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1. 用配方法解下列方程时,配方有错误的是 ()
A.$x^2 - 2x -99=0$ 化为 $(x-1)^2=100$
B.$x^2 +8x +9=0$ 化为 $(x+4)^2=25$
C.$2x^2 -7x -4=0$ 化为 $(x-\dfrac{7}{4})^2=\dfrac{81}{16}$
D.$3x^2 -4x -2=0$ 化为 $(x-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{10}{9}$
A.$x^2 - 2x -99=0$ 化为 $(x-1)^2=100$
B.$x^2 +8x +9=0$ 化为 $(x+4)^2=25$
C.$2x^2 -7x -4=0$ 化为 $(x-\dfrac{7}{4})^2=\dfrac{81}{16}$
D.$3x^2 -4x -2=0$ 化为 $(x-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{10}{9}$
答案
B
解析
【分析】
要判断哪个选项配方错误，需回忆配方法解一元二次方程的步骤：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式。我们只需逐个验证每个选项的配方过程是否符合上述步骤即可。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：$x^2 - 2x -99=0$
移项得：$x^2 -2x =99$
两边加一次项系数$-2$一半的平方$1$，得：$x^2-2x+1=99+1$
即$(x-1)^2=100$，配方正确。
B选项：$x^2 +8x +9=0$
移项得：$x^2 +8x = -9$
两边加一次项系数$8$一半的平方$16$，得：$x^2+8x+16=-9+16$
即$(x+4)^2=7≠25$，配方错误。
C选项：$2x^2 -7x -4=0$
先将二次项系数化为1，两边除以2得：$x^2 - \dfrac{7}{2}x -2=0$
移项得：$x^2 - \dfrac{7}{2}x =2$
两边加一次项系数$-\dfrac{7}{2}$一半的平方$\dfrac{49}{16}$，得：$x^2 - \dfrac{7}{2}x +\dfrac{49}{16}=2+\dfrac{49}{16}$
即$(x-\dfrac{7}{4})^2=\dfrac{81}{16}$，配方正确。
D选项：$3x^2 -4x -2=0$
先将二次项系数化为1，两边除以3得：$x^2 - \dfrac{4}{3}x - \dfrac{2}{3}=0$
移项得：$x^2 - \dfrac{4}{3}x =\dfrac{2}{3}$
两边加一次项系数$-\dfrac{4}{3}$一半的平方$\dfrac{4}{9}$，得：$x^2 - \dfrac{4}{3}x +\dfrac{4}{9}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{9}$
即$(x-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{10}{9}$，配方正确。
综上，配方有错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的实际应用，解题关键是严格遵循配方法的步骤，尤其注意移项要变号，二次项系数不为1时要先化为1再配方，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
要判断哪个选项配方错误，需回忆配方法解一元二次方程的步骤：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式。我们只需逐个验证每个选项的配方过程是否符合上述步骤即可。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：$x^2 - 2x -99=0$
移项得：$x^2 -2x =99$
两边加一次项系数$-2$一半的平方$1$，得：$x^2-2x+1=99+1$
即$(x-1)^2=100$，配方正确。
B选项：$x^2 +8x +9=0$
移项得：$x^2 +8x = -9$
两边加一次项系数$8$一半的平方$16$，得：$x^2+8x+16=-9+16$
即$(x+4)^2=7≠25$，配方错误。
C选项：$2x^2 -7x -4=0$
先将二次项系数化为1，两边除以2得：$x^2 - \dfrac{7}{2}x -2=0$
移项得：$x^2 - \dfrac{7}{2}x =2$
两边加一次项系数$-\dfrac{7}{2}$一半的平方$\dfrac{49}{16}$，得：$x^2 - \dfrac{7}{2}x +\dfrac{49}{16}=2+\dfrac{49}{16}$
即$(x-\dfrac{7}{4})^2=\dfrac{81}{16}$，配方正确。
D选项：$3x^2 -4x -2=0$
先将二次项系数化为1，两边除以3得：$x^2 - \dfrac{4}{3}x - \dfrac{2}{3}=0$
移项得：$x^2 - \dfrac{4}{3}x =\dfrac{2}{3}$
两边加一次项系数$-\dfrac{4}{3}$一半的平方$\dfrac{4}{9}$，得：$x^2 - \dfrac{4}{3}x +\dfrac{4}{9}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{9}$
即$(x-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{10}{9}$，配方正确。
综上，配方有错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的实际应用，解题关键是严格遵循配方法的步骤，尤其注意移项要变号，二次项系数不为1时要先化为1再配方，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
2. 如图1，D，E分别是$△ ABC$的边AB，AC上的点，且$DE// BC$，BE交DC于点F. $EF: FB=1: 3$，则$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BFC}}$的值为（）
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{1}{9}$
D.以上选项都不对
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{1}{9}$
D.以上选项都不对
答案
C
解析
【分析】
首先观察题目条件，已知DE//BC，看到平行线首先考虑得到相等的内错角，进而可以判定三角形相似。题目要求两个三角形的面积比，回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。所以解题逻辑为：第一步证明△DEF与△CBF相似，第二步确定两个三角形的相似比，第三步利用面积比和相似比的关系计算最终比值即可。
【解析】
∵ DE//BC
∴ ∠DEF = ∠CBF，∠EDF = ∠BCF（两直线平行，内错角相等）
∴ △DEF ∽ △CBF（两角分别相等的两个三角形相似）
已知EF:FB = 1:3，即△DEF与△CBF的相似比为$\frac{EF}{FB}=\frac{1}{3}$
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴ $\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BFC}} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础常考题，解题核心是通过平行线得到相等的角判定三角形相似，再结合相似三角形面积比与相似比的关系求解，注意不要混淆面积比和相似比的对应关系。
【难度系数】
0.7
首先观察题目条件，已知DE//BC，看到平行线首先考虑得到相等的内错角，进而可以判定三角形相似。题目要求两个三角形的面积比，回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。所以解题逻辑为：第一步证明△DEF与△CBF相似，第二步确定两个三角形的相似比，第三步利用面积比和相似比的关系计算最终比值即可。
【解析】
∵ DE//BC
∴ ∠DEF = ∠CBF，∠EDF = ∠BCF（两直线平行，内错角相等）
∴ △DEF ∽ △CBF（两角分别相等的两个三角形相似）
已知EF:FB = 1:3，即△DEF与△CBF的相似比为$\frac{EF}{FB}=\frac{1}{3}$
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴ $\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BFC}} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础常考题，解题核心是通过平行线得到相等的角判定三角形相似，再结合相似三角形面积比与相似比的关系求解，注意不要混淆面积比和相似比的对应关系。
【难度系数】
0.7
3. 如图2,在$△ ABC$中,$∠ BAC=55°$,将$△ ABC$逆时针旋转$α(0°＜α＜55°)$,得到$△ ADE$,$DE$交$AC$于点$F$.当$α=40°$时,点$D$恰好落在$BC$上,此时$∠ AFE$等于 ()
A.$80°$
B.$85°$
C.$90°$
D.$95°$
A.$80°$
B.$85°$
C.$90°$
D.$95°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先结合旋转的性质，得到对应边相等、对应角相等以及旋转角的度数。首先利用AB=AD判断△ABD为等腰三角形，求出底角∠B的度数，进而得到∠ADE的度数；再计算出∠DAC的度数，最后结合三角形内角和定理、邻补角的性质求出∠AFE的度数即可。
【解析】
解：由旋转的性质可得：
$AB=AD$，$∠ ADE=∠ B$，$∠ DAE=∠ BAC=55°$，旋转角$∠ BAD=α=40°$。
∵ $AB=AD$，$∠ BAD=40°$，
∴ 在$△ ABD$中，$∠ B=∠ ADB=\frac{180°-∠ BAD}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
∴ $∠ ADE=∠ B=70°$。
又
∵ $∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=55°-40°=15°$，
在$△ ADF$中，$∠ AFD=180°-∠ DAC-∠ ADE=180°-15°-70°=95°$。
∵ $∠ AFD$与$∠ AFE$互为邻补角，
∴ $∠ AFE=180°-∠ AFD=180°-95°=85°$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的综合题，解题的核心是熟练掌握旋转的性质，找到相等的边和角，再结合等腰三角形和三角形内角和的相关知识逐步推导未知角度，解题时注意理清角与角之间的位置关系，避免混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合旋转的性质，得到对应边相等、对应角相等以及旋转角的度数。首先利用AB=AD判断△ABD为等腰三角形，求出底角∠B的度数，进而得到∠ADE的度数；再计算出∠DAC的度数，最后结合三角形内角和定理、邻补角的性质求出∠AFE的度数即可。
【解析】
解：由旋转的性质可得：
$AB=AD$，$∠ ADE=∠ B$，$∠ DAE=∠ BAC=55°$，旋转角$∠ BAD=α=40°$。
∵ $AB=AD$，$∠ BAD=40°$，
∴ 在$△ ABD$中，$∠ B=∠ ADB=\frac{180°-∠ BAD}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
∴ $∠ ADE=∠ B=70°$。
又
∵ $∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=55°-40°=15°$，
在$△ ADF$中，$∠ AFD=180°-∠ DAC-∠ ADE=180°-15°-70°=95°$。
∵ $∠ AFD$与$∠ AFE$互为邻补角，
∴ $∠ AFE=180°-∠ AFD=180°-95°=85°$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的综合题，解题的核心是熟练掌握旋转的性质，找到相等的边和角，再结合等腰三角形和三角形内角和的相关知识逐步推导未知角度，解题时注意理清角与角之间的位置关系，避免混淆。
【难度系数】
0.7
4. 如图3,冰激凌蛋筒下部呈圆锥形,则蛋筒圆锥部分包装纸的面积(接缝忽略不计)是 ()
A.$27\ \mathrm{cm}^2$
B.$54\ \mathrm{cm}^2$
C.$27π\ \mathrm{cm}^2$
D.$54π\ \mathrm{cm}^2$
A.$27\ \mathrm{cm}^2$
B.$54\ \mathrm{cm}^2$
C.$27π\ \mathrm{cm}^2$
D.$54π\ \mathrm{cm}^2$
答案
C
解析
【分析】要计算蛋筒圆锥部分包装纸的面积，本质是求圆锥的侧面积。解题思路如下：首先回忆圆锥侧面积的计算公式，再从题图中提取计算所需的条件：已知圆锥底面直径为6cm，可先求出底面半径，同时圆锥的母线长直接给出为9cm，最后将对应数值代入侧面积公式计算即可得到结果。
【解析】解：由题图可得，圆锥的底面直径$d=6\ \mathrm{cm}$，因此底面半径$r=\frac{d}{2}=\frac{6}{2}=3\ \mathrm{cm}$，圆锥的母线长$l=9\ \mathrm{cm}$。
圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，将$r=3\ \mathrm{cm}$、$l=9\ \mathrm{cm}$代入公式：
$S_{\mathrm{侧}}=π×3×9=27π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】C
【知识点】圆锥侧面积计算，圆的半径计算
【点评】本题是基础应用型题目，主要考查圆锥侧面积公式的实际运用，解题的核心是准确识别圆锥的底面半径、母线长两个关键量，牢记公式即可快速解题。
【难度系数】0.8
【解析】解：由题图可得，圆锥的底面直径$d=6\ \mathrm{cm}$，因此底面半径$r=\frac{d}{2}=\frac{6}{2}=3\ \mathrm{cm}$，圆锥的母线长$l=9\ \mathrm{cm}$。
圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，将$r=3\ \mathrm{cm}$、$l=9\ \mathrm{cm}$代入公式：
$S_{\mathrm{侧}}=π×3×9=27π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】C
【知识点】圆锥侧面积计算，圆的半径计算
【点评】本题是基础应用型题目，主要考查圆锥侧面积公式的实际运用，解题的核心是准确识别圆锥的底面半径、母线长两个关键量，牢记公式即可快速解题。
【难度系数】0.8
5. 小明要给刚结识的朋友小林打电话,他只记住了电话号码的前8位的顺序,后3位是3,6,8三个数字的某一种排列顺序,但具体顺序忘记了,那么小明第一次就拨通电话的概率是 ()
A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{3}$
A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
B
解析
【分析】
要计算小明第一次拨通电话的概率，需先明确概率的计算公式：概率等于符合要求的情况数除以所有等可能的情况数。本题中符合要求的情况只有1种（即正确的后三位排列），因此核心是求出3、6、8三个数字能组成的所有不同排列的总数量，再代入公式计算即可。
【解析】
首先列举出3、6、8三个数字所有可能的排列顺序：368、386、638、683、836、863，共6种等可能的结果，其中只有1种是正确的电话号码后三位。
根据概率公式可得，第一次拨通电话的概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
概率公式；列举法求概率
【点评】
本题属于基础概率题，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的情况，再结合概率公式求解，考查学生的基本运算和逻辑梳理能力。
【难度系数】
0.8
要计算小明第一次拨通电话的概率，需先明确概率的计算公式：概率等于符合要求的情况数除以所有等可能的情况数。本题中符合要求的情况只有1种（即正确的后三位排列），因此核心是求出3、6、8三个数字能组成的所有不同排列的总数量，再代入公式计算即可。
【解析】
首先列举出3、6、8三个数字所有可能的排列顺序：368、386、638、683、836、863，共6种等可能的结果，其中只有1种是正确的电话号码后三位。
根据概率公式可得，第一次拨通电话的概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
概率公式；列举法求概率
【点评】
本题属于基础概率题，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的情况，再结合概率公式求解，考查学生的基本运算和逻辑梳理能力。
【难度系数】
0.8
