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13. (2025·南京)如图11,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,CD是边AB上的高,$\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$,则$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}}$的值是.
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{5}}$
解析
【分析】
遇到直角三角形斜边上的高的图形，首先想到“母子相似”模型：Rt△ACD∽Rt△CBD∽Rt△ABC，也可直接用射影定理得到线段乘积关系。已知AD与CD的比值，我们可以设参数表示两条线段的长度，先通过射影定理求出BD的长度，进而得到AB的总长度；由于△ACD和△ABC都以CD为高，底都在AB上，根据“同高的两个三角形面积比等于底的比”，即可直接求出面积比值。
【解析】
解：
∵ ∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴ 由射影定理可得：$CD^2 = AD·BD$。
设$AD = k$（$k＞0$），由$\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$得$CD=2k$，
代入射影定理公式：$(2k)^2 = k·BD$，
化简得$4k^2 = k·BD$，解得$BD=4k$，
∴ 斜边$AB = AD + BD = k + 4k = 5k$。
∵ $S_{△ACD} = \frac{1}{2} × AD × CD$，$S_{△ABC} = \frac{1}{2} × AB × CD$，
∴ $\frac{S_{△ACD}}{S_{△ABC}} = \frac{\frac{1}{2} × AD × CD}{\frac{1}{2} × AB × CD} = \frac{AD}{AB} = \frac{k}{5k} = \frac{1}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{5}}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 射影定理
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是直角三角形中比例计算的典型基础题，解题核心是识别斜边上的高构成的母子相似模型，灵活运用线段关系简化计算，掌握模型就能快速求解。
【难度系数】
0.7
遇到直角三角形斜边上的高的图形，首先想到“母子相似”模型：Rt△ACD∽Rt△CBD∽Rt△ABC，也可直接用射影定理得到线段乘积关系。已知AD与CD的比值，我们可以设参数表示两条线段的长度，先通过射影定理求出BD的长度，进而得到AB的总长度；由于△ACD和△ABC都以CD为高，底都在AB上，根据“同高的两个三角形面积比等于底的比”，即可直接求出面积比值。
【解析】
解：
∵ ∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴ 由射影定理可得：$CD^2 = AD·BD$。
设$AD = k$（$k＞0$），由$\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$得$CD=2k$，
代入射影定理公式：$(2k)^2 = k·BD$，
化简得$4k^2 = k·BD$，解得$BD=4k$，
∴ 斜边$AB = AD + BD = k + 4k = 5k$。
∵ $S_{△ACD} = \frac{1}{2} × AD × CD$，$S_{△ABC} = \frac{1}{2} × AB × CD$，
∴ $\frac{S_{△ACD}}{S_{△ABC}} = \frac{\frac{1}{2} × AD × CD}{\frac{1}{2} × AB × CD} = \frac{AD}{AB} = \frac{k}{5k} = \frac{1}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{5}}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 射影定理
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是直角三角形中比例计算的典型基础题，解题核心是识别斜边上的高构成的母子相似模型，灵活运用线段关系简化计算，掌握模型就能快速求解。
【难度系数】
0.7
14. 如图12①是三星堆遗址出土的陶盉(hè)，图12②是其示意图.已知管状短流AB=2 cm，四边形BCDE是器身，BE//CD，BC=DE=11 cm，∠ABE=120°，∠CBE=80°.器身底部CD距地面的高度为21.5 cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为 cm.（结果精确到0.1 cm.参考数据：sin80°≈0.984 8，cos80°≈0.173 6，tan80°≈5.671 3，$\sqrt{3}$≈1.732）
答案
$\boldsymbol{34.1}$
解析
【分析】
要计算管状短流口A距地面的高度，可将总高度拆分为三部分求解：①A点到水平线BE的竖直高度；②B点到水平线CD的竖直高度；③CD到地面的已知高度21.5cm。首先根据已知角度确定AB、BC与水平方向的夹角，再通过锐角三角函数分别求出两段的竖直分量，最后将三部分高度相加即可得到结果。
【解析】
解：过点A作AF⊥BE，交EB的延长线于点F，过点C作CG⊥BE于点G。
∵ BE//CD，CD沿水平方向，
∴ BE为水平线。
1. 求A到BE的竖直高度AF：
已知∠ABE=120°，则∠ABF=180°-120°=60°，
在Rt△ABF中，AB=2cm，
$AF=AB·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\approx1.732\ \mathrm{cm}$。
2. 求B到CD的竖直高度CG：
已知∠CBE=80°，在Rt△BCG中，BC=11cm，
$CG=BC·\sin80°\approx11×0.9848\approx10.8328\ \mathrm{cm}$。
3. 计算A距地面的总高度：
总高度$=AF+CG+21.5\approx1.732+10.8328+21.5\approx34.1\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{34.1}$
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数计算
【点评】
本题结合实物模型考查解直角三角形的实际应用，解题核心是将实际高度问题转化为直角三角形边长求解问题，通过拆分竖直分量简化计算，考查了数学建模的应用能力。
【难度系数】
0.65
要计算管状短流口A距地面的高度，可将总高度拆分为三部分求解：①A点到水平线BE的竖直高度；②B点到水平线CD的竖直高度；③CD到地面的已知高度21.5cm。首先根据已知角度确定AB、BC与水平方向的夹角，再通过锐角三角函数分别求出两段的竖直分量，最后将三部分高度相加即可得到结果。
【解析】
解：过点A作AF⊥BE，交EB的延长线于点F，过点C作CG⊥BE于点G。
∵ BE//CD，CD沿水平方向，
∴ BE为水平线。
1. 求A到BE的竖直高度AF：
已知∠ABE=120°，则∠ABF=180°-120°=60°，
在Rt△ABF中，AB=2cm，
$AF=AB·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\approx1.732\ \mathrm{cm}$。
2. 求B到CD的竖直高度CG：
已知∠CBE=80°，在Rt△BCG中，BC=11cm，
$CG=BC·\sin80°\approx11×0.9848\approx10.8328\ \mathrm{cm}$。
3. 计算A距地面的总高度：
总高度$=AF+CG+21.5\approx1.732+10.8328+21.5\approx34.1\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{34.1}$
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数计算
【点评】
本题结合实物模型考查解直角三角形的实际应用，解题核心是将实际高度问题转化为直角三角形边长求解问题，通过拆分竖直分量简化计算，考查了数学建模的应用能力。
【难度系数】
0.65
15. (2025·宿迁)如图13,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=4$,$BC=3$,点$D$在边$AB$上,过点$A$作$AE ⊥ CD$,垂足为点$E$,则$\frac{CD}{DE}$的最小值是.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
我们可以通过建立平面直角坐标系将几何问题转化为代数问题求解：首先根据已知直角三角形的边长写出各点坐标，设出点D的参数坐标，再利用勾股定理、三角形面积关系将$\frac{CD}{DE}$转化为关于参数的代数式，最后通过一元二次方程判别式求代数式的最小值即可。
【解析】
以点C为原点，AC所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则$C(0,0)$，$A(4,0)$，$B(0,3)$。
直线AB的解析式为$y=-\frac{3}{4}x+3$，设点D的坐标为$(4t,3-3t)$（$0＜t＜1$）：
1. 计算$CD^2=(4t)^2+(3-3t)^2=25t^2-18t+9$；
2. 由勾股定理得$AD=\sqrt{(4-4t)^2+(3t-3)^2}=5(1-t)$；
3. 利用$△ ACD$的面积关系：$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· AC· y_D=\frac{1}{2}· CD· AE$，代入得$AE=\frac{12(1-t)}{CD}$；
4. 在$Rt△ AED$中，$DE^2=AD^2-AE^2$，代入$AD$和$AE$的表达式，化简得$DE=\frac{(1-t)|25t-9|}{CD}$，因此$\frac{CD}{DE}=\frac{CD^2}{(1-t)|25t-9|}$；
5. 当$t≥\frac{9}{25}$时，$\frac{CD}{DE}=\frac{25t^2-18t+9}{(1-t)(25t-9)}$，设$y=\frac{25t^2-18t+9}{-25t^2+34t-9}$，整理为关于$t$的一元二次方程：
$25(y+1)t^2-(34y+18)t+9(y+1)=0$
因为$t$为实数，所以判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=(34y+18)^2-4×25(y+1)×9(y+1)≥0$
化简得$4y^2-9y-9≥0$，解得$y≥3$或$y≤-\frac{3}{4}$（舍去）；
当$t＜\frac{9}{25}$时，计算可得$\frac{CD}{DE}＞3$。
因此$\frac{CD}{DE}$的最小值为3。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
勾股定理，坐标法求最值，一元二次方程判别式
【点评】
本题是几何与代数结合的综合题，需要灵活运用坐标系转化问题，结合勾股定理、面积关系化简比值表达式，最终通过判别式法求最值，对代数运算和转化思维有一定要求。
【难度系数】
0.3
我们可以通过建立平面直角坐标系将几何问题转化为代数问题求解：首先根据已知直角三角形的边长写出各点坐标，设出点D的参数坐标，再利用勾股定理、三角形面积关系将$\frac{CD}{DE}$转化为关于参数的代数式，最后通过一元二次方程判别式求代数式的最小值即可。
【解析】
以点C为原点，AC所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则$C(0,0)$，$A(4,0)$，$B(0,3)$。
直线AB的解析式为$y=-\frac{3}{4}x+3$，设点D的坐标为$(4t,3-3t)$（$0＜t＜1$）：
1. 计算$CD^2=(4t)^2+(3-3t)^2=25t^2-18t+9$；
2. 由勾股定理得$AD=\sqrt{(4-4t)^2+(3t-3)^2}=5(1-t)$；
3. 利用$△ ACD$的面积关系：$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· AC· y_D=\frac{1}{2}· CD· AE$，代入得$AE=\frac{12(1-t)}{CD}$；
4. 在$Rt△ AED$中，$DE^2=AD^2-AE^2$，代入$AD$和$AE$的表达式，化简得$DE=\frac{(1-t)|25t-9|}{CD}$，因此$\frac{CD}{DE}=\frac{CD^2}{(1-t)|25t-9|}$；
5. 当$t≥\frac{9}{25}$时，$\frac{CD}{DE}=\frac{25t^2-18t+9}{(1-t)(25t-9)}$，设$y=\frac{25t^2-18t+9}{-25t^2+34t-9}$，整理为关于$t$的一元二次方程：
$25(y+1)t^2-(34y+18)t+9(y+1)=0$
因为$t$为实数，所以判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=(34y+18)^2-4×25(y+1)×9(y+1)≥0$
化简得$4y^2-9y-9≥0$，解得$y≥3$或$y≤-\frac{3}{4}$（舍去）；
当$t＜\frac{9}{25}$时，计算可得$\frac{CD}{DE}＞3$。
因此$\frac{CD}{DE}$的最小值为3。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
勾股定理，坐标法求最值，一元二次方程判别式
【点评】
本题是几何与代数结合的综合题，需要灵活运用坐标系转化问题，结合勾股定理、面积关系化简比值表达式，最终通过判别式法求最值，对代数运算和转化思维有一定要求。
【难度系数】
0.3
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16.(8分)如图14,利用标杆DE测量楼高,点A,D,B在同一直线上,DE⊥AC,BC⊥AC,垂足分别为E和C.若测得AE=1 m,DE=1.5 m,CE=5 m,楼高BC是多少?
16.(8分)如图14,利用标杆DE测量楼高,点A,D,B在同一直线上,DE⊥AC,BC⊥AC,垂足分别为E和C.若测得AE=1 m,DE=1.5 m,CE=5 m,楼高BC是多少?
答案
解：
∵ DE⊥AC，BC⊥AC，
∴ DE//BC，
∴ △ADE ∽ △ABC，
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$。
∵ $AC = AE + CE = 1 + 5 = 6\ \mathrm{m}$，$AE=1\ \mathrm{m}$，$DE=1.5\ \mathrm{m}$，
代入得：$\frac{1}{6}=\frac{1.5}{BC}$，
解得 $BC=9\ \mathrm{m}$。
答：楼高BC是9 m。
∵ DE⊥AC，BC⊥AC，
∴ DE//BC，
∴ △ADE ∽ △ABC，
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$。
∵ $AC = AE + CE = 1 + 5 = 6\ \mathrm{m}$，$AE=1\ \mathrm{m}$，$DE=1.5\ \mathrm{m}$，
代入得：$\frac{1}{6}=\frac{1.5}{BC}$，
解得 $BC=9\ \mathrm{m}$。
答：楼高BC是9 m。
解析
【分析】
拿到题目首先梳理已知条件：DE与BC都垂直于AC，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”可推出DE//BC；结合公共角∠A以及两个直角相等，可判定△ADE与△ABC相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出包含所求边长BC的比例式，先计算出AC的总长度，最后代入已知数值求解即可得到楼高BC。
【解析】
∵ DE⊥AC，BC⊥AC，
∴ DE//BC，
∴ △ADE ∽ △ABC，
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$。
∵ $AC = AE + CE = 1 + 5 = 6\ \mathrm{m}$，$AE=1\ \mathrm{m}$，$DE=1.5\ \mathrm{m}$，
代入得：$\frac{1}{6}=\frac{1.5}{BC}$，
解得 $BC=9\ \mathrm{m}$。
【答案】
9 m
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质
2.平行线的判定
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的基础应用，解题核心是通过垂直关系推导平行线，进而证明三角形相似，再利用相似性质列比例式求解，注重对基础知识和实际应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
拿到题目首先梳理已知条件：DE与BC都垂直于AC，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”可推出DE//BC；结合公共角∠A以及两个直角相等，可判定△ADE与△ABC相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出包含所求边长BC的比例式，先计算出AC的总长度，最后代入已知数值求解即可得到楼高BC。
【解析】
∵ DE⊥AC，BC⊥AC，
∴ DE//BC，
∴ △ADE ∽ △ABC，
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$。
∵ $AC = AE + CE = 1 + 5 = 6\ \mathrm{m}$，$AE=1\ \mathrm{m}$，$DE=1.5\ \mathrm{m}$，
代入得：$\frac{1}{6}=\frac{1.5}{BC}$，
解得 $BC=9\ \mathrm{m}$。
【答案】
9 m
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质
2.平行线的判定
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的基础应用，解题核心是通过垂直关系推导平行线，进而证明三角形相似，再利用相似性质列比例式求解，注重对基础知识和实际应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
