
(1) 本问需要求解两个未知量，可根据两次进货的总花费找到两组等量关系，设A、B两款纪念品的进价分别为未知数，列二元一次方程组求解即可。
(2) 本问是带限制条件的进货问题，已知总资金上限和总进货数量，设B款进货量为未知数，即可表示出A款进货量，再根据总进价不超过12000元列一元一次不等式，解出取值范围后取最小正整数即可。
(3) 本问是销售利润问题，核心公式为：总利润=单个利润×销售量。先分别表示出售价为a元时的单个利润和销售量，代入公式整理得到二次函数解析式，再结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围，即可求出利润最大值。
【解析】
(1) 设A款纪念品每个进价为$x$元，B款纪念品每个进价为$y$元，由题意得：
$\begin{cases}200x+300y=14000\\100x+200y=8000\end{cases}$
将第二个方程乘2减去第一个方程，得$100y=2000$，解得$y=20$，将$y=20$代入第二个方程，解得$x=40$。
(2) 设需要购进B款纪念品$m$个，则购进A款纪念品$(400-m)$个，由题意得：
$40(400-m)+20m ≤ 12000$
化简得：$16000-20m ≤ 12000$，解得$m ≥ 200$，因此$m$的最小值为200。
(3) 由题意得，单个A款纪念品的利润为$(a-40)$元，售价为$a$元时的销售量为$200-5(a-60)=500-5a$个，因此：
$w=(a-40)(500-5a)$
整理配方得：$w=-5(a-70)^2+4500$
$\because -5＜0$，二次函数开口向下，且$60≤ a≤100$，顶点横坐标$a=70$在取值范围内，
$\therefore$当$a=70$时，$w$取得最大值，最大值为4500元。
【答案】
(1) A款纪念品每个进价为40元，B款纪念品每个进价为20元；
(2) 至少需要购进B款纪念品200个；
(3) $w=-5(a-70)^2+4500$（或$w=-5a^2+700a-20000$），$w$的最大值为4500元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，二次函数利润问题
【点评】
本题以热门电影周边销售为背景，综合考查了方程、不等式、二次函数的实际应用，需要学生准确提取题干中的数量关系，同时注意二次函数求最值时要结合自变量取值范围判断，能有效考查学生的数学建模和实际应用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 本问需要求解两个未知量，可根据两次进货的总花费找到两组等量关系，设A、B两款纪念品的进价分别为未知数，列二元一次方程组求解即可。
(2) 本问是带限制条件的进货问题，已知总资金上限和总进货数量，设B款进货量为未知数，即可表示出A款进货量，再根据总进价不超过12000元列一元一次不等式，解出取值范围后取最小正整数即可。
(3) 本问是销售利润问题，核心公式为：总利润=单个利润×销售量。先分别表示出售价为a元时的单个利润和销售量，代入公式整理得到二次函数解析式，再结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围，即可求出利润最大值。
【解析】
(1) 设A款纪念品每个进价为$x$元，B款纪念品每个进价为$y$元，由题意得：
$\begin{cases}200x+300y=14000\\100x+200y=8000\end{cases}$
将第二个方程乘2减去第一个方程，得$100y=2000$，解得$y=20$，将$y=20$代入第二个方程，解得$x=40$。
(2) 设需要购进B款纪念品$m$个，则购进A款纪念品$(400-m)$个，由题意得：
$40(400-m)+20m ≤ 12000$
化简得：$16000-20m ≤ 12000$，解得$m ≥ 200$，因此$m$的最小值为200。
(3) 由题意得，单个A款纪念品的利润为$(a-40)$元，售价为$a$元时的销售量为$200-5(a-60)=500-5a$个，因此：
$w=(a-40)(500-5a)$
整理配方得：$w=-5(a-70)^2+4500$
$\because -5＜0$，二次函数开口向下，且$60≤ a≤100$，顶点横坐标$a=70$在取值范围内，
$\therefore$当$a=70$时，$w$取得最大值，最大值为4500元。
【答案】
(1) A款纪念品每个进价为40元，B款纪念品每个进价为20元；
(2) 至少需要购进B款纪念品200个；
(3) $w=-5(a-70)^2+4500$（或$w=-5a^2+700a-20000$），$w$的最大值为4500元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，二次函数利润问题
【点评】
本题以热门电影周边销售为背景，综合考查了方程、不等式、二次函数的实际应用，需要学生准确提取题干中的数量关系，同时注意二次函数求最值时要结合自变量取值范围判断，能有效考查学生的数学建模和实际应用能力。
【难度系数】
0.65
