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[举一反三]如图，在$△ AEF$中，利用直尺和圆规作图如下：分别以点E和点F为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则线段AO为三角形的（
A.高线
B.中线
C.角平分线
D.都有可能
B
）。A.高线
B.中线
C.角平分线
D.都有可能
答案
1. B
解析
【分析】
首先识别题中的尺规作图类型：题目描述的“分别以线段两端点为圆心，大于$\frac{1}{2}$线段长为半径作弧，过两弧交点作直线”的操作，是作线段垂直平分线的标准作法。再回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线与线段的交点就是线段的中点。最后结合三角形各特殊线段的定义判断：高线是顶点向对边作的垂线段，角平分线是平分三角形内角的线段，中线是连接顶点与对边中点的线段，确定O是EF中点后即可判断AO的类型。
【解析】
1. 根据尺规作图的规则，题中所作的直线GH是线段EF的垂直平分线，因此GH与EF的交点O是线段EF的中点。
2. 依据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，可知AO是连接△AEF的顶点A和对边EF中点O的线段，因此AO是△AEF的中线。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 线段垂直平分线的尺规作图
2. 三角形中线的定义
【点评】
本题侧重基础概念的考查，只要能准确识别基本尺规作图的类型，牢记三角形特殊线段的定义就能快速解题，是几何基础类的典型习题。
【难度系数】
0.8
首先识别题中的尺规作图类型：题目描述的“分别以线段两端点为圆心，大于$\frac{1}{2}$线段长为半径作弧，过两弧交点作直线”的操作，是作线段垂直平分线的标准作法。再回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线与线段的交点就是线段的中点。最后结合三角形各特殊线段的定义判断：高线是顶点向对边作的垂线段，角平分线是平分三角形内角的线段，中线是连接顶点与对边中点的线段，确定O是EF中点后即可判断AO的类型。
【解析】
1. 根据尺规作图的规则，题中所作的直线GH是线段EF的垂直平分线，因此GH与EF的交点O是线段EF的中点。
2. 依据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，可知AO是连接△AEF的顶点A和对边EF中点O的线段，因此AO是△AEF的中线。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 线段垂直平分线的尺规作图
2. 三角形中线的定义
【点评】
本题侧重基础概念的考查，只要能准确识别基本尺规作图的类型，牢记三角形特殊线段的定义就能快速解题，是几何基础类的典型习题。
【难度系数】
0.8
[典例2]画出图中轴对称图形的所有对称轴.
规律方法 作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的作图步骤：
(1)找出任意一对对称点；
(2)连接这对对称点；
(3)画出对称点所连线段的垂直平分线.
[举一反三]如图,网格中的$△ ABC$与$△ DEF$成轴对称.
(1)利用网格线作出$△ ABC$与$△ DEF$
典例解析
规律方法 作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的作图步骤：
(1)找出任意一对对称点；
(2)连接这对对称点；
(3)画出对称点所连线段的垂直平分线.
[举一反三]如图,网格中的$△ ABC$与$△ DEF$成轴对称.
(1)利用网格线作出$△ ABC$与$△ DEF$
典例解析
答案
解：
1. 作左侧蘑菇形图形的对称轴：
(1) 选取图形半圆弧的左端点和右端点这一对对称点；
(2) 连接这对对称点，得到水平线段；
(3) 作出该线段的垂直平分线，这条竖直直线就是该图形唯一的对称轴。
2. 作右侧六边形的所有对称轴：
(1) 选取六边形最左侧顶点和最右侧顶点这一对对称点，连接两点得到水平线段，作出该线段的垂直平分线，得到第一条竖直对称轴；
(2) 选取六边形最上方水平边的中点和最下方水平边的中点这一对对称点，连接两点得到竖直线段，作出该线段的垂直平分线，得到第二条水平对称轴。
1. 作左侧蘑菇形图形的对称轴：
(1) 选取图形半圆弧的左端点和右端点这一对对称点；
(2) 连接这对对称点，得到水平线段；
(3) 作出该线段的垂直平分线，这条竖直直线就是该图形唯一的对称轴。
2. 作右侧六边形的所有对称轴：
(1) 选取六边形最左侧顶点和最右侧顶点这一对对称点，连接两点得到水平线段，作出该线段的垂直平分线，得到第一条竖直对称轴；
(2) 选取六边形最上方水平边的中点和最下方水平边的中点这一对对称点，连接两点得到竖直线段，作出该线段的垂直平分线，得到第二条水平对称轴。
解析
【分析】
要画出轴对称图形的对称轴，首先需回忆对称轴的作图步骤：找一组对称点→连接对称点得到线段→作该线段的垂直平分线。先观察左侧蘑菇形图形，它仅存在左右方向的对称，我们可选取半圆的左右两个端点作为对称点，两点连线为水平线段，其垂直平分线就是该图形唯一的竖直对称轴。再观察右侧六边形，它既存在左右对称，也存在上下对称，共有2条对称轴：我们先选取左右两个顶点作为对称点，作其连线的垂直平分线得到竖直对称轴；再选取上下水平边的中点作为对称点，作其连线的垂直平分线得到水平对称轴，即可画出所有对称轴。
【解析】
1. 作左侧蘑菇形图形的对称轴：
(1) 选取图形半圆弧的左端点和右端点这一对对称点；
(2) 连接这对对称点，得到水平线段；
(3) 作出该线段的垂直平分线，这条竖直直线就是该图形唯一的对称轴。
2. 作右侧六边形的所有对称轴：
(1) 选取六边形最左侧顶点和最右侧顶点这一对对称点，连接两点得到水平线段，作出该线段的垂直平分线，得到第一条竖直对称轴；
(2) 选取六边形最上方水平边的中点和最下方水平边的中点这一对对称点，连接两点得到竖直线段，作出该线段的垂直平分线，得到第二条水平对称轴。
【答案】
左侧蘑菇形有1条竖直对称轴，右侧六边形有2条对称轴，分别为竖直对称轴和水平对称轴，按上述步骤画出即可。
【知识点】
轴对称图形，对称轴画法，线段垂直平分线
【点评】
本题是轴对称相关的基础题型，重点考查对称轴的绘制方法，解题时需先判断图形对称轴的数量，再按照规范步骤作图，避免漏画对称轴。
【难度系数】
0.8
要画出轴对称图形的对称轴，首先需回忆对称轴的作图步骤：找一组对称点→连接对称点得到线段→作该线段的垂直平分线。先观察左侧蘑菇形图形，它仅存在左右方向的对称，我们可选取半圆的左右两个端点作为对称点，两点连线为水平线段，其垂直平分线就是该图形唯一的竖直对称轴。再观察右侧六边形，它既存在左右对称，也存在上下对称，共有2条对称轴：我们先选取左右两个顶点作为对称点，作其连线的垂直平分线得到竖直对称轴；再选取上下水平边的中点作为对称点，作其连线的垂直平分线得到水平对称轴，即可画出所有对称轴。
【解析】
1. 作左侧蘑菇形图形的对称轴：
(1) 选取图形半圆弧的左端点和右端点这一对对称点；
(2) 连接这对对称点，得到水平线段；
(3) 作出该线段的垂直平分线，这条竖直直线就是该图形唯一的对称轴。
2. 作右侧六边形的所有对称轴：
(1) 选取六边形最左侧顶点和最右侧顶点这一对对称点，连接两点得到水平线段，作出该线段的垂直平分线，得到第一条竖直对称轴；
(2) 选取六边形最上方水平边的中点和最下方水平边的中点这一对对称点，连接两点得到竖直线段，作出该线段的垂直平分线，得到第二条水平对称轴。
【答案】
左侧蘑菇形有1条竖直对称轴，右侧六边形有2条对称轴，分别为竖直对称轴和水平对称轴，按上述步骤画出即可。
【知识点】
轴对称图形，对称轴画法，线段垂直平分线
【点评】
本题是轴对称相关的基础题型，重点考查对称轴的绘制方法，解题时需先判断图形对称轴的数量，再按照规范步骤作图，避免漏画对称轴。
【难度系数】
0.8
典例1
作法 如图.
(1)分别以点A和点B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点.
的对称轴l.
(2)画出顶点在格点，以BC为一边，且与$△ ABC$全等（不与$△ ABC$重合）的三角形，这样的三角形在网格内共能画出
作法 如图.
(1)分别以点A和点B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点.
的对称轴l.
(2)画出顶点在格点，以BC为一边，且与$△ ABC$全等（不与$△ ABC$重合）的三角形，这样的三角形在网格内共能画出
1
个.答案
2. (1) 如图，直线l即为所作。
(2) 1解析
【分析】
(1) 要作线段AB的对称轴，本质是作AB的垂直平分线，根据尺规作垂直平分线的方法，分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧的交点连线就是AB的垂直平分线，也就是所求的对称轴。(2) 要构造以BC为边、与$△ ABC$全等且不重合的格点三角形，可依据全等三角形SSS判定规则，在格点上寻找满足到B、C两点的距离分别与AB、AC长度对应相等的点，排除点A后统计符合条件的点的个数即可。
【解析】
(1) 按照题目给出的作法，两弧交点M、N所在的直线l就是线段AB的垂直平分线，即线段AB的对称轴，直线l即为所求。
(2) 设BC为公共边，若$△ PBC ≌ △ ABC$，根据SSS判定，需满足$PB=AC, PC=AB$或$PB=AB, PC=AC$。在网格的格点中逐一排查符合条件的点，排除与A重合的情况后，仅能找到1个符合要求的点，因此这样的三角形共能画出1个。
【答案】
(1) 如图，直线l即为所作。 (2) 1
【知识点】
垂直平分线的尺规作图，全等三角形的判定，网格作图
【点评】
本题结合网格考察基础作图和全等三角形的构造，难度适中，需要熟练掌握垂直平分线的作法，同时构造全等三角形时要注意“不与原三角形重合”的限制条件，避免多算。
【难度系数】
0.7
(1) 要作线段AB的对称轴，本质是作AB的垂直平分线，根据尺规作垂直平分线的方法，分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧的交点连线就是AB的垂直平分线，也就是所求的对称轴。(2) 要构造以BC为边、与$△ ABC$全等且不重合的格点三角形，可依据全等三角形SSS判定规则，在格点上寻找满足到B、C两点的距离分别与AB、AC长度对应相等的点，排除点A后统计符合条件的点的个数即可。
【解析】
(1) 按照题目给出的作法，两弧交点M、N所在的直线l就是线段AB的垂直平分线，即线段AB的对称轴，直线l即为所求。
(2) 设BC为公共边，若$△ PBC ≌ △ ABC$，根据SSS判定，需满足$PB=AC, PC=AB$或$PB=AB, PC=AC$。在网格的格点中逐一排查符合条件的点，排除与A重合的情况后，仅能找到1个符合要求的点，因此这样的三角形共能画出1个。
【答案】
(1) 如图，直线l即为所作。
(2) 1【知识点】
垂直平分线的尺规作图，全等三角形的判定，网格作图
【点评】
本题结合网格考察基础作图和全等三角形的构造，难度适中，需要熟练掌握垂直平分线的作法，同时构造全等三角形时要注意“不与原三角形重合”的限制条件，避免多算。
【难度系数】
0.7
[举一反三]如图,在$△ ABC$中,$BC＞AC$,以点$C$为圆心,$CA$长为半径作弧交$AB$于点$D$,分别以点$A$和点$D$为圆心,大于$\frac{1}{2}AD$的长为半径作弧,两弧交于点$E$,作直线$CE$交$AB$于点$F$.若$∠ B=55°$,则$∠ BCF$的大小是(
A. $20°$ B. $25°$ C. $30°$ D. $35°$
(2)作直线$MN$交$AC$于点$P$,则点$P$即为所求.
典例2
解 如图.
典例3
作法 如图,
(1)以点$C$为圆心,适当长为半径作弧,交$AB$于点$E$和点$F$;
(2)分别以点$E$和点$F$为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径作弧,两弧相交于点$P$;
(3)作直线$CP$,交$AB$于点$D$,$CD$即为所求作的高.
D
).A. $20°$ B. $25°$ C. $30°$ D. $35°$
(2)作直线$MN$交$AC$于点$P$,则点$P$即为所求.
典例2
解 如图.
典例3
作法 如图,
(1)以点$C$为圆心,适当长为半径作弧,交$AB$于点$E$和点$F$;
(2)分别以点$E$和点$F$为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径作弧,两弧相交于点$P$;
(3)作直线$CP$,交$AB$于点$D$,$CD$即为所求作的高.
答案
3. D
解析
【分析】
首先识别题中的尺规作图类型：题目给出的作图步骤是作线段AD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得到CF与AB垂直，即△BFC是直角三角形；再利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去已知的∠B的度数，就能求出∠BCF的度数。
【解析】
解：由作图步骤可知，直线CE是线段AD的垂直平分线，
∴ $ CF ⊥ AB $，即$ ∠ CFB=90° $，
在$ \mathrm{Rt}△ BFC $中，根据直角三角形两锐角互余可得：
$ ∠ B + ∠ BCF = 90° $，
已知$ ∠ B=55° $，
∴ $ ∠ BCF = 90° - 55° = 35° $。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的尺规作图，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题考查尺规作图的识别及几何性质的简单应用，解题的关键是准确判断出所作直线为线段的垂直平分线，再结合直角三角形的角度性质计算即可，是基础的作图结合角度计算类题型。
【难度系数】
0.8
首先识别题中的尺规作图类型：题目给出的作图步骤是作线段AD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得到CF与AB垂直，即△BFC是直角三角形；再利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去已知的∠B的度数，就能求出∠BCF的度数。
【解析】
解：由作图步骤可知，直线CE是线段AD的垂直平分线，
∴ $ CF ⊥ AB $，即$ ∠ CFB=90° $，
在$ \mathrm{Rt}△ BFC $中，根据直角三角形两锐角互余可得：
$ ∠ B + ∠ BCF = 90° $，
已知$ ∠ B=55° $，
∴ $ ∠ BCF = 90° - 55° = 35° $。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的尺规作图，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题考查尺规作图的识别及几何性质的简单应用，解题的关键是准确判断出所作直线为线段的垂直平分线，再结合直角三角形的角度性质计算即可，是基础的作图结合角度计算类题型。
【难度系数】
0.8
