11.如图1-4-24,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,过点C的直线$MN// AB$,D为AB边上一点,过点D作$DE⊥ BC$,交直线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)若$AD=4\ \mathrm{cm}$,求CE的长;
(2)当D为AB的中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;
(3)若D为AB的中点,当$∠ A$的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?

11.解:(1)
∵DE⊥BC,
∴∠DFB=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠DFB.
∴AC//DE.
∵MN//AB，
∴四边形ADEC是平行四边形.
∴CE=AD.
∵AD=4 cm,
∴CE=4 cm.
(2)四边形BECD是菱形.理由如下：
由(1)得CE=AD.
∵∠ACB=90°,D为AB的中点,
∴
AD=BD=CD.
∴BD=CE.
∵BD//CE，
∴四边形BECD是平行四边形.
∵CD=BD，
∴平行四边形BECD是菱形.
(3)当∠A=45°时,四边形BECD是正方形.
证明:
∵∠ACB=90°,∠A=45°,
∴∠ABC=45°.
又
∵D为AB的中点，
∴CD=BD=AD.
∴∠DCB=∠DBC=45°.
∴∠CDB=90°.
又
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形.

12.如图1-4-25,取一张矩形纸片进行折叠,具体操作过程如下:
操作一:先把矩形ABCD对折,折痕为EF;
操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在矩形内部点M处,连接PM,BM.
(1)【探究发现】
根据以上操作,当点M在EF上时,如图1-4-25①,∠ABP=.
(2)【类比应用】小明将矩形纸片换成边长为4 cm的正方形纸片,继续探究,过程如下:将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作,并延长PM,交CD于点Q,连接BQ.
①如图1-4-25②,当点M在EF上时,∠MBQ=,CQ=;
②改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),如图1-4-25③,判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由.
(3)【拓展延伸】在(2)的探究中,当QF=1 cm时,求出AP的长.

图1-4-25

(1) 30°
(2)① 15° 8−4√3
② ∠MBQ=∠CBQ，理由如下：
∵BM=BC，BQ=BQ，
∴Rt△BQM≌Rt△BQC(HL).
∴∠MBQ=∠CBQ.
(3)当点Q在点F的下方时，如图1，

∵QF = 1 cm，DF = FC = 2 cm，AB = 4 cm，
∴QC = CD − DF − QF = 4 − 2 − 1 = 1(cm)，DQ = DF + QF = 2 + 1 = 3(cm).
由(2)可知QM = QC，
设AP = PM = x cm，PD = (4 − x) cm，
∴PD² + DQ² = PQ²，
即(4 − x)² + 3² = (x + 1)²，
解得x = 12/5，
∴AP = 12/5 cm.
当点Q在点F的上方时，如图2，

∵QF = 1 cm，DF = FC = 2 cm，AB = 4 cm，
∴QC = 3 cm，DQ = 1 cm.
由(2)可知QM = QC，
设AP = PM = x cm，PD = (4 − x)cm，
∴PD² + DQ² = PQ²，
即(4 − x)² + 1² = (x + 3)²，
解得x = 4/7，
∴AP = 4/7 cm.
综上所述，AP = 12/5 cm 或 AP = 4/7 cm.