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4 矩形的性质与判定(第1课时)
课堂精要·梳理内容
1.矩形的定义
有一个角是
2.矩形的性质
文字语言：
①矩形是特殊的
②矩形的四个角都是
③矩形的对角线
图形及符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴
3.矩形既是
4.矩形的周长等于
5.文字语言：直角三角形
图形及符号语言：
∵
∴
课堂精要·梳理内容
1.矩形的定义
有一个角是
直角
的平行四边形叫作矩形。2.矩形的性质
文字语言：
①矩形是特殊的
平行四边形
；②矩形的四个角都是
直角
；③矩形的对角线
相等
。图形及符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,AC=BD
。3.矩形既是
轴
对称图形，也是中心
对称图形。它有2
条对称轴。4.矩形的周长等于
长与宽的和的两倍
，面积等于长乘宽
。5.文字语言：直角三角形
斜边上的中线
等于斜边的一半。图形及符号语言：
∵
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,O为AC的中点
，∴
OB=1/2 AC=AO=OC
。答案
1. 直角
2. ①平行四边形 ②直角 ③相等 ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,AC=BD
3. 轴 中心 2
4. 长与宽的和的两倍 长乘宽
5. 斜边上的中线 在Rt△ABC中,∠ABC=90°,O为AC的中点 OB=1/2 AC=AO=OC
2. ①平行四边形 ②直角 ③相等 ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,AC=BD
3. 轴 中心 2
4. 长与宽的和的两倍 长乘宽
5. 斜边上的中线 在Rt△ABC中,∠ABC=90°,O为AC的中点 OB=1/2 AC=AO=OC
解析
【分析】
本题是对矩形相关基础知识点的识记类考查，解题时只需依次回忆矩形的定义、性质、对称性、周长面积公式，以及由矩形性质推导得到的直角三角形斜边中线的相关定理，逐个对应空缺内容填写即可，所有内容均为几何基础识记内容，不需要复杂推导。
【解析】
1. 根据矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此第一空填“直角”。
2. 矩形的性质：①矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等。对应的符号语言：已知四边形ABCD是矩形，因此可得四个内角均为直角，对角线相等，即$∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=∠ DAB=90°,AC=BD$。
3. 矩形的对称性：矩形沿对边中点的连线折叠后两边可完全重合，是轴对称图形，有2条对称轴；同时矩形绕对角线交点旋转$180°$后能和自身重合，也是中心对称图形，因此依次填“轴”“中心”“2”。
4. 矩形周长公式：矩形周长$=2×(长+宽)$，即长与宽的和的两倍；面积公式：矩形面积$=长×宽$，即长乘宽。
5. 由矩形对角线相等且互相平分的性质可推导得：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。对应的符号语言：已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，O为AC的中点，因此可得$OB=\frac{1}{2}AC=AO=OC$。
【答案】
1. 直角
2. ①平行四边形 ②直角 ③相等 $∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=∠ DAB=90°,AC=BD$
3. 轴 中心 2
4. 长与宽的和的两倍 长乘宽
5. 斜边上的中线 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,O为AC的中点 $OB=\frac{1}{2}AC=AO=OC$
【知识点】
矩形的定义及性质；直角三角形斜边中线性质；图形的对称性
【点评】
本题属于基础概念识记题，所考查的内容是矩形章节的核心基础知识点，是后续学习矩形判定、解决矩形相关几何计算与证明题的前提，需要熟练掌握记忆。
【难度系数】
0.9
本题是对矩形相关基础知识点的识记类考查，解题时只需依次回忆矩形的定义、性质、对称性、周长面积公式，以及由矩形性质推导得到的直角三角形斜边中线的相关定理，逐个对应空缺内容填写即可，所有内容均为几何基础识记内容，不需要复杂推导。
【解析】
1. 根据矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此第一空填“直角”。
2. 矩形的性质：①矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等。对应的符号语言：已知四边形ABCD是矩形，因此可得四个内角均为直角，对角线相等，即$∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=∠ DAB=90°,AC=BD$。
3. 矩形的对称性：矩形沿对边中点的连线折叠后两边可完全重合，是轴对称图形，有2条对称轴；同时矩形绕对角线交点旋转$180°$后能和自身重合，也是中心对称图形，因此依次填“轴”“中心”“2”。
4. 矩形周长公式：矩形周长$=2×(长+宽)$，即长与宽的和的两倍；面积公式：矩形面积$=长×宽$，即长乘宽。
5. 由矩形对角线相等且互相平分的性质可推导得：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。对应的符号语言：已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，O为AC的中点，因此可得$OB=\frac{1}{2}AC=AO=OC$。
【答案】
1. 直角
2. ①平行四边形 ②直角 ③相等 $∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=∠ DAB=90°,AC=BD$
3. 轴 中心 2
4. 长与宽的和的两倍 长乘宽
5. 斜边上的中线 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,O为AC的中点 $OB=\frac{1}{2}AC=AO=OC$
【知识点】
矩形的定义及性质；直角三角形斜边中线性质；图形的对称性
【点评】
本题属于基础概念识记题，所考查的内容是矩形章节的核心基础知识点，是后续学习矩形判定、解决矩形相关几何计算与证明题的前提，需要熟练掌握记忆。
【难度系数】
0.9
1. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是(
A.两组对边分别平行
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.两组对角分别相等
C
)。A.两组对边分别平行
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.两组对角分别相等
答案
1.C
解析
【分析】
这道题考查菱形与矩形性质的差异，解题时首先要明确菱形和矩形都是特殊的平行四边形，先回忆二者的共有性质和独有性质，再逐一对比每个选项，判断哪个性质是菱形具备但矩形不一定具备的。首先平行四边形的共有性质是两类图形都有的，可先排除对应共有性质的选项，再对比对角线的特性判断剩余选项即可。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 两组对边分别平行是平行四边形的基本性质，菱形和矩形都是特殊的平行四边形，都具备该性质，不符合题意；
B. 对角线相等是矩形的性质，普通菱形的对角线不相等，仅特殊菱形（正方形）才具备该性质，属于矩形具有而菱形不一定具有的性质，不符合题意；
C. 对角线互相垂直是菱形的性质，普通矩形的对角线不垂直，仅特殊矩形（正方形）才具备该性质，属于菱形具有而矩形不一定具有的性质，符合题意；
D. 两组对角分别相等是平行四边形的基本性质，菱形和矩形都具备该性质，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、矩形的性质、平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查特殊平行四边形性质的区分，解题核心是准确记忆菱形和矩形的共性与各自的独有特性，避免混淆两类图形的对角线性质。
【难度系数】
0.8
这道题考查菱形与矩形性质的差异，解题时首先要明确菱形和矩形都是特殊的平行四边形，先回忆二者的共有性质和独有性质，再逐一对比每个选项，判断哪个性质是菱形具备但矩形不一定具备的。首先平行四边形的共有性质是两类图形都有的，可先排除对应共有性质的选项，再对比对角线的特性判断剩余选项即可。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 两组对边分别平行是平行四边形的基本性质，菱形和矩形都是特殊的平行四边形，都具备该性质，不符合题意；
B. 对角线相等是矩形的性质，普通菱形的对角线不相等，仅特殊菱形（正方形）才具备该性质，属于矩形具有而菱形不一定具有的性质，不符合题意；
C. 对角线互相垂直是菱形的性质，普通矩形的对角线不垂直，仅特殊矩形（正方形）才具备该性质，属于菱形具有而矩形不一定具有的性质，符合题意；
D. 两组对角分别相等是平行四边形的基本性质，菱形和矩形都具备该性质，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、矩形的性质、平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查特殊平行四边形性质的区分，解题核心是准确记忆菱形和矩形的共性与各自的独有特性，避免混淆两类图形的对角线性质。
【难度系数】
0.8
2.一个矩形的一条边长是4 cm，一条对角线的长是$4\sqrt{3}$ cm，则这个矩形的面积是（
A.$32\ \mathrm{cm}^2$
B.$32\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$
C.$16\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$
D.$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
C
）。A.$32\ \mathrm{cm}^2$
B.$32\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$
C.$16\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$
D.$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形的性质：矩形的四个角都是直角，因此矩形的相邻两条边和对角线可构成直角三角形。我们已知一条边长和对角线长，可先利用勾股定理求出矩形的另一条边长，再根据矩形面积公式计算面积即可得到答案。
【解析】
设矩形的另一条边长为$x\ \mathrm{cm}$。
∵ 矩形的四个角均为直角，
∴ 边长、相邻边长与对角线构成直角三角形，由勾股定理可得：
$4^2 + x^2 = (4\sqrt{3})^2$
计算得：$16 + x^2 = 48$
移项得：$x^2 = 48 - 16 = 32$
∵ 边长为正数，
∴ $x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
矩形面积 = 长×宽 = $4 × 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 矩形的性质
2. 勾股定理
3. 矩形面积计算
【点评】
本题是基础应用型题目，将矩形的性质和勾股定理结合考查，解题的关键是利用矩形直角的特征构造直角三角形求出未知边长，计算时注意二次根式的化简即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆矩形的性质：矩形的四个角都是直角，因此矩形的相邻两条边和对角线可构成直角三角形。我们已知一条边长和对角线长，可先利用勾股定理求出矩形的另一条边长，再根据矩形面积公式计算面积即可得到答案。
【解析】
设矩形的另一条边长为$x\ \mathrm{cm}$。
∵ 矩形的四个角均为直角，
∴ 边长、相邻边长与对角线构成直角三角形，由勾股定理可得：
$4^2 + x^2 = (4\sqrt{3})^2$
计算得：$16 + x^2 = 48$
移项得：$x^2 = 48 - 16 = 32$
∵ 边长为正数，
∴ $x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
矩形面积 = 长×宽 = $4 × 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 矩形的性质
2. 勾股定理
3. 矩形面积计算
【点评】
本题是基础应用型题目，将矩形的性质和勾股定理结合考查，解题的关键是利用矩形直角的特征构造直角三角形求出未知边长，计算时注意二次根式的化简即可。
【难度系数】
0.8
3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O。已知$∠ AOD=60°$,$AC=6$,则图中长度为3的线段有(
A.2条
B.4条
C.5条
D.6条
D
)。A.2条
B.4条
C.5条
D.6条
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先从矩形的性质入手，矩形的对角线相等且互相平分，据此可先算出对角线被交点分成的4条小线段的长度。再结合已知∠AOD=60°，可判断△AOD为等边三角形，得到AD的长度，再利用矩形对边相等得到BC的长度，最后统计所有长度为3的线段即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴对角线相等且互相平分，即$AC=BD=6$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD=3$，且对边相等$AD=BC$。
∵$OA=OD=3$，$∠AOD=60°$，
∴$△ AOD$是等边三角形，
∴$AD=OA=3$，则$BC=AD=3$。
综上，长度为3的线段有：$OA、OC、OB、OD、AD、BC$，共6条。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是熟练掌握矩形对角线、对边的相关性质，以及等边三角形的判定方法，数线段时注意不要遗漏。
【难度系数】
0.7
解题时先从矩形的性质入手，矩形的对角线相等且互相平分，据此可先算出对角线被交点分成的4条小线段的长度。再结合已知∠AOD=60°，可判断△AOD为等边三角形，得到AD的长度，再利用矩形对边相等得到BC的长度，最后统计所有长度为3的线段即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴对角线相等且互相平分，即$AC=BD=6$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD=3$，且对边相等$AD=BC$。
∵$OA=OD=3$，$∠AOD=60°$，
∴$△ AOD$是等边三角形，
∴$AD=OA=3$，则$BC=AD=3$。
综上，长度为3的线段有：$OA、OC、OB、OD、AD、BC$，共6条。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是熟练掌握矩形对角线、对边的相关性质，以及等边三角形的判定方法，数线段时注意不要遗漏。
【难度系数】
0.7
4.一个矩形的长边是短边的2倍，对角线的长是$\sqrt{5}$，那么这个矩形的长边等于（
A.$2\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}$
C.1
D.2
D
）。A.$2\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}$
C.1
D.2
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形的性质：矩形的四个角都是直角，因此矩形的相邻两边与对角线可构成直角三角形，符合勾股定理的应用条件。我们可以通过设未知数的方式，结合题目给出的长边与短边的数量关系、对角线长度，利用勾股定理列方程求解，最终得到长边的长度。
【解析】
设这个矩形的短边长为$x$，已知长边是短边的2倍，则长边长为$2x$。
因为矩形的内角为直角，所以短边、长边与对角线构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理可得：
$x^2 + (2x)^2 = (\sqrt{5})^2$
化简计算：
左边合并同类项得$x^2 + 4x^2 = 5x^2$，右边计算得$5$，因此：
$5x^2 = 5$
两边同时除以5得$x^2=1$，因为矩形边长为正数，所以$x=1$。
则长边长度为$2x=2×1=2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、列方程解几何问题
【点评】
本题属于基础题型，核心是将矩形的边长关系转化为直角三角形的边长关系，结合勾股定理列方程求解，是几何与方程结合的典型基础题，需要熟练掌握这类解题思路。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆矩形的性质：矩形的四个角都是直角，因此矩形的相邻两边与对角线可构成直角三角形，符合勾股定理的应用条件。我们可以通过设未知数的方式，结合题目给出的长边与短边的数量关系、对角线长度，利用勾股定理列方程求解，最终得到长边的长度。
【解析】
设这个矩形的短边长为$x$，已知长边是短边的2倍，则长边长为$2x$。
因为矩形的内角为直角，所以短边、长边与对角线构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理可得：
$x^2 + (2x)^2 = (\sqrt{5})^2$
化简计算：
左边合并同类项得$x^2 + 4x^2 = 5x^2$，右边计算得$5$，因此：
$5x^2 = 5$
两边同时除以5得$x^2=1$，因为矩形边长为正数，所以$x=1$。
则长边长度为$2x=2×1=2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、列方程解几何问题
【点评】
本题属于基础题型，核心是将矩形的边长关系转化为直角三角形的边长关系，结合勾股定理列方程求解，是几何与方程结合的典型基础题，需要熟练掌握这类解题思路。
【难度系数】
0.8
5.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10$，$AD=DB$，则$CD=$
5
。答案
5.5
解析
【分析】
解题时先梳理题目给出的条件：△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，又已知AD=DB，说明点D是斜边AB的中点，因此CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，结合直角三角形斜边中线的性质即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD=DB，
∴ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
可得 $ CD=\frac{1}{2}AB $，
又
∵ AB=10，
∴ $ CD=\frac{1}{2}×10=5 $。
【答案】
5
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，线段中点的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形斜边中线性质的直接应用，解题关键是判断出CD是直角三角形斜边的中线，熟记相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理题目给出的条件：△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，又已知AD=DB，说明点D是斜边AB的中点，因此CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，结合直角三角形斜边中线的性质即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD=DB，
∴ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
可得 $ CD=\frac{1}{2}AB $，
又
∵ AB=10，
∴ $ CD=\frac{1}{2}×10=5 $。
【答案】
5
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，线段中点的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形斜边中线性质的直接应用，解题关键是判断出CD是直角三角形斜边的中线，熟记相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
6.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE=DF。求证：AE=CF。
答案
证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC,OB=OD。
∵BE=DF,
∴OE=OF。
在△AOE和△COF中,$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠AOE=∠COF, \\ OE=OF, \end{cases}$
∴△AOE≌△COF(SAS),
∴AE=CF。
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC,OB=OD。
∵BE=DF,
∴OE=OF。
在△AOE和△COF中,$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠AOE=∠COF, \\ OE=OF, \end{cases}$
∴△AOE≌△COF(SAS),
∴AE=CF。
解析
【分析】
要证明线段AE与CF相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现。首先回忆矩形的性质：矩形的对角线互相平分，因此可以得到OA=OC，OB=OD；再结合已知条件BE=DF，对OB、OD做等量减法即可推导出OE=OF；此时观察△AOE和△COF，已经有两组边对应相等，再加上对顶角∠AOE=∠COF的隐含条件，就能利用SAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得出AE=CF的结论。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD。
∵BE=DF，
∴OB - BE = OD - DF，即OE=OF。
在△AOE和△COF中：
$\begin{cases} OA=OC \\ ∠ AOE=∠ COF \\ OE=OF \end{cases}$
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE=CF。
【答案】
AE=CF
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是利用矩形对角线互相平分的性质得到全等三角形的判定条件，熟练掌握特殊四边形的性质和全等三角形的判定方法，即可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8
要证明线段AE与CF相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现。首先回忆矩形的性质：矩形的对角线互相平分，因此可以得到OA=OC，OB=OD；再结合已知条件BE=DF，对OB、OD做等量减法即可推导出OE=OF；此时观察△AOE和△COF，已经有两组边对应相等，再加上对顶角∠AOE=∠COF的隐含条件，就能利用SAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得出AE=CF的结论。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD。
∵BE=DF，
∴OB - BE = OD - DF，即OE=OF。
在△AOE和△COF中：
$\begin{cases} OA=OC \\ ∠ AOE=∠ COF \\ OE=OF \end{cases}$
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE=CF。
【答案】
AE=CF
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是利用矩形对角线互相平分的性质得到全等三角形的判定条件，熟练掌握特殊四边形的性质和全等三角形的判定方法，即可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8
