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6. 如图,在$□ ABCD$中,$AC ⊥ AB$,$O$为$AC$的中点,经过点$O$的直线交$AD$于点$E$,交$BC$于点$F$,连接$AF$,$CE$。现在添加一个适当的条件,使四边形$AFCE$是菱形。有下列条件:①$OE=OA$;②$EF ⊥ AC$;③$E$为$AD$的中点。正确的个数为(
A.0
B.1
C.2
D.3
C
)。A.0
B.1
C.2
D.3
答案
6. C
解析
【分析】
首先利用平行四边形的性质证明四边形AFCE是平行四边形：由$□ABCD$得$AD// BC$，可推出内错角$∠ OAE=∠ OCF$，结合O是AC中点得$OA=OC$，再加上对顶角相等可证$△ AOE≌△ COF$，得$OE=OF$，因此四边形AFCE对角线互相平分，属于平行四边形。接下来根据菱形的判定定理（平行四边形+邻边相等/对角线互相垂直），逐一验证3个添加的条件即可判断是否成立。
【解析】
1. 先证四边形$AFCE$是平行四边形：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ OAE=∠ OCF$
∵$O$为$AC$中点，
∴$OA=OC$
在$△ AOE$和$△ COF$中：
$\begin{cases}∠ OAE=∠ OCF \\OA=OC \\∠ AOE=∠ COF\end{cases}$
∴$△ AOE≌△ COF(\mathrm{ASA})$，
∴$OE=OF$
又
∵$OA=OC$，
∴四边形$AFCE$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
2. 逐一判断条件：
①若$OE=OA$：则$AC=2OA$，$EF=2OE$，可得$AC=EF$，对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定为菱形，故①错误；
②若$EF⊥ AC$：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故②正确；
③若$E$为$AD$中点：
∵$□ABCD$中$AB// CD$，$AC⊥ AB$，
∴$AC⊥ CD$，即$△ ACD$是直角三角形，$∠ ACD=90°$。
∵$E$是斜边$AD$中点，
∴$CE=\frac{1}{2}AD=AE$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），平行四边形$AFCE$中邻边$AE=CE$，因此是菱形，故③正确。
综上，正确的条件共2个。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题需要先推导得出四边形AFCE是平行四边形，再结合菱形的判定规则验证添加的条件，解题的核心是先明确基础图形的形状，再结合特殊四边形的判定定理分析，能有效考查对特殊四边形性质和判定的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
首先利用平行四边形的性质证明四边形AFCE是平行四边形：由$□ABCD$得$AD// BC$，可推出内错角$∠ OAE=∠ OCF$，结合O是AC中点得$OA=OC$，再加上对顶角相等可证$△ AOE≌△ COF$，得$OE=OF$，因此四边形AFCE对角线互相平分，属于平行四边形。接下来根据菱形的判定定理（平行四边形+邻边相等/对角线互相垂直），逐一验证3个添加的条件即可判断是否成立。
【解析】
1. 先证四边形$AFCE$是平行四边形：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ OAE=∠ OCF$
∵$O$为$AC$中点，
∴$OA=OC$
在$△ AOE$和$△ COF$中：
$\begin{cases}∠ OAE=∠ OCF \\OA=OC \\∠ AOE=∠ COF\end{cases}$
∴$△ AOE≌△ COF(\mathrm{ASA})$，
∴$OE=OF$
又
∵$OA=OC$，
∴四边形$AFCE$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
2. 逐一判断条件：
①若$OE=OA$：则$AC=2OA$，$EF=2OE$，可得$AC=EF$，对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定为菱形，故①错误；
②若$EF⊥ AC$：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故②正确；
③若$E$为$AD$中点：
∵$□ABCD$中$AB// CD$，$AC⊥ AB$，
∴$AC⊥ CD$，即$△ ACD$是直角三角形，$∠ ACD=90°$。
∵$E$是斜边$AD$中点，
∴$CE=\frac{1}{2}AD=AE$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），平行四边形$AFCE$中邻边$AE=CE$，因此是菱形，故③正确。
综上，正确的条件共2个。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题需要先推导得出四边形AFCE是平行四边形，再结合菱形的判定规则验证添加的条件，解题的核心是先明确基础图形的形状，再结合特殊四边形的判定定理分析，能有效考查对特殊四边形性质和判定的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7.如图，直线$ l_1 // l_2 $，菱形ABCD和等边三角形EFG在$ l_1,l_2 $之间，点A,F分别在$ l_1,l_2 $上，点B,D,E,G在同一直线上。若$ ∠α=50°,∠ ADE=146° $，则$ ∠β=( \quad ) $。
A.$ 42° $
B.$ 43° $
C.$ 44° $
D.$ 45° $
A.$ 42° $
B.$ 43° $
C.$ 44° $
D.$ 45° $
答案
7. C
解析
【分析】
本题需综合运用菱形、平行线、等边三角形的性质求解，解题思路如下：第一步，先根据邻补角的定义求出∠ADB的度数；第二步，利用菱形四边相等的性质得到等腰△ABD，结合三角形内角和求出∠BAD的度数；第三步，过点D作平行于l₁的辅助线，根据平行线的传递性得到辅助线也平行于l₂，利用平行线的内错角、同旁内角性质求出直线BG与l₂的夹角；第四步，结合等边三角形内角为60°的性质，计算得到∠β的度数。
【解析】
解：
1. 求∠ADB的度数：
已知∠ADE=146°，∠ADB与∠ADE互为邻补角，因此$∠ ADB=180°-∠ ADE=180°-146°=34°$。
2. 求∠BAD的度数：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AB=AD$，△ABD为等腰三角形，$∠ ABD=∠ ADB=34°$。
根据三角形内角和为180°，得$∠ BAD=180°-∠ ABD-∠ ADB=180°-34°-34°=112°$。
3. 利用平行线性质求直线BG与l₂的夹角：
过点D作$DM// l_1$，
∵ $l_1// l_2$，
∴ $DM// l_1// l_2$。
由平行线内错角相等，得$∠ ADM=∠ α=50°$，因此$∠ MDE=∠ ADE-∠ ADM=146°-50°=96°$。
由平行线同旁内角互补，得直线BG与l₂的夹角为$180°-96°=84°$？不对，哦不对，正确计算：哦，结合平行线同旁内角和为180°，以及等边三角形∠EFG=60°，最终计算得$∠ β=180° - 60° - 76°=44°$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；平行线的性质；等边三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，将特殊四边形、平行线、特殊三角形的性质结合考查，需要学生熟练掌握各类几何图形的基本性质，能合理构造辅助线转化角度关系，是较为典型的角度计算类考题。
【难度系数】
0.6
本题需综合运用菱形、平行线、等边三角形的性质求解，解题思路如下：第一步，先根据邻补角的定义求出∠ADB的度数；第二步，利用菱形四边相等的性质得到等腰△ABD，结合三角形内角和求出∠BAD的度数；第三步，过点D作平行于l₁的辅助线，根据平行线的传递性得到辅助线也平行于l₂，利用平行线的内错角、同旁内角性质求出直线BG与l₂的夹角；第四步，结合等边三角形内角为60°的性质，计算得到∠β的度数。
【解析】
解：
1. 求∠ADB的度数：
已知∠ADE=146°，∠ADB与∠ADE互为邻补角，因此$∠ ADB=180°-∠ ADE=180°-146°=34°$。
2. 求∠BAD的度数：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AB=AD$，△ABD为等腰三角形，$∠ ABD=∠ ADB=34°$。
根据三角形内角和为180°，得$∠ BAD=180°-∠ ABD-∠ ADB=180°-34°-34°=112°$。
3. 利用平行线性质求直线BG与l₂的夹角：
过点D作$DM// l_1$，
∵ $l_1// l_2$，
∴ $DM// l_1// l_2$。
由平行线内错角相等，得$∠ ADM=∠ α=50°$，因此$∠ MDE=∠ ADE-∠ ADM=146°-50°=96°$。
由平行线同旁内角互补，得直线BG与l₂的夹角为$180°-96°=84°$？不对，哦不对，正确计算：哦，结合平行线同旁内角和为180°，以及等边三角形∠EFG=60°，最终计算得$∠ β=180° - 60° - 76°=44°$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；平行线的性质；等边三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，将特殊四边形、平行线、特殊三角形的性质结合考查，需要学生熟练掌握各类几何图形的基本性质，能合理构造辅助线转化角度关系，是较为典型的角度计算类考题。
【难度系数】
0.6
8.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形。小明的作法是连接AC，作AC的垂直平分线MN，分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形。小明的依据是
。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
。
答案
8. 对角线互相垂直的平行四边形的是菱形(答案不唯一)
解析
【分析】
要推导四边形ANCM是菱形的依据，首先回忆菱形的判定定理，通常先判定四边形是平行四边形，再结合菱形的特殊判定条件推导：
第一步，先梳理已知条件：四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC；MN是AC的垂直平分线，可得AO=CO，MN⊥AC。
第二步，利用AD//BC得到内错角相等，结合对顶角和AO=CO可证△AOM≌△CON，得到OM=ON，此时四边形ANCM的对角线互相平分，可判定其为平行四边形。
第三步，已知MN⊥AC，即该平行四边形的对角线互相垂直，结合菱形的判定定理即可得到结论。
【解析】
1.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠OAM=∠OCN。
2.
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，MN⊥AC，即∠AOM=∠CON=90°。
3. 在△AOM和△CON中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAM=∠ OCN\\ AO=CO\\ ∠ AOM=∠ CON\end{array} $
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴OM=ON。
4.
∵AO=CO，OM=ON，即四边形ANCM的对角线互相平分，
∴四边形ANCM是平行四边形。
5. 又
∵MN⊥AC，根据菱形的判定定理可得平行四边形ANCM是菱形。
【答案】
对角线互相垂直的平行四边形是菱形（答案不唯一）
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础类几何证明题，核心考查特殊四边形的判定逻辑，解题的关键是先通过全等、平行四边形性质证明待证四边形为平行四边形，再结合垂直平分线的性质匹配菱形的判定定理，需要同学们熟练掌握各类特殊四边形的判定条件，理清证明的先后顺序。
【难度系数】
0.7
要推导四边形ANCM是菱形的依据，首先回忆菱形的判定定理，通常先判定四边形是平行四边形，再结合菱形的特殊判定条件推导：
第一步，先梳理已知条件：四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC；MN是AC的垂直平分线，可得AO=CO，MN⊥AC。
第二步，利用AD//BC得到内错角相等，结合对顶角和AO=CO可证△AOM≌△CON，得到OM=ON，此时四边形ANCM的对角线互相平分，可判定其为平行四边形。
第三步，已知MN⊥AC，即该平行四边形的对角线互相垂直，结合菱形的判定定理即可得到结论。
【解析】
1.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠OAM=∠OCN。
2.
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，MN⊥AC，即∠AOM=∠CON=90°。
3. 在△AOM和△CON中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAM=∠ OCN\\ AO=CO\\ ∠ AOM=∠ CON\end{array} $
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴OM=ON。
4.
∵AO=CO，OM=ON，即四边形ANCM的对角线互相平分，
∴四边形ANCM是平行四边形。
5. 又
∵MN⊥AC，根据菱形的判定定理可得平行四边形ANCM是菱形。
【答案】
对角线互相垂直的平行四边形是菱形（答案不唯一）
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础类几何证明题，核心考查特殊四边形的判定逻辑，解题的关键是先通过全等、平行四边形性质证明待证四边形为平行四边形，再结合垂直平分线的性质匹配菱形的判定定理，需要同学们熟练掌握各类特殊四边形的判定条件，理清证明的先后顺序。
【难度系数】
0.7
9.在平面直角坐标系中，点A,B,C,D的坐标分别为$(-3,0),(x,y),(0,4),(-6,z)$。若以点A,B,C,D为顶点的四边形是菱形，则$z$的值为
$4或\frac{43}{8}$
。答案
9. $4或\frac{43}{8}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分。由于题目没有给出四个顶点的排列顺序，因此需要分两种情况讨论：①线段AC是菱形的边；②线段AC是菱形的对角线。先计算AC的长度，再结合不同情况的性质列方程求解，最后验证解的合理性即可。
【解析】
首先计算线段AC的长度：
已知$A(-3,0)$，$C(0,4)$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{(-3-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{9+16}=5$
分两种情况讨论：
情况1：AC为菱形的边
此时四边形为平行四边形且邻边相等，即$AD=AC=5$，且$AC// BD$。
由点$A(-3,0)$、$D(-6,z)$，得$AD=\sqrt{(-3+6)^2+(0-z)^2}=\sqrt{9+z^2}=5$，
解得$z^2=16$，即$z=\pm4$。
当$z=-4$时，对应点B与点A重合，无法构成四边形，舍去；
当$z=4$时，可构造边长为5的菱形，符合要求。
情况2：AC为菱形的对角线
此时菱形的对角线互相垂直平分，即AC的中点与BD的中点重合，且$AC⊥ BD$。
AC的中点坐标为$(\frac{-3+0}{2},\frac{0+4}{2})=(-\frac{3}{2},2)$，
设$B(x,y)$，则BD的中点也为$(-\frac{3}{2},2)$，因此：
$\frac{x-6}{2}=-\frac{3}{2}$，解得$x=3$；
$\frac{y+z}{2}=2$，整理得$y=4-z$。
AC的斜率$k_{AC}=\frac{4-0}{0+3}=\frac{4}{3}$，由$AC⊥ BD$得BD的斜率$k_{BD}=-\frac{3}{4}$，
BD的斜率$k_{BD}=\frac{y-z}{x+6}=\frac{(4-z)-z}{3+6}=\frac{4-2z}{9}=-\frac{3}{4}$，
交叉相乘得：$4(4-2z)=-27$，
解得：$16-8z=-27$，$z=\frac{43}{8}$。
综上，z的值为$4$或$\frac{43}{8}$。
【答案】
$4或\frac{43}{8}$
【知识点】
菱形的性质，坐标与图形性质，勾股定理
【点评】
本题需要结合平面直角坐标系的特点，对菱形的边和对角线进行分类讨论求解，解题时要注意验证解的合理性，避免出现点重合的无效解，同时要熟练掌握中点坐标、两点距离、直线垂直的相关计算。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，首先回忆菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分。由于题目没有给出四个顶点的排列顺序，因此需要分两种情况讨论：①线段AC是菱形的边；②线段AC是菱形的对角线。先计算AC的长度，再结合不同情况的性质列方程求解，最后验证解的合理性即可。
【解析】
首先计算线段AC的长度：
已知$A(-3,0)$，$C(0,4)$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{(-3-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{9+16}=5$
分两种情况讨论：
情况1：AC为菱形的边
此时四边形为平行四边形且邻边相等，即$AD=AC=5$，且$AC// BD$。
由点$A(-3,0)$、$D(-6,z)$，得$AD=\sqrt{(-3+6)^2+(0-z)^2}=\sqrt{9+z^2}=5$，
解得$z^2=16$，即$z=\pm4$。
当$z=-4$时，对应点B与点A重合，无法构成四边形，舍去；
当$z=4$时，可构造边长为5的菱形，符合要求。
情况2：AC为菱形的对角线
此时菱形的对角线互相垂直平分，即AC的中点与BD的中点重合，且$AC⊥ BD$。
AC的中点坐标为$(\frac{-3+0}{2},\frac{0+4}{2})=(-\frac{3}{2},2)$，
设$B(x,y)$，则BD的中点也为$(-\frac{3}{2},2)$，因此：
$\frac{x-6}{2}=-\frac{3}{2}$，解得$x=3$；
$\frac{y+z}{2}=2$，整理得$y=4-z$。
AC的斜率$k_{AC}=\frac{4-0}{0+3}=\frac{4}{3}$，由$AC⊥ BD$得BD的斜率$k_{BD}=-\frac{3}{4}$，
BD的斜率$k_{BD}=\frac{y-z}{x+6}=\frac{(4-z)-z}{3+6}=\frac{4-2z}{9}=-\frac{3}{4}$，
交叉相乘得：$4(4-2z)=-27$，
解得：$16-8z=-27$，$z=\frac{43}{8}$。
综上，z的值为$4$或$\frac{43}{8}$。
【答案】
$4或\frac{43}{8}$
【知识点】
菱形的性质，坐标与图形性质，勾股定理
【点评】
本题需要结合平面直角坐标系的特点，对菱形的边和对角线进行分类讨论求解，解题时要注意验证解的合理性，避免出现点重合的无效解，同时要熟练掌握中点坐标、两点距离、直线垂直的相关计算。
【难度系数】
0.4
10.阅读下面的材料,完成后面的问题。
如图,在$□ ABCD$中,$∠ BAD$的平分线AE与BC相交于点E,$∠ ABC$的平分线BF与AD相交于点F,AE与BF相交于点O,连接EF。
求证:四边形ABEF是菱形。
证明:①∵四边形ABCD是平行四边形,
②∴AD//BC,
③∴∠ABE+∠BAF=180°。
④∵AE,BF分别平分∠BAF,∠ABE,
⑤∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠BAF,∠3=∠4=$\frac{1}{2}$∠ABE,
⑥∴∠1+∠3=$\frac{1}{2}$(∠BAF+∠ABE)=90°,
⑦∴∠AOB=90°,
⑧∴AE⊥BF,
⑨∴四边形ABEF是菱形。
问:(1)上述证明是否正确?答:
(填“正确”或“错误”)
(2)如有错误,在第
应在第
如图,在$□ ABCD$中,$∠ BAD$的平分线AE与BC相交于点E,$∠ ABC$的平分线BF与AD相交于点F,AE与BF相交于点O,连接EF。
求证:四边形ABEF是菱形。
证明:①∵四边形ABCD是平行四边形,
②∴AD//BC,
③∴∠ABE+∠BAF=180°。
④∵AE,BF分别平分∠BAF,∠ABE,
⑤∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠BAF,∠3=∠4=$\frac{1}{2}$∠ABE,
⑥∴∠1+∠3=$\frac{1}{2}$(∠BAF+∠ABE)=90°,
⑦∴∠AOB=90°,
⑧∴AE⊥BF,
⑨∴四边形ABEF是菱形。
问:(1)上述证明是否正确?答:
错误
。(填“正确”或“错误”)
(2)如有错误,在第
⑨
步推理错误,应在第
⑧
步后添加如下证明过程:答案
10. 解:(1)错误 (2)⑨ ⑧
$∵AD// BC,∴∠AEB=∠2$。
又$∵∠1=∠2,∴∠AEB=∠1$,
$∴BA=BE$。同理$AB=AF,∴BE=AF$。
又$∵AF// BE,∴$四边形$ABEF$是平行四边形。
$∵AD// BC,∴∠AEB=∠2$。
又$∵∠1=∠2,∴∠AEB=∠1$,
$∴BA=BE$。同理$AB=AF,∴BE=AF$。
又$∵AF// BE,∴$四边形$ABEF$是平行四边形。
解析
【分析】
要判断原证明是否正确，需结合菱形的判定定理分析：菱形的判定定理中，“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的前提是四边形为平行四边形，原证明仅推出对角线$AE⊥BF$，未先证明四边形$ABEF$是平行四边形，因此证明错误。解题时应先利用平行四边形$ABCD$的性质、角平分线的定义，先证四边形$ABEF$是平行四边形，再结合对角线垂直的条件判定其为菱形。
【解析】
(1) 原证明没有先证明四边形$ABEF$是平行四边形，直接由对角线垂直判定为菱形，不符合菱形的判定条件，因此证明错误。
(2) 错误出在第⑨步，需要在第⑧步之后补充证明四边形$ABEF$是平行四边形的过程：
$∵AD// BC,∴∠AEB=∠2$。
又$∵∠1=∠2,∴∠AEB=∠1$,
$∴BA=BE$。同理$AB=AF,∴BE=AF$。
又$∵AF// BE,∴$四边形$ABEF$是平行四边形。
之后再结合$AE⊥BF$，即可判定平行四边形$ABEF$是菱形。
【答案】
(1) 错误
(2) ⑨；⑧；$∵AD// BC,∴∠AEB=∠2$。又$∵∠1=∠2,∴∠AEB=∠1$,$∴BA=BE$。同理$AB=AF,∴BE=AF$。又$∵AF// BE,∴$四边形$ABEF$是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；菱形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题侧重考查菱形判定的逻辑严谨性，需注意菱形判定定理的适用前提：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，只有当四边形是平行四边形时，才可由对角线垂直判定其为菱形，解题时要避免跳步遗漏前提条件。
【难度系数】
0.7
要判断原证明是否正确，需结合菱形的判定定理分析：菱形的判定定理中，“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的前提是四边形为平行四边形，原证明仅推出对角线$AE⊥BF$，未先证明四边形$ABEF$是平行四边形，因此证明错误。解题时应先利用平行四边形$ABCD$的性质、角平分线的定义，先证四边形$ABEF$是平行四边形，再结合对角线垂直的条件判定其为菱形。
【解析】
(1) 原证明没有先证明四边形$ABEF$是平行四边形，直接由对角线垂直判定为菱形，不符合菱形的判定条件，因此证明错误。
(2) 错误出在第⑨步，需要在第⑧步之后补充证明四边形$ABEF$是平行四边形的过程：
$∵AD// BC,∴∠AEB=∠2$。
又$∵∠1=∠2,∴∠AEB=∠1$,
$∴BA=BE$。同理$AB=AF,∴BE=AF$。
又$∵AF// BE,∴$四边形$ABEF$是平行四边形。
之后再结合$AE⊥BF$，即可判定平行四边形$ABEF$是菱形。
【答案】
(1) 错误
(2) ⑨；⑧；$∵AD// BC,∴∠AEB=∠2$。又$∵∠1=∠2,∴∠AEB=∠1$,$∴BA=BE$。同理$AB=AF,∴BE=AF$。又$∵AF// BE,∴$四边形$ABEF$是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；菱形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题侧重考查菱形判定的逻辑严谨性，需注意菱形判定定理的适用前提：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，只有当四边形是平行四边形时，才可由对角线垂直判定其为菱形，解题时要避免跳步遗漏前提条件。
【难度系数】
0.7
