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13.【数学应用】若“!”表示一种新运算，并且$1!=1,2!=2×1,3!=3×2×1$，则$100!÷99!$的运算结果是多少？
答案
解:$100!÷99!=100×99!÷99!=100$。
解析
【分析】
解题时首先要明确新运算“!”的运算规则：n!表示从n开始，依次乘所有比前一个数小1的正整数，直到乘到1为止。接下来观察所求式子100!÷99!，可先将100!按规则展开，会发现100! = 100×99×98×…×1，其中99×98×…×1刚好是99!的运算结果，因此100!可转化为100×99!，代入除法算式后相同的99!部分可以约去，不需要分别计算两个大数的结果再相除，就能快速算出结果。
【解析】
解：根据新运算的规则可得：
$100! = 100×99×98×…×1 = 100×99!$
因此$100!÷99! = 100×99!÷99! = 100$
【答案】
100
【知识点】
新定义运算；有理数乘除运算；约分
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解与运用能力，解题核心是读懂新运算的规则，找到两个运算式的公共部分，通过整体约分简化计算，不用计算大数乘积即可得到结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确新运算“!”的运算规则：n!表示从n开始，依次乘所有比前一个数小1的正整数，直到乘到1为止。接下来观察所求式子100!÷99!，可先将100!按规则展开，会发现100! = 100×99×98×…×1，其中99×98×…×1刚好是99!的运算结果，因此100!可转化为100×99!，代入除法算式后相同的99!部分可以约去，不需要分别计算两个大数的结果再相除，就能快速算出结果。
【解析】
解：根据新运算的规则可得：
$100! = 100×99×98×…×1 = 100×99!$
因此$100!÷99! = 100×99!÷99! = 100$
【答案】
100
【知识点】
新定义运算；有理数乘除运算；约分
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解与运用能力，解题核心是读懂新运算的规则，找到两个运算式的公共部分，通过整体约分简化计算，不用计算大数乘积即可得到结果。
【难度系数】
0.9
14.【综合与实践】阅读下列材料：
计算：$\frac{1}{24}÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})$。
解法一：原式$=\frac{1}{24}÷\frac{1}{3}-\frac{1}{24}÷\frac{1}{4}+\frac{1}{24}÷\frac{1}{12}=\frac{1}{24}×3-\frac{1}{24}×4+\frac{1}{24}×12=\frac{11}{24}$。
解法二：原式的倒数$=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})÷\frac{1}{24}=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})×24=24×\frac{1}{3}-24×\frac{1}{4}+24×\frac{1}{12}=4$，所以原式$=\frac{1}{4}$。
(1)上述两种解法得到的结果不同，解法________是错误的；
(2)请你选择合适的解法计算：$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})$。
计算：$\frac{1}{24}÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})$。
解法一：原式$=\frac{1}{24}÷\frac{1}{3}-\frac{1}{24}÷\frac{1}{4}+\frac{1}{24}÷\frac{1}{12}=\frac{1}{24}×3-\frac{1}{24}×4+\frac{1}{24}×12=\frac{11}{24}$。
解法二：原式的倒数$=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})÷\frac{1}{24}=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})×24=24×\frac{1}{3}-24×\frac{1}{4}+24×\frac{1}{12}=4$，所以原式$=\frac{1}{4}$。
(1)上述两种解法得到的结果不同，解法________是错误的；
(2)请你选择合适的解法计算：$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})$。
答案
解:(1)一
(2)原式的倒数为$(\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7})÷(-\dfrac{1}{42})=\dfrac{1}{6}×(-42)-\dfrac{3}{14}×(-42)+\dfrac{2}{3}×(-42)-\dfrac{2}{7}×(-42)=-7+9-28+12=-14$，所以原式$=-\dfrac{1}{14}$。
(2)原式的倒数为$(\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7})÷(-\dfrac{1}{42})=\dfrac{1}{6}×(-42)-\dfrac{3}{14}×(-42)+\dfrac{2}{3}×(-42)-\dfrac{2}{7}×(-42)=-7+9-28+12=-14$，所以原式$=-\dfrac{1}{14}$。
解析
【分析】
(1) 首先回忆运算律的适用范围：只有乘法有分配律，除法不存在分配律。解法一错误地将乘法分配律套用到除法运算中，把被除数分别除以后续括号里的每一项，不符合运算规则，因此解法一是错误的。
(2) 观察待计算的式子，被除数是单个分数，除数是多个分数的加减混合运算，直接通分计算除数过程繁琐，可以借鉴解法二的倒数法：先求原式的倒数，将除法转化为乘法后，用乘法分配律简化计算，最后对计算结果取倒数即可得到原式的值。
【解析】
(1) 由于除法没有分配律，解法一错误使用运算律导致结果错误，因此解法一是错误的。
(2) 采用倒数法计算：
先求原式的倒数：
$\begin{aligned}&(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})\\=&(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)\\=&\frac{1}{6}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)\\=&-7+9-28+12\\=&-14\end{aligned}$
上述结果是原式的倒数，因此原式$=\frac{1}{-14}=-\frac{1}{14}$。
【答案】
(1) 一；(2) $-\frac{1}{14}$
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律、倒数的应用
【点评】
本题考查有理数混合运算的规则和简便运算技巧，解题时要注意运算律的适用范围，不可随意套用除法分配律；当遇到被除数为单个项、除数为多个项的和差形式时，选用倒数法可以简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
(1) 首先回忆运算律的适用范围：只有乘法有分配律，除法不存在分配律。解法一错误地将乘法分配律套用到除法运算中，把被除数分别除以后续括号里的每一项，不符合运算规则，因此解法一是错误的。
(2) 观察待计算的式子，被除数是单个分数，除数是多个分数的加减混合运算，直接通分计算除数过程繁琐，可以借鉴解法二的倒数法：先求原式的倒数，将除法转化为乘法后，用乘法分配律简化计算，最后对计算结果取倒数即可得到原式的值。
【解析】
(1) 由于除法没有分配律，解法一错误使用运算律导致结果错误，因此解法一是错误的。
(2) 采用倒数法计算：
先求原式的倒数：
$\begin{aligned}&(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})\\=&(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)\\=&\frac{1}{6}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)\\=&-7+9-28+12\\=&-14\end{aligned}$
上述结果是原式的倒数，因此原式$=\frac{1}{-14}=-\frac{1}{14}$。
【答案】
(1) 一；(2) $-\frac{1}{14}$
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律、倒数的应用
【点评】
本题考查有理数混合运算的规则和简便运算技巧，解题时要注意运算律的适用范围，不可随意套用除法分配律；当遇到被除数为单个项、除数为多个项的和差形式时，选用倒数法可以简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
15.【数学应用】有若干数，第1个数记为$a_1$，第2个数记为$a_2$……第n个数记为$a_n$。若$a_1=\frac{1}{2}$，从第2个数起，每个数都等于1与前面那个数的差的倒数，试计算$a_2=$
2
，$a_3=$$-1$
，$a_4=$$\frac{1}{2}$
，$a_{2027}=$2
。答案
1. 2
2. -1
3. $\frac{1}{2}$
4. 2
2. -1
3. $\frac{1}{2}$
4. 2
解析
【分析】
解题时首先按照题目给出的运算规则，依次计算出前几个数的值，观察计算结果可发现数列存在周期循环规律，再用所求项的序号除以周期，根据余数即可确定对应项的数值。
第一步：明确运算规则：从第2个数起，每个数等于1与前一个数的差的倒数，即$a_n=\frac{1}{1-a_{n-1}}$（$n≥2$）；
第二步：依次计算$a_2、a_3、a_4$，观察结果总结循环周期；
第三步：计算2027除以周期的余数，对应周期内的数得到$a_{2027}$的值。
【解析】
已知$a_1=\frac{1}{2}$，根据题意逐步计算：
1. 求$a_2$：$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$；
2. 求$a_3$：$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-2}=-1$；
3. 求$a_4$：$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$；
观察计算结果可知，数列以$\frac{1}{2}、2、-1$为1个周期，每3个数循环一次。
计算$2027÷3=675······2$，余数为2，说明$a_{2027}$对应周期内的第2个数，即$a_{2027}=a_2=2$。
【答案】
2；-1；$\frac{1}{2}$；2
【知识点】
数字规律探究；倒数的运算；周期循环问题
【点评】
本题是典型的数字规律探究类题型，解题核心是通过计算前若干项找到数列的循环周期，再利用周期的性质求解指定项，既考查了基础运算能力，也考查了归纳总结的思维能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先按照题目给出的运算规则，依次计算出前几个数的值，观察计算结果可发现数列存在周期循环规律，再用所求项的序号除以周期，根据余数即可确定对应项的数值。
第一步：明确运算规则：从第2个数起，每个数等于1与前一个数的差的倒数，即$a_n=\frac{1}{1-a_{n-1}}$（$n≥2$）；
第二步：依次计算$a_2、a_3、a_4$，观察结果总结循环周期；
第三步：计算2027除以周期的余数，对应周期内的数得到$a_{2027}$的值。
【解析】
已知$a_1=\frac{1}{2}$，根据题意逐步计算：
1. 求$a_2$：$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$；
2. 求$a_3$：$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-2}=-1$；
3. 求$a_4$：$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$；
观察计算结果可知，数列以$\frac{1}{2}、2、-1$为1个周期，每3个数循环一次。
计算$2027÷3=675······2$，余数为2，说明$a_{2027}$对应周期内的第2个数，即$a_{2027}=a_2=2$。
【答案】
2；-1；$\frac{1}{2}$；2
【知识点】
数字规律探究；倒数的运算；周期循环问题
【点评】
本题是典型的数字规律探究类题型，解题核心是通过计算前若干项找到数列的循环周期，再利用周期的性质求解指定项，既考查了基础运算能力，也考查了归纳总结的思维能力。
【难度系数】
0.7
