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6. 如图4，AB是$\odot O$的弦，BC与$\odot O$相切于点B，连接OA，OB。若$∠ ABC=70°$，则$∠ AOB$等于（）
A.$20°$
B.$110°$
C.$140°$
D.$135°$
A.$20°$
B.$110°$
C.$140°$
D.$135°$
答案
C
解析
【分析】
解题时先根据切线的性质确定直角：BC是圆的切线，切点为B，因此OB垂直BC，可先求出∠OBA的度数；再结合OA、OB都是圆的半径，可得△OAB为等腰三角形，两底角相等，最后利用三角形内角和定理即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，即∠OBC=90°，
∵∠ABC=70°，
∴∠ABO=∠OBC - ∠ABC=90°-70°=20°，
∵OA=OB（都是⊙O的半径），
∴∠OAB=∠ABO=20°，
在△OAB中，∠AOB=180°-∠OAB-∠ABO=180°-20°-20°=140°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，综合考查了圆的相关性质和三角形的基础性质，解题的关键是熟练掌握切线垂直于过切点的半径这一核心性质。
【难度系数】
0.85
解题时先根据切线的性质确定直角：BC是圆的切线，切点为B，因此OB垂直BC，可先求出∠OBA的度数；再结合OA、OB都是圆的半径，可得△OAB为等腰三角形，两底角相等，最后利用三角形内角和定理即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，即∠OBC=90°，
∵∠ABC=70°，
∴∠ABO=∠OBC - ∠ABC=90°-70°=20°，
∵OA=OB（都是⊙O的半径），
∴∠OAB=∠ABO=20°，
在△OAB中，∠AOB=180°-∠OAB-∠ABO=180°-20°-20°=140°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，综合考查了圆的相关性质和三角形的基础性质，解题的关键是熟练掌握切线垂直于过切点的半径这一核心性质。
【难度系数】
0.85
7. 如图5,一块面积为60 cm²的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时,在点光源O的照射下形成的投影是△A₁B₁C₁.若OB:BB₁=2:3,则△A₁B₁C₁的面积是 ()
A.90 cm²
B.135 cm²
C.150 cm²
D.375 cm²
图5 图6
A.90 cm²
B.135 cm²
C.150 cm²
D.375 cm²
图5 图6
答案
D
解析
【分析】
本题结合中心投影考查位似与相似三角形的性质，解题思路如下：首先明确平行于投影面的平面图形在点光源下的投影与原图形是位似图形，位似比等于对应点到位似中心的距离之比；其次根据已知的OB与BB₁的比例，推导得到OB与OB₁的比值，即两个三角形的相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合原三角形面积计算投影三角形的面积。
【解析】
∵△ABC平行于投影面，在点光源O照射下形成投影△A₁B₁C₁，
∴△ABC与△A₁B₁C₁是位似图形，位似中心为O，即△ABC∽△A₁B₁C₁。
已知OB:BB₁=2:3，
∴OB:OB₁=OB:(OB+BB₁)=2:(2+3)=2:5，即△ABC与△A₁B₁C₁的相似比为2:5。
根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A_1B_1C_1}}=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$
将$S_{△ ABC}=60\mathrm{cm}^2$代入得：
$\frac{60}{S_{△ A_1B_1C_1}}=\frac{4}{25}$
解得$S_{△ A_1B_1C_1}=60×\frac{25}{4}=375\mathrm{cm}^2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形面积比；中心投影的特征
【点评】
本题是几何综合基础题，将中心投影与相似知识结合考查，解题的关键是准确推导位似比，需注意不要直接将OB:BB₁当作相似比，否则容易错选其他选项。
【难度系数】
0.4
本题结合中心投影考查位似与相似三角形的性质，解题思路如下：首先明确平行于投影面的平面图形在点光源下的投影与原图形是位似图形，位似比等于对应点到位似中心的距离之比；其次根据已知的OB与BB₁的比例，推导得到OB与OB₁的比值，即两个三角形的相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合原三角形面积计算投影三角形的面积。
【解析】
∵△ABC平行于投影面，在点光源O照射下形成投影△A₁B₁C₁，
∴△ABC与△A₁B₁C₁是位似图形，位似中心为O，即△ABC∽△A₁B₁C₁。
已知OB:BB₁=2:3，
∴OB:OB₁=OB:(OB+BB₁)=2:(2+3)=2:5，即△ABC与△A₁B₁C₁的相似比为2:5。
根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A_1B_1C_1}}=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$
将$S_{△ ABC}=60\mathrm{cm}^2$代入得：
$\frac{60}{S_{△ A_1B_1C_1}}=\frac{4}{25}$
解得$S_{△ A_1B_1C_1}=60×\frac{25}{4}=375\mathrm{cm}^2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形面积比；中心投影的特征
【点评】
本题是几何综合基础题，将中心投影与相似知识结合考查，解题的关键是准确推导位似比，需注意不要直接将OB:BB₁当作相似比，否则容易错选其他选项。
【难度系数】
0.4
8. 一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球,这些球除颜色外都相同.从袋子中随机摸出一个球,记下颜色后放回搅匀,不断重复上面的过程,并绘制了如图6所示的统计图.估计袋子里黑球的个数为
()
A.16
B.18
C.20
D.22
()
A.16
B.18
C.20
D.22
答案
A
解析
【分析】
本题可利用频率估计概率的知识求解：首先明确大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在对应事件的概率附近，因此可先从统计图中得到摸到白球的稳定频率，将其作为摸到白球的概率估计值；再结合概率公式，设黑球个数为未知数，列方程求解即可。
【解析】
解：由统计图可知，大量重复摸球试验后，摸到白球的频率稳定在0.2附近，因此估计从袋中摸出一个球是白球的概率为0.2。
设袋子里黑球的个数为$ x $个，袋中总球数为$ (4+x) $个，根据概率公式$ P(\mathrm{摸到白球})=\frac{\mathrm{白球个数}}{\mathrm{总球数}} $，可列方程：
$\frac{4}{4+x}=0.2$
解方程：
$\begin{aligned}4&=0.2(4+x)\\4&=0.8+0.2x\\0.2x&=3.2\\x&=16\end{aligned}$
经检验，$ x=16 $是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
A
【知识点】
用频率估计概率，概率公式，分式方程应用
【点评】
本题是概率的常见应用题型，核心是理解频率与概率的联系，结合概率公式建立方程求解，解题时注意计算后要检验结果是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
本题可利用频率估计概率的知识求解：首先明确大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在对应事件的概率附近，因此可先从统计图中得到摸到白球的稳定频率，将其作为摸到白球的概率估计值；再结合概率公式，设黑球个数为未知数，列方程求解即可。
【解析】
解：由统计图可知，大量重复摸球试验后，摸到白球的频率稳定在0.2附近，因此估计从袋中摸出一个球是白球的概率为0.2。
设袋子里黑球的个数为$ x $个，袋中总球数为$ (4+x) $个，根据概率公式$ P(\mathrm{摸到白球})=\frac{\mathrm{白球个数}}{\mathrm{总球数}} $，可列方程：
$\frac{4}{4+x}=0.2$
解方程：
$\begin{aligned}4&=0.2(4+x)\\4&=0.8+0.2x\\0.2x&=3.2\\x&=16\end{aligned}$
经检验，$ x=16 $是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
A
【知识点】
用频率估计概率，概率公式，分式方程应用
【点评】
本题是概率的常见应用题型，核心是理解频率与概率的联系，结合概率公式建立方程求解，解题时注意计算后要检验结果是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
9. 如图7,在一笔直的海岸线l上有A,B两个观测站,AB=2 km,从A测得船C在北偏东45°的方向,从B测得船C在北偏东22.5°的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为 ()
A.4 km
B.(2+\sqrt{2}) km$$
C.2\sqrt{2} km$$
$D.(4-\sqrt{2}) km$
A.4 km
B.(2+\sqrt{2}) km$$
C.2\sqrt{2} km$$
$D.(4-\sqrt{2}) km$
答案
B
解析
【分析】
首先根据CD垂直海岸线l，结合A处的方位角可知△ACD是等腰直角三角形，可得CD=AD；再根据B处的方位角求出∠BCD=22.5°，利用锐角三角函数表示出BD与CD的关系，结合AD=AB+BD建立方程求解即可。
【解析】
解：
∵CD⊥l，从A测得C在北偏东45°方向，
∴∠CAD=90°-45°=45°，△ACD为等腰直角三角形，
∴CD=AD。
设CD的长为$ x\ \mathrm{km} $，则$ AD=x\ \mathrm{km} $，$ BD=AD-AB=(x-2)\ \mathrm{km} $。
∵从B测得C在北偏东22.5°方向，
∴∠CBD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠BCD=90°-∠CBD=22.5°。
在Rt△BCD中，$ \tan∠ BCD=\frac{BD}{CD} $，且$ \tan22.5°=\sqrt{2}-1 $，
代入得：$ \sqrt{2}-1=\frac{x-2}{x} $
整理得：$ (\sqrt{2}-1)x=x-2 $
移项合并得：$ x(2-\sqrt{2})=2 $
分母有理化计算：$ x=\frac{2}{2-\sqrt{2}}=\frac{2(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=2+\sqrt{2} $
即CD的长为$ (2+\sqrt{2})\ \mathrm{km} $。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的方位角应用；等腰直角三角形的性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是方位角与解直角三角形结合的典型题型，解题核心是根据方位角得到直角三角形内角度数，再利用特殊直角三角形的边的关系建立方程求解，需要熟练掌握特殊角的三角函数值及分母有理化的运算方法。
【难度系数】
0.65
首先根据CD垂直海岸线l，结合A处的方位角可知△ACD是等腰直角三角形，可得CD=AD；再根据B处的方位角求出∠BCD=22.5°，利用锐角三角函数表示出BD与CD的关系，结合AD=AB+BD建立方程求解即可。
【解析】
解：
∵CD⊥l，从A测得C在北偏东45°方向，
∴∠CAD=90°-45°=45°，△ACD为等腰直角三角形，
∴CD=AD。
设CD的长为$ x\ \mathrm{km} $，则$ AD=x\ \mathrm{km} $，$ BD=AD-AB=(x-2)\ \mathrm{km} $。
∵从B测得C在北偏东22.5°方向，
∴∠CBD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠BCD=90°-∠CBD=22.5°。
在Rt△BCD中，$ \tan∠ BCD=\frac{BD}{CD} $，且$ \tan22.5°=\sqrt{2}-1 $，
代入得：$ \sqrt{2}-1=\frac{x-2}{x} $
整理得：$ (\sqrt{2}-1)x=x-2 $
移项合并得：$ x(2-\sqrt{2})=2 $
分母有理化计算：$ x=\frac{2}{2-\sqrt{2}}=\frac{2(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=2+\sqrt{2} $
即CD的长为$ (2+\sqrt{2})\ \mathrm{km} $。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的方位角应用；等腰直角三角形的性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是方位角与解直角三角形结合的典型题型，解题核心是根据方位角得到直角三角形内角度数，再利用特殊直角三角形的边的关系建立方程求解，需要熟练掌握特殊角的三角函数值及分母有理化的运算方法。
【难度系数】
0.65
10. 如图8,二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象的一部分与$x$轴的一个交点坐标为$(3,0)$,对称轴为直线$x=1$,结合图象给出下列结论:
①$abc＞0$;②$b=2a$;③$3a+c=0$;④关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c+k^2=0(a≠0)$有两个不相等的实数根;⑤若点$(m,y_1),(-m+2,y_2)$均在该二次函数图象上,则$y_1=y_2$.其中正确结论的个数是 ()
A.4
B.3
C.2
D.1
①$abc＞0$;②$b=2a$;③$3a+c=0$;④关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c+k^2=0(a≠0)$有两个不相等的实数根;⑤若点$(m,y_1),(-m+2,y_2)$均在该二次函数图象上,则$y_1=y_2$.其中正确结论的个数是 ()
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
B
解析
【分析】
首先从二次函数图像提取核心信息：①开口向上可判断a的符号；②结合对称轴公式可推导b与a的关系；③利用抛物线的对称性，结合已知的x轴交点坐标求出另一个交点坐标；④由与y轴交点位置判断c的符号。再根据推导得到的系数关系、二次函数的对称性、一元二次方程判别式的性质，逐个验证5个结论的正误，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
解：由图像可得已知条件：
1. 抛物线开口向上，因此$a＞0$；
2. 对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，化简得$b=-2a$，结合$a＞0$可得$b＜0$；
3. 抛物线与y轴交于负半轴，因此$c＜0$；
4. 抛物线与x轴一个交点为$(3,0)$，对称轴为$x=1$，由对称性可得另一个交点横坐标为$1-(3-1)=-1$，即交点为$(-1,0)$，代入解析式得$a×(-1)^2 + b×(-1) + c=0$，即$a-b+c=0$。
逐个判断结论：
①$abc＞0$：$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，则$abc=正数×负数×负数=正数$，①正确；
②$b=2a$：由对称轴推导得$b=-2a$，②错误；
③$3a+c=0$：将$b=-2a$代入$a-b+c=0$，得$a - (-2a) + c=3a + c=0$，③正确；
④方程$ax^2+bx+c+k^2=0$的判别式$\Delta=b^2-4a(c+k^2)=(b^2-4ac)-4ak^2$，原抛物线与x轴有两个交点，故$b^2-4ac＞0$，但当$k^2＞\frac{b^2-4ac}{4a}$时，$\Delta＜0$，方程无实根，④错误；
⑤点$(m,y_1)$和$(-m+2,y_2)$的横坐标中点为$\frac{m + (-m+2)}{2}=1$，即两点关于对称轴$x=1$对称，因此$y_1=y_2$，⑤正确。
综上，正确的结论为①③⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像与性质；二次函数对称性；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数图像与系数的关系，需要熟练掌握二次函数开口、对称轴、与坐标轴交点的性质，结合对称性、一元二次方程判别式等知识逐一判断结论，解题的关键是从图像中提取有效信息，推导各系数之间的关系。
【难度系数】
0.6
首先从二次函数图像提取核心信息：①开口向上可判断a的符号；②结合对称轴公式可推导b与a的关系；③利用抛物线的对称性，结合已知的x轴交点坐标求出另一个交点坐标；④由与y轴交点位置判断c的符号。再根据推导得到的系数关系、二次函数的对称性、一元二次方程判别式的性质，逐个验证5个结论的正误，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
解：由图像可得已知条件：
1. 抛物线开口向上，因此$a＞0$；
2. 对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，化简得$b=-2a$，结合$a＞0$可得$b＜0$；
3. 抛物线与y轴交于负半轴，因此$c＜0$；
4. 抛物线与x轴一个交点为$(3,0)$，对称轴为$x=1$，由对称性可得另一个交点横坐标为$1-(3-1)=-1$，即交点为$(-1,0)$，代入解析式得$a×(-1)^2 + b×(-1) + c=0$，即$a-b+c=0$。
逐个判断结论：
①$abc＞0$：$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，则$abc=正数×负数×负数=正数$，①正确；
②$b=2a$：由对称轴推导得$b=-2a$，②错误；
③$3a+c=0$：将$b=-2a$代入$a-b+c=0$，得$a - (-2a) + c=3a + c=0$，③正确；
④方程$ax^2+bx+c+k^2=0$的判别式$\Delta=b^2-4a(c+k^2)=(b^2-4ac)-4ak^2$，原抛物线与x轴有两个交点，故$b^2-4ac＞0$，但当$k^2＞\frac{b^2-4ac}{4a}$时，$\Delta＜0$，方程无实根，④错误；
⑤点$(m,y_1)$和$(-m+2,y_2)$的横坐标中点为$\frac{m + (-m+2)}{2}=1$，即两点关于对称轴$x=1$对称，因此$y_1=y_2$，⑤正确。
综上，正确的结论为①③⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像与性质；二次函数对称性；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数图像与系数的关系，需要熟练掌握二次函数开口、对称轴、与坐标轴交点的性质，结合对称性、一元二次方程判别式等知识逐一判断结论，解题的关键是从图像中提取有效信息，推导各系数之间的关系。
【难度系数】
0.6
