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·练习 电商平台销售某款儿童玩具，进价为每件10元，在销售过程中发现，每周的销售量$ y $（单位：件）与每件玩具的售价$ x $（单位：元）之间满足一次函数关系.当每件玩具的售价为12元时，每周的销售量为80件；当每件玩具的售价为14元时，每周的销售量为40件.
(1)求$ y $关于$ x $的函数解析式（其中$ 10≤ x≤16 $，且$ x $为整数）.
(2)当每件玩具的售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获利润最大？最大周利润是多少元？
知识拓展 (1)单件利润＝单件售价－单件成本.
(2)总利润＝单件利润×总件数.
(1)求$ y $关于$ x $的函数解析式（其中$ 10≤ x≤16 $，且$ x $为整数）.
(2)当每件玩具的售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获利润最大？最大周利润是多少元？
知识拓展 (1)单件利润＝单件售价－单件成本.
(2)总利润＝单件利润×总件数.
答案
(1) $y = -20x + 320$（其中 $10≤ x≤16$，且 $x$ 为整数）
(2) 当每件玩具的售价为 13 元时，电商平台每周销售这款玩具所获利润最大，最大周利润是 180 元。
(2) 当每件玩具的售价为 13 元时，电商平台每周销售这款玩具所获利润最大，最大周利润是 180 元。
解析
【分析】
(1) 已知y是x的一次函数，且给出两组x、y的对应值，采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，将两组对应值代入得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b的值，结合题目给出的x的取值范围即可得到最终解析式。
(2) 属于销售利润最值问题，根据“总利润=单件利润×销售量”的公式，单件利润为$(x-10)$元，销售量为(1)中求出的y，据此列出总利润W关于x的二次函数解析式，结合二次函数的开口方向、顶点坐标，以及x的取值范围（$10≤x≤16$且x为整数），即可求出最大利润及对应的售价。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$\begin{cases}x=12,y=80\\x=14,y=40\end{cases}$代入解析式得：
$\begin{cases}12k + b = 80 \\14k + b = 40\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$2k=-40$，解得$k=-20$，
将$k=-20$代入$12k + b = 80$，得$-240 + b = 80$，解得$b=320$，
所以$y$关于$x$的函数解析式为$y=-20x+320$（$10≤x≤16$，且x为整数）。
(2) 设每周销售利润为$W$元，根据题意得：
$W=(x-10)y=(x-10)(-20x+320)$
展开整理得：$W=-20x^2+520x-3200$
该二次函数中$a=-20＜0$，抛物线开口向下，存在最大值，
顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{520}{2×(-20)}=13$，
由于$10≤13≤16$且13是整数，因此当$x=13$时，$W$取最大值，
代入计算得$W=(13-10)×(-20×13+320)=3×60=180$。
【答案】
(1) $y = -20x + 320$（其中 $10≤ x≤16$，且$x$为整数）
(2) 当每件玩具的售价为 13 元时，电商平台每周销售这款玩具所获利润最大，最大周利润是 180 元。
【知识点】
待定系数法求一次函数；二次函数实际应用；二次函数最值求解
【点评】
本题是销售类最值的典型题型，解题的关键是先求出销售量的函数关系，再结合利润公式构建二次函数模型，求解最值时要注意自变量的取值限制，避免忽略整数要求导致错误。
【难度系数】
0.7
(1) 已知y是x的一次函数，且给出两组x、y的对应值，采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，将两组对应值代入得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b的值，结合题目给出的x的取值范围即可得到最终解析式。
(2) 属于销售利润最值问题，根据“总利润=单件利润×销售量”的公式，单件利润为$(x-10)$元，销售量为(1)中求出的y，据此列出总利润W关于x的二次函数解析式，结合二次函数的开口方向、顶点坐标，以及x的取值范围（$10≤x≤16$且x为整数），即可求出最大利润及对应的售价。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$\begin{cases}x=12,y=80\\x=14,y=40\end{cases}$代入解析式得：
$\begin{cases}12k + b = 80 \\14k + b = 40\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$2k=-40$，解得$k=-20$，
将$k=-20$代入$12k + b = 80$，得$-240 + b = 80$，解得$b=320$，
所以$y$关于$x$的函数解析式为$y=-20x+320$（$10≤x≤16$，且x为整数）。
(2) 设每周销售利润为$W$元，根据题意得：
$W=(x-10)y=(x-10)(-20x+320)$
展开整理得：$W=-20x^2+520x-3200$
该二次函数中$a=-20＜0$，抛物线开口向下，存在最大值，
顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{520}{2×(-20)}=13$，
由于$10≤13≤16$且13是整数，因此当$x=13$时，$W$取最大值，
代入计算得$W=(13-10)×(-20×13+320)=3×60=180$。
【答案】
(1) $y = -20x + 320$（其中 $10≤ x≤16$，且$x$为整数）
(2) 当每件玩具的售价为 13 元时，电商平台每周销售这款玩具所获利润最大，最大周利润是 180 元。
【知识点】
待定系数法求一次函数；二次函数实际应用；二次函数最值求解
【点评】
本题是销售类最值的典型题型，解题的关键是先求出销售量的函数关系，再结合利润公式构建二次函数模型，求解最值时要注意自变量的取值限制，避免忽略整数要求导致错误。
【难度系数】
0.7
1. 某商店销售某件商品所获得的利润$y$(单位:元)与所卖的件数$x$之间的关系满足$y=-x^2+1000x-200000$，则当$0＜x≤450$时的最大利润为(
A.2 500元
B.47 500元
C.50 000元
D.250 000元
B
).A.2 500元
B.47 500元
C.50 000元
D.250 000元
答案
1. B
解析
【分析】
本题是二次函数在给定自变量范围内求最值的实际应用问题。首先判断二次函数的开口方向，再计算对称轴，结合函数增减性分析给定取值范围内的最值点：二次函数$y=ax^2+bx+c$中，$a＜0$时抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧随$x$增大而减小。本题中$a=-1＜0$，计算得对称轴为$x=500$，给定范围$0＜x≤450$全部在对称轴左侧，因此$x$取最大值450时利润最大，代入计算即可。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+1000x-200000$，其中$a=-1＜0$，抛物线开口向下。
根据对称轴公式可得对称轴：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1000}{2×(-1)}=500$。
由抛物线开口向下的性质可知：当$x＜500$时，$y$随$x$的增大而增大。
已知自变量取值范围为$0＜x≤450$，全部在对称轴左侧，因此当$x=450$时，利润$y$取得最大值。
将$x=450$代入函数计算：
$\begin{aligned}y&=-450^2 +1000×450 -200000\\&=-202500 +450000 -200000\\&=47500\end{aligned}$
即最大利润为47500元。
【答案】
B
【知识点】
二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题考查二次函数在实际利润问题中的应用，解题核心是不能直接套用顶点坐标求最值，要结合自变量的实际取值范围和函数增减性判断最值对应的自变量，避免因忽略取值范围出现错解。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在给定自变量范围内求最值的实际应用问题。首先判断二次函数的开口方向，再计算对称轴，结合函数增减性分析给定取值范围内的最值点：二次函数$y=ax^2+bx+c$中，$a＜0$时抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧随$x$增大而减小。本题中$a=-1＜0$，计算得对称轴为$x=500$，给定范围$0＜x≤450$全部在对称轴左侧，因此$x$取最大值450时利润最大，代入计算即可。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+1000x-200000$，其中$a=-1＜0$，抛物线开口向下。
根据对称轴公式可得对称轴：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1000}{2×(-1)}=500$。
由抛物线开口向下的性质可知：当$x＜500$时，$y$随$x$的增大而增大。
已知自变量取值范围为$0＜x≤450$，全部在对称轴左侧，因此当$x=450$时，利润$y$取得最大值。
将$x=450$代入函数计算：
$\begin{aligned}y&=-450^2 +1000×450 -200000\\&=-202500 +450000 -200000\\&=47500\end{aligned}$
即最大利润为47500元。
【答案】
B
【知识点】
二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题考查二次函数在实际利润问题中的应用，解题核心是不能直接套用顶点坐标求最值，要结合自变量的实际取值范围和函数增减性判断最值对应的自变量，避免因忽略取值范围出现错解。
【难度系数】
0.7
2.某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件.市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件.当商品降价销售时，每天的销售额最大是（
A.2 500元
B.2 000元
C.1 800元
D.2 200元
C
）.A.2 500元
B.2 000元
C.1 800元
D.2 200元
答案
2. C
解析
【分析】
要解决销售额最大的问题，首先明确核心等量关系：销售额=单件售价×销售数量。我们可以设降价的金额为自变量，销售额为因变量，据此列出二次函数解析式，再结合二次函数开口向下时顶点处取得最大值的性质，结合自变量的实际取值范围计算最大值即可。
【解析】
设每件商品降价$ x $元，每天的销售额为$ y $元。
根据题意可知：降价后单件售价为$ (35 - x) $元，每天的销售量为$ (50 + 2x) $元，因此销售额的函数关系式为：
$ y = (35 - x)(50 + 2x) $
展开并整理得：
$ y = -2x^2 + 20x + 1750 $
其中$ a=-2＜0 $，二次函数图象开口向下，函数存在最大值。
对称轴为$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2×(-2)} = 5 $，符合降价销售的取值范围（$ x＞0 $且$ 35-x＞0 $，即$ 0＜x＜35 $）。
将$ x=5 $代入解析式得：
$ y=(35-5)×(50+2×5)=30×60=1800 $（元）
因此每天的销售额最大为1800元。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数最值计算
【点评】
本题为销售类最值的典型题型，解题的核心是找准数量间的等量关系正确列出函数解析式，再结合二次函数的性质求解，要注意自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
要解决销售额最大的问题，首先明确核心等量关系：销售额=单件售价×销售数量。我们可以设降价的金额为自变量，销售额为因变量，据此列出二次函数解析式，再结合二次函数开口向下时顶点处取得最大值的性质，结合自变量的实际取值范围计算最大值即可。
【解析】
设每件商品降价$ x $元，每天的销售额为$ y $元。
根据题意可知：降价后单件售价为$ (35 - x) $元，每天的销售量为$ (50 + 2x) $元，因此销售额的函数关系式为：
$ y = (35 - x)(50 + 2x) $
展开并整理得：
$ y = -2x^2 + 20x + 1750 $
其中$ a=-2＜0 $，二次函数图象开口向下，函数存在最大值。
对称轴为$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2×(-2)} = 5 $，符合降价销售的取值范围（$ x＞0 $且$ 35-x＞0 $，即$ 0＜x＜35 $）。
将$ x=5 $代入解析式得：
$ y=(35-5)×(50+2×5)=30×60=1800 $（元）
因此每天的销售额最大为1800元。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数最值计算
【点评】
本题为销售类最值的典型题型，解题的核心是找准数量间的等量关系正确列出函数解析式，再结合二次函数的性质求解，要注意自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
3.(教材P55习题T7变式)假期间,某宾馆预订火爆.该宾馆有150间标准房,当标准房每间价格为200元时,每天都客满.市场调查表明单间房价在200～300元(含200元,300元)范围内浮动时,每提高5元,日均入住数减少3间.如果不考虑其他因素,为使宾馆的日营业收入最大,宾馆可将标准房间价格提高(
A.100元
B.75元
C.50元
D.25元
D
).A.100元
B.75元
C.50元
D.25元
答案
3. D
解析
【分析】本题属于二次函数实际最值应用类问题，解题思路如下：首先明确日营业收入的核心等量关系：日营业收入=每间房实际价格×日均入住房间数；其次合理设未知数，用含未知数的代数式分别表示提价后的房价、对应入住数，同时结合题中房价浮动区间确定自变量的取值范围；再根据等量关系列出营业收入关于未知数的二次函数解析式；最后利用二次函数开口方向与顶点坐标的性质求最大值，换算得到对应的提价金额即可。
【解析】设每间标准房价格共提高了5x元（x为非负整数），则提价后每间房价格为$(200+5x)$元，日均入住房间数为$(150-3x)$间。
根据题意，单间房价最高为300元，因此：
$200+5x ≤ 300$，解得$x ≤ 20$，即x的取值范围为$0≤ x≤20$且x为整数。
设日营业收入为y元，根据营业收入公式可得：
$\begin{aligned}y&=(200+5x)(150-3x)\\&=-15x^2+150x+30000\end{aligned}$
该函数为二次函数，二次项系数$a=-15＜0$，图象开口向下，在顶点处y取得最大值。
顶点横坐标为：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{150}{2×(-15)}=5$，该值在自变量取值范围内，符合要求。
因此对应的提价金额为$5x=5×5=25$元，此时宾馆日营业收入最大。
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用；二次函数最值求解
【点评】本题是经营类最值的典型题型，解题核心是找准等量关系列对函数解析式，同时要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，避免求出的最值不符合实际情境。
【难度系数】0.7
【解析】设每间标准房价格共提高了5x元（x为非负整数），则提价后每间房价格为$(200+5x)$元，日均入住房间数为$(150-3x)$间。
根据题意，单间房价最高为300元，因此：
$200+5x ≤ 300$，解得$x ≤ 20$，即x的取值范围为$0≤ x≤20$且x为整数。
设日营业收入为y元，根据营业收入公式可得：
$\begin{aligned}y&=(200+5x)(150-3x)\\&=-15x^2+150x+30000\end{aligned}$
该函数为二次函数，二次项系数$a=-15＜0$，图象开口向下，在顶点处y取得最大值。
顶点横坐标为：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{150}{2×(-15)}=5$，该值在自变量取值范围内，符合要求。
因此对应的提价金额为$5x=5×5=25$元，此时宾馆日营业收入最大。
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用；二次函数最值求解
【点评】本题是经营类最值的典型题型，解题核心是找准等量关系列对函数解析式，同时要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，避免求出的最值不符合实际情境。
【难度系数】0.7
4.某商店销售一种成本为40元/kg的水产品，若按50元/kg销售，一个月可售出500 kg，售价每上涨1元，月销售量就减少10 kg，则月销售利润y(单位：元)与售价x(单位：元/kg)之间的函数解析式为。
。
。
答案
4. $y = -10x^2 + 1 400x - 40 000$
解析
【分析】
解题时首先明确销售总利润的核心计算公式：总利润=单件利润×销售总量，我们分三步推导函数解析式：第一步，用售价x减去成本40，得到每千克水产品的利润；第二步，根据“售价每涨1元，月销量减少10kg”的规则，用原销量减去涨价后减少的销量，得到对应售价x下的月销售量；第三步，将单件利润和月销售量的表达式相乘，化简后即可得到利润y与售价x的函数解析式。
【解析】
根据销售利润的等量关系计算：
1. 计算每千克水产品的利润：
售价为x元/kg，成本为40元/kg，因此单件利润为$(x - 40)$元。
2. 计算对应售价下的月销售量：
原售价50元时月销量为500kg，售价上涨了$(x - 50)$元，因此销量减少$10(x - 50)$kg，
实际月销量为：$500 - 10(x - 50) = 1000 - 10x$（kg）。
3. 计算总利润并化简：
总利润$y = 单件利润 × 月销量$，代入得：
$ \begin{aligned} y&=(x - 40)(1000 - 10x)\\ &=1000x - 10x^2 - 40000 + 400x\\ &=-10x^2 + 1400x - 40000 \end{aligned} $
【答案】
$y = -10x^2 + 1400x - 40000$
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 二次函数实际应用
3. 列函数关系式
【点评】
本题是销售类函数问题的基础题型，解题关键是牢记总利润的计算公式，准确梳理销量随售价变化的规律，代入表达式化简即可，是后续求解利润最值问题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确销售总利润的核心计算公式：总利润=单件利润×销售总量，我们分三步推导函数解析式：第一步，用售价x减去成本40，得到每千克水产品的利润；第二步，根据“售价每涨1元，月销量减少10kg”的规则，用原销量减去涨价后减少的销量，得到对应售价x下的月销售量；第三步，将单件利润和月销售量的表达式相乘，化简后即可得到利润y与售价x的函数解析式。
【解析】
根据销售利润的等量关系计算：
1. 计算每千克水产品的利润：
售价为x元/kg，成本为40元/kg，因此单件利润为$(x - 40)$元。
2. 计算对应售价下的月销售量：
原售价50元时月销量为500kg，售价上涨了$(x - 50)$元，因此销量减少$10(x - 50)$kg，
实际月销量为：$500 - 10(x - 50) = 1000 - 10x$（kg）。
3. 计算总利润并化简：
总利润$y = 单件利润 × 月销量$，代入得：
$ \begin{aligned} y&=(x - 40)(1000 - 10x)\\ &=1000x - 10x^2 - 40000 + 400x\\ &=-10x^2 + 1400x - 40000 \end{aligned} $
【答案】
$y = -10x^2 + 1400x - 40000$
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 二次函数实际应用
3. 列函数关系式
【点评】
本题是销售类函数问题的基础题型，解题关键是牢记总利润的计算公式，准确梳理销量随售价变化的规律，代入表达式化简即可，是后续求解利润最值问题的基础。
【难度系数】
0.8
