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二、填空题(每小题3分,共15分)
11.如图9,已知点A,C,D,B在$\odot O$上,$AC=BC$,$∠ ACB=90°$.若$CD=a$,$\tan∠ CBD=\dfrac{1}{3}$,则$AD$的长是.
11.如图9,已知点A,C,D,B在$\odot O$上,$AC=BC$,$∠ ACB=90°$.若$CD=a$,$\tan∠ CBD=\dfrac{1}{3}$,则$AD$的长是.
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{2}a}$
解析
【分析】
首先结合已知条件∠ACB=90°、AC=BC，可知△ACB为等腰直角三角形，再利用圆周角定理可得同弧所对的圆周角相等。解题时先构造辅助线：过C作CE⊥CD交AD于E，可证△ACE与△BCD全等，得到CE=CD，推出△CDE为等腰直角三角形，求出DE的长度；再作CH⊥AD，结合tan∠CBD=1/3转化为tan∠CAD=1/3，求出AH的长度，最后将AH与DH相加即可得到AD的长。
【解析】
解：过点C作$CE ⊥ CD$交AD于点E，过点C作$CH ⊥ AD$于点H。
1. 证明三角形全等：
$\because ∠ ACB = ∠ DCE = 90°$
$\therefore ∠ ACB - ∠ ECB = ∠ DCE - ∠ ECB$，即$∠ ACE = ∠ BCD$
$\because$ 同弧$CD$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ CAE = ∠ CBD$
又$\because AC = BC$
$\therefore △ ACE ≌ △ BCD$（ASA）
$\therefore CE = CD = a$
2. 求等腰直角$△ CDE$的相关线段：
$\because CE ⊥ CD, CE = CD = a$
$\therefore △ CDE$是等腰直角三角形，$\therefore DE = \sqrt{CD^2 + CE^2} = \sqrt{2}a$
$\because CH ⊥ AD$，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
$\therefore CH = EH = DH = \frac{DE}{2} = \frac{\sqrt{2}a}{2}$
3. 利用三角函数求AH：
$\because ∠ CAD = ∠ CBD$（同弧$CD$所对圆周角相等）
$\therefore \tan∠ CAD = \tan∠ CBD = \frac{1}{3}$
在$Rt△ ACH$中，$\tan∠ CAD = \frac{CH}{AH} = \frac{1}{3}$
$\therefore AH = 3CH = 3 × \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{3\sqrt{2}a}{2}$
4. 计算AD的长度：
$AD = AH + DH = \frac{3\sqrt{2}a}{2} + \frac{\sqrt{2}a}{2} = 2\sqrt{2}a$
【答案】
$\boldsymbol{2\sqrt{2}a}$
【知识点】
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；解直角三角形
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，核心是通过构造全等三角形实现线段的转化，结合锐角三角函数和等腰直角三角形的性质求解，对辅助线构造能力有一定要求，是圆综合类的典型考题。
【难度系数】
0.6
首先结合已知条件∠ACB=90°、AC=BC，可知△ACB为等腰直角三角形，再利用圆周角定理可得同弧所对的圆周角相等。解题时先构造辅助线：过C作CE⊥CD交AD于E，可证△ACE与△BCD全等，得到CE=CD，推出△CDE为等腰直角三角形，求出DE的长度；再作CH⊥AD，结合tan∠CBD=1/3转化为tan∠CAD=1/3，求出AH的长度，最后将AH与DH相加即可得到AD的长。
【解析】
解：过点C作$CE ⊥ CD$交AD于点E，过点C作$CH ⊥ AD$于点H。
1. 证明三角形全等：
$\because ∠ ACB = ∠ DCE = 90°$
$\therefore ∠ ACB - ∠ ECB = ∠ DCE - ∠ ECB$，即$∠ ACE = ∠ BCD$
$\because$ 同弧$CD$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ CAE = ∠ CBD$
又$\because AC = BC$
$\therefore △ ACE ≌ △ BCD$（ASA）
$\therefore CE = CD = a$
2. 求等腰直角$△ CDE$的相关线段：
$\because CE ⊥ CD, CE = CD = a$
$\therefore △ CDE$是等腰直角三角形，$\therefore DE = \sqrt{CD^2 + CE^2} = \sqrt{2}a$
$\because CH ⊥ AD$，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
$\therefore CH = EH = DH = \frac{DE}{2} = \frac{\sqrt{2}a}{2}$
3. 利用三角函数求AH：
$\because ∠ CAD = ∠ CBD$（同弧$CD$所对圆周角相等）
$\therefore \tan∠ CAD = \tan∠ CBD = \frac{1}{3}$
在$Rt△ ACH$中，$\tan∠ CAD = \frac{CH}{AH} = \frac{1}{3}$
$\therefore AH = 3CH = 3 × \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{3\sqrt{2}a}{2}$
4. 计算AD的长度：
$AD = AH + DH = \frac{3\sqrt{2}a}{2} + \frac{\sqrt{2}a}{2} = 2\sqrt{2}a$
【答案】
$\boldsymbol{2\sqrt{2}a}$
【知识点】
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；解直角三角形
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，核心是通过构造全等三角形实现线段的转化，结合锐角三角函数和等腰直角三角形的性质求解，对辅助线构造能力有一定要求，是圆综合类的典型考题。
【难度系数】
0.6
12. 函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象经过点$P(a+1,4)$，则$a=$。
答案
$\boldsymbol{-3}$
解析
【分析】
解题的核心依据是“函数图象上任意一点的坐标都满足该函数的解析式”。已知反比例函数解析式和图象上点P的坐标，只需将点P的横、纵坐标分别代入解析式对应的x、y，即可得到关于a的一元一次方程，求解方程就能得到a的值，最后验证分母不为0即可。
【解析】
解：
∵ 函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象经过点$P(a+1,4)$
∴ 将$x=a+1$，$y=4$代入函数解析式，得：
$4=-\dfrac{8}{a+1}$
方程两边同乘$(a+1)$（$a+1≠0$），得：
$4(a+1)=-8$
两边同时除以4，得：
$a+1=-2$
移项解得：$a=-3$
验证：当$a=-3$时，$a+1=-2≠0$，符合题意。
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，考查代入法求参数的思路，只要掌握函数图象上的点与函数解析式的对应关系，即可快速求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
解题的核心依据是“函数图象上任意一点的坐标都满足该函数的解析式”。已知反比例函数解析式和图象上点P的坐标，只需将点P的横、纵坐标分别代入解析式对应的x、y，即可得到关于a的一元一次方程，求解方程就能得到a的值，最后验证分母不为0即可。
【解析】
解：
∵ 函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象经过点$P(a+1,4)$
∴ 将$x=a+1$，$y=4$代入函数解析式，得：
$4=-\dfrac{8}{a+1}$
方程两边同乘$(a+1)$（$a+1≠0$），得：
$4(a+1)=-8$
两边同时除以4，得：
$a+1=-2$
移项解得：$a=-3$
验证：当$a=-3$时，$a+1=-2≠0$，符合题意。
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，考查代入法求参数的思路，只要掌握函数图象上的点与函数解析式的对应关系，即可快速求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
13. 如图10，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆. 若$∠ A=80°$, 则$∠ BOC$的度数为 ______°.
答案
$\boldsymbol{130}$
解析
【分析】
解题时首先明确内切圆的圆心是三角形的内心，内心是三角形三个内角的角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB。先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再求出两个角一半的和，最后在△BOC中再次应用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O是△ABC的内心，即OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ A=80°$，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-80°=100°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×100°=50°$。
在△BOC中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-50°=130°$。
【答案】
$\boldsymbol{130}$
【知识点】
三角形内心性质，角平分线定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础常考题，解题核心是掌握三角形内心的定义和性质，结合三角形内角和定理即可快速求解，计算难度低。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确内切圆的圆心是三角形的内心，内心是三角形三个内角的角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB。先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再求出两个角一半的和，最后在△BOC中再次应用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O是△ABC的内心，即OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ A=80°$，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-80°=100°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×100°=50°$。
在△BOC中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-50°=130°$。
【答案】
$\boldsymbol{130}$
【知识点】
三角形内心性质，角平分线定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础常考题，解题核心是掌握三角形内心的定义和性质，结合三角形内角和定理即可快速求解，计算难度低。
【难度系数】
0.8
14. 如图11,已知点A,B分别在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0),y=\frac{-4}{x}(x＞0)$的图象上,$OA⊥OB$.若$\tan∠ABO=\frac{1}{2}$,则$k=$.
答案
$\boldsymbol{-1？不对，验证后正确结果为1，最终填1}$
$\boldsymbol{1}$
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
遇到反比例函数图像上的点与原点连线垂直的问题，通常采用构造“K型”相似三角形的方法求解：第一步，过点A、B分别作x轴的垂线，利用同角的余角相等证明两个直角三角形相似；第二步，结合$\tan∠ ABO=\frac{1}{2}$得到相似三角形的相似比；第三步，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合反比例函数$k$的几何意义求出$|k|$，最后根据点A所在象限确定$k$的符号。
【解析】
解：过点A作$AM⊥ x$轴于点M，过点B作$BN⊥ x$轴于点N。
$\therefore ∠ AMO=∠ ONB=90°$，则$∠ OAM+∠ AOM=90°$。
$\because OA⊥ OB$，$\therefore ∠ AOM+∠ BON=90°$，
$\therefore ∠ OAM=∠ BON$，$\therefore △ AOM∽△ OBN$。
在$Rt△ AOB$中，$\tan∠ ABO=\frac{OA}{OB}=\frac{1}{2}$，即$△ AOM$与$△ OBN$的相似比为$\frac{1}{2}$，
$\therefore$两个三角形的面积比为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
由反比例函数$k$的几何意义得：$S_{△ OBN}=\frac{1}{2}×|-4|=2$，$S_{△ AOM}=\frac{1}{2}|k|$，
$\therefore \frac{\frac{1}{2}|k|}{2}=\frac{1}{4}$，解得$|k|=1$。
$\because$点A在第一象限，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图像在第一象限，$\therefore k＞0$，即$k=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，核心考点是构造K型相似转化线段比例关系，结合反比例函数$k$的几何意义求解，是这类综合题的典型考法，需要熟练掌握构造相似的辅助线做法。
【难度系数】
0.6
遇到反比例函数图像上的点与原点连线垂直的问题，通常采用构造“K型”相似三角形的方法求解：第一步，过点A、B分别作x轴的垂线，利用同角的余角相等证明两个直角三角形相似；第二步，结合$\tan∠ ABO=\frac{1}{2}$得到相似三角形的相似比；第三步，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合反比例函数$k$的几何意义求出$|k|$，最后根据点A所在象限确定$k$的符号。
【解析】
解：过点A作$AM⊥ x$轴于点M，过点B作$BN⊥ x$轴于点N。
$\therefore ∠ AMO=∠ ONB=90°$，则$∠ OAM+∠ AOM=90°$。
$\because OA⊥ OB$，$\therefore ∠ AOM+∠ BON=90°$，
$\therefore ∠ OAM=∠ BON$，$\therefore △ AOM∽△ OBN$。
在$Rt△ AOB$中，$\tan∠ ABO=\frac{OA}{OB}=\frac{1}{2}$，即$△ AOM$与$△ OBN$的相似比为$\frac{1}{2}$，
$\therefore$两个三角形的面积比为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
由反比例函数$k$的几何意义得：$S_{△ OBN}=\frac{1}{2}×|-4|=2$，$S_{△ AOM}=\frac{1}{2}|k|$，
$\therefore \frac{\frac{1}{2}|k|}{2}=\frac{1}{4}$，解得$|k|=1$。
$\because$点A在第一象限，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图像在第一象限，$\therefore k＞0$，即$k=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，核心考点是构造K型相似转化线段比例关系，结合反比例函数$k$的几何意义求解，是这类综合题的典型考法，需要熟练掌握构造相似的辅助线做法。
【难度系数】
0.6
15. 如图12,在矩形$ABCD$中,点$E$是$AD$的中点,点$F$是$CD$上一点,连接$BE$,$BF$,$EF$.若$∠ BEF=90°$,$\dfrac{EF}{BE}=\dfrac{2}{3}$,则$\dfrac{CF}{DF}$的值为.
答案
$\boldsymbol{\dfrac{5}{4}}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：矩形ABCD中存在多个直角，结合∠BEF=90°，可通过“同角的余角相等”推导得到∠ABE=∠DEF，进而判定△ABE与△DEF相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合E是AD中点的条件，设参数表示出AB、DF的长度，最后根据矩形对边相等得到CD的长度，求出CF后即可计算CF与DF的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD。
∵∠BEF=90°，
∴∠AEB + ∠DEF=180°-∠BEF=90°。
又
∵在Rt△ABE中，∠AEB + ∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
∴△ABE∽△DEF（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AE}=\frac{EF}{BE}=\frac{2}{3}$。
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，设AE=DE=a，
代入比例得：$\frac{a}{AB}=\frac{2}{3}$，解得$AB=\frac{3a}{2}$，即$CD=AB=\frac{3a}{2}$；
$\frac{DF}{a}=\frac{2}{3}$，解得$DF=\frac{2a}{3}$。
∴$CF=CD-DF=\frac{3a}{2}-\frac{2a}{3}=\frac{5a}{6}$，
∴$\frac{CF}{DF}=\frac{\frac{5a}{6}}{\frac{2a}{3}}=\frac{5}{4}$。
【答案】
$\dfrac{5}{4}$
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，核心是通过角的等量关系证明相似三角形，结合设参数的方法简化比值计算，解题时要注意相似三角形对应边的对应关系，避免比例写错导致计算错误。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件出发：矩形ABCD中存在多个直角，结合∠BEF=90°，可通过“同角的余角相等”推导得到∠ABE=∠DEF，进而判定△ABE与△DEF相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合E是AD中点的条件，设参数表示出AB、DF的长度，最后根据矩形对边相等得到CD的长度，求出CF后即可计算CF与DF的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD。
∵∠BEF=90°，
∴∠AEB + ∠DEF=180°-∠BEF=90°。
又
∵在Rt△ABE中，∠AEB + ∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
∴△ABE∽△DEF（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AE}=\frac{EF}{BE}=\frac{2}{3}$。
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，设AE=DE=a，
代入比例得：$\frac{a}{AB}=\frac{2}{3}$，解得$AB=\frac{3a}{2}$，即$CD=AB=\frac{3a}{2}$；
$\frac{DF}{a}=\frac{2}{3}$，解得$DF=\frac{2a}{3}$。
∴$CF=CD-DF=\frac{3a}{2}-\frac{2a}{3}=\frac{5a}{6}$，
∴$\frac{CF}{DF}=\frac{\frac{5a}{6}}{\frac{2a}{3}}=\frac{5}{4}$。
【答案】
$\dfrac{5}{4}$
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，核心是通过角的等量关系证明相似三角形，结合设参数的方法简化比值计算，解题时要注意相似三角形对应边的对应关系，避免比例写错导致计算错误。
【难度系数】
0.6
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16. (8分)解下列方程:
(1)$x^2 -4x -45=0$;
(2)$x(x+4)=-3x-12$.
16. (8分)解下列方程:
(1)$x^2 -4x -45=0$;
(2)$x(x+4)=-3x-12$.
答案
解：
(1) 对$x^2 -4x -45=0$分解因式，得
$(x-9)(x+5)=0$
$\therefore x-9=0$ 或 $x+5=0$
解得 $x_1=9$，$x_2=-5$
(2) 对$x(x+4)=-3x-12$移项，得
$x(x+4)+3x+12=0$
整理得 $x(x+4)+3(x+4)=0$
提取公因式，得 $(x+4)(x+3)=0$
$\therefore x+4=0$ 或 $x+3=0$
解得 $x_1=-4$，$x_2=-3$
(1) 对$x^2 -4x -45=0$分解因式，得
$(x-9)(x+5)=0$
$\therefore x-9=0$ 或 $x+5=0$
解得 $x_1=9$，$x_2=-5$
(2) 对$x(x+4)=-3x-12$移项，得
$x(x+4)+3x+12=0$
整理得 $x(x+4)+3(x+4)=0$
提取公因式，得 $(x+4)(x+3)=0$
$\therefore x+4=0$ 或 $x+3=0$
解得 $x_1=-4$，$x_2=-3$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，优先选用简便的因式分解法解题。第(1)题方程左侧是二次三项式，可通过十字相乘法分解因式，转化为两个一次式乘积为0的形式，再分别求解两个一次方程即可；第(2)题注意不要直接两边除以含未知数的整式（会导致漏根），先将右侧的项移到左侧，再分组提取公因式$(x+4)$，同样转化为乘积为0的形式求解。
【解析】
(1) 对$x^2 -4x -45=0$分解因式，得
$(x-9)(x+5)=0$
$\therefore x-9=0$ 或 $x+5=0$
解得 $x_1=9$，$x_2=-5$
(2) 对$x(x+4)=-3x-12$移项，得
$x(x+4)+3x+12=0$
整理得 $x(x+4)+3(x+4)=0$
提取公因式，得 $(x+4)(x+3)=0$
$\therefore x+4=0$ 或 $x+3=0$
解得 $x_1=-4$，$x_2=-3$
【答案】
(1) $x_1=9$，$x_2=-5$；(2) $x_1=-4$，$x_2=-3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；十字相乘法分解因式；提公因式法分解因式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，熟练掌握因式分解法的解题步骤可大幅提升解题效率，解题时需注意不要随意在方程两边除以含有未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.85
本题考查一元二次方程的求解，优先选用简便的因式分解法解题。第(1)题方程左侧是二次三项式，可通过十字相乘法分解因式，转化为两个一次式乘积为0的形式，再分别求解两个一次方程即可；第(2)题注意不要直接两边除以含未知数的整式（会导致漏根），先将右侧的项移到左侧，再分组提取公因式$(x+4)$，同样转化为乘积为0的形式求解。
【解析】
(1) 对$x^2 -4x -45=0$分解因式，得
$(x-9)(x+5)=0$
$\therefore x-9=0$ 或 $x+5=0$
解得 $x_1=9$，$x_2=-5$
(2) 对$x(x+4)=-3x-12$移项，得
$x(x+4)+3x+12=0$
整理得 $x(x+4)+3(x+4)=0$
提取公因式，得 $(x+4)(x+3)=0$
$\therefore x+4=0$ 或 $x+3=0$
解得 $x_1=-4$，$x_2=-3$
【答案】
(1) $x_1=9$，$x_2=-5$；(2) $x_1=-4$，$x_2=-3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；十字相乘法分解因式；提公因式法分解因式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，熟练掌握因式分解法的解题步骤可大幅提升解题效率，解题时需注意不要随意在方程两边除以含有未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.85
