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10. 如图4,一次函数$y=x+5$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$(k为常数且$k≠0$)的图象相交于$A(-1,m)$,$B$两点.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)将一次函数$y=x+5$的图象沿$y$轴向下平移$b(b＞0)$个单位长度,使平移后的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象有且只有一个交点,求$b$的值.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)将一次函数$y=x+5$的图象沿$y$轴向下平移$b(b＞0)$个单位长度,使平移后的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象有且只有一个交点,求$b$的值.
答案
解：
(1) ∵点$A(-1, m)$在一次函数$y=x+5$的图象上，
∴将$x=-1$代入$y=x+5$，得$m = -1 + 5 = 4$，
∴点$A$的坐标为$(-1, 4)$。
将$A(-1, 4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{-1}$，
解得$k=-4$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}$。
(2) 一次函数$y=x+5$的图象沿$y$轴向下平移$b(b＞0)$个单位长度后，对应函数解析式为$y = x + 5 - b$。
联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y = x + 5 - b \\y = -\frac{4}{x}\end{cases}$
消去$y$并整理，得$x^2 + (5 - b)x + 4 = 0$。
∵平移后的图象与反比例函数图象有且只有一个交点，
∴该一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，
$\Delta=(5 - b)^2 - 4×1×4 = 0$，
即$(5 - b)^2 = 16$，
解得$b_1=1$，$b_2=9$，均满足$b＞0$。
∴$b$的值为1或9。
(1) ∵点$A(-1, m)$在一次函数$y=x+5$的图象上，
∴将$x=-1$代入$y=x+5$，得$m = -1 + 5 = 4$，
∴点$A$的坐标为$(-1, 4)$。
将$A(-1, 4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{-1}$，
解得$k=-4$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}$。
(2) 一次函数$y=x+5$的图象沿$y$轴向下平移$b(b＞0)$个单位长度后，对应函数解析式为$y = x + 5 - b$。
联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y = x + 5 - b \\y = -\frac{4}{x}\end{cases}$
消去$y$并整理，得$x^2 + (5 - b)x + 4 = 0$。
∵平移后的图象与反比例函数图象有且只有一个交点，
∴该一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，
$\Delta=(5 - b)^2 - 4×1×4 = 0$，
即$(5 - b)^2 = 16$，
解得$b_1=1$，$b_2=9$，均满足$b＞0$。
∴$b$的值为1或9。
解析
【分析】
（1）先利用点A在一次函数图象上的性质，将A点的横坐标代入一次函数解析式求出m的值，得到A点的完整坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式求出k的值，即可得到反比例函数的解析式；
（2）先根据一次函数平移“上加下减”的规律，写出向下平移b个单位后新的一次函数解析式，再将新的一次函数与反比例函数联立，消去y得到关于x的一元二次函数，两个图象只有一个交点等价于该一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0，代入判别式公式求解关于b的方程，结合b＞0的条件即可得到b的取值。
【解析】
(1)
∵点$A(-1, m)$在一次函数$y=x+5$的图象上，
∴将$x=-1$代入$y=x+5$，得$m = -1 + 5 = 4$，
∴点$A$的坐标为$(-1, 4)$。
将$A(-1, 4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{-1}$，
解得$k=-4$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}$。
(2) 一次函数$y=x+5$的图象沿$y$轴向下平移$b(b＞0)$个单位长度后，对应函数解析式为$y = x + 5 - b$。
联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y = x + 5 - b \\y = -\frac{4}{x}\end{cases}$
消去$y$并整理，得$x^2 + (5 - b)x + 4 = 0$。
∵平移后的图象与反比例函数图象有且只有一个交点，
∴该一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，
$\Delta=(5 - b)^2 - 4×1×4 = 0$，
即$(5 - b)^2 = 16$，
解得$b_1=1$，$b_2=9$，均满足$b＞0$。
∴$b$的值为1或9。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{4}{x}$；(2) $1$或$9$
【知识点】
反比例函数解析式求解，一次函数平移规律，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于函数综合基础题，侧重考察基础知识点的融合应用，解题关键是建立函数图象交点和联立方程根的对应关系，整体计算量小，逻辑链条清晰，能够很好的检验学生对函数和方程相关知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7
（1）先利用点A在一次函数图象上的性质，将A点的横坐标代入一次函数解析式求出m的值，得到A点的完整坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式求出k的值，即可得到反比例函数的解析式；
（2）先根据一次函数平移“上加下减”的规律，写出向下平移b个单位后新的一次函数解析式，再将新的一次函数与反比例函数联立，消去y得到关于x的一元二次函数，两个图象只有一个交点等价于该一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0，代入判别式公式求解关于b的方程，结合b＞0的条件即可得到b的取值。
【解析】
(1)
∵点$A(-1, m)$在一次函数$y=x+5$的图象上，
∴将$x=-1$代入$y=x+5$，得$m = -1 + 5 = 4$，
∴点$A$的坐标为$(-1, 4)$。
将$A(-1, 4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{-1}$，
解得$k=-4$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}$。
(2) 一次函数$y=x+5$的图象沿$y$轴向下平移$b(b＞0)$个单位长度后，对应函数解析式为$y = x + 5 - b$。
联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y = x + 5 - b \\y = -\frac{4}{x}\end{cases}$
消去$y$并整理，得$x^2 + (5 - b)x + 4 = 0$。
∵平移后的图象与反比例函数图象有且只有一个交点，
∴该一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，
$\Delta=(5 - b)^2 - 4×1×4 = 0$，
即$(5 - b)^2 = 16$，
解得$b_1=1$，$b_2=9$，均满足$b＞0$。
∴$b$的值为1或9。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{4}{x}$；(2) $1$或$9$
【知识点】
反比例函数解析式求解，一次函数平移规律，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于函数综合基础题，侧重考察基础知识点的融合应用，解题关键是建立函数图象交点和联立方程根的对应关系，整体计算量小，逻辑链条清晰，能够很好的检验学生对函数和方程相关知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7
1.验光师测得一组关于近视眼镜的度数y与镜片焦距x的对应数据如下表,根据表中数据,可得y关于x的函数解析式为（）
A.$y=\dfrac{100}{x}$
B.$y=\dfrac{x}{100}$
C.$y=\dfrac{400}{x}$
D.$y=\dfrac{x}{400}$
A.$y=\dfrac{100}{x}$
B.$y=\dfrac{x}{100}$
C.$y=\dfrac{400}{x}$
D.$y=\dfrac{x}{400}$
答案
A
解析
【分析】
题目给出了近视眼镜度数y和镜片焦距x的多组对应值，选项均为反比例函数形式，说明y与x满足反比例函数关系。解题可从两个思路入手：一是利用待定系数法，先设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，代入任意一组对应值求出k，再用其余数据验证是否符合；二是直接计算每组x与y的乘积，若乘积为固定值，可直接推导得到函数解析式。
【解析】
观察表格中的对应数据，计算每组x与y的乘积：
$200×0.50=100$，
$250×0.40=100$，
$400×0.25=100$，
$500×0.20=100$，
$1000×0.10=100$，
可得x与y的乘积为定值100，即$xy=100$，变形可得函数解析式为$y=\frac{100}{x}$，所有数据均满足该解析式。
也可通过待定系数法验证：设$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，代入$x=0.50,y=200$，得$k=200×0.50=100$，即$y=\frac{100}{x}$，代入其余数据均成立。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数解析式确定；反比例函数实际应用
【点评】
本题属于基础题，考查反比例函数在实际场景中的应用，既可以通过计算xy的定值快速推导解析式，也可以用待定系数法求解，解题时只需注意代入数据验证即可避免出错。
【难度系数】
0.9
题目给出了近视眼镜度数y和镜片焦距x的多组对应值，选项均为反比例函数形式，说明y与x满足反比例函数关系。解题可从两个思路入手：一是利用待定系数法，先设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，代入任意一组对应值求出k，再用其余数据验证是否符合；二是直接计算每组x与y的乘积，若乘积为固定值，可直接推导得到函数解析式。
【解析】
观察表格中的对应数据，计算每组x与y的乘积：
$200×0.50=100$，
$250×0.40=100$，
$400×0.25=100$，
$500×0.20=100$，
$1000×0.10=100$，
可得x与y的乘积为定值100，即$xy=100$，变形可得函数解析式为$y=\frac{100}{x}$，所有数据均满足该解析式。
也可通过待定系数法验证：设$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，代入$x=0.50,y=200$，得$k=200×0.50=100$，即$y=\frac{100}{x}$，代入其余数据均成立。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数解析式确定；反比例函数实际应用
【点评】
本题属于基础题，考查反比例函数在实际场景中的应用，既可以通过计算xy的定值快速推导解析式，也可以用待定系数法求解，解题时只需注意代入数据验证即可避免出错。
【难度系数】
0.9
2. 小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现:阻力×阻力臂=动力×动力臂.现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为2 400 N和1 m,则动力F(单位:N)关于动力臂l(单位:m)的函数图象大致是 ()
答案
解：
由杠杆平衡原理，代入已知条件得：
$2400 × 1 = F · l$
整理得动力F关于动力臂l的函数解析式为：$F=\frac{2400}{l} \ (l＞0)$
该函数是反比例函数，图象为第一象限内双曲线的一支，且当$l=1$时，$F=2400$，符合该特征的图象为选项A。
答：A。
由杠杆平衡原理，代入已知条件得：
$2400 × 1 = F · l$
整理得动力F关于动力臂l的函数解析式为：$F=\frac{2400}{l} \ (l＞0)$
该函数是反比例函数，图象为第一象限内双曲线的一支，且当$l=1$时，$F=2400$，符合该特征的图象为选项A。
答：A。
解析
【分析】
解题时首先结合题目给出的杠杆平衡原理，将已知的阻力、阻力臂代入公式，推导动力F和动力臂l的函数关系，判断函数类型；再结合实际意义确定自变量l的取值范围，最后代入特殊值l=1验证对应的F值，即可匹配到正确的函数图象。
【解析】
根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，将阻力2400N、阻力臂1m代入得：
$2400 × 1 = F · l$
整理可得动力F关于动力臂l的函数解析式：$F=\frac{2400}{l}$，其中动力臂长度为正数，即$l＞0$。
该函数是反比例函数，图象为第一象限内的双曲线的一支，且当$l=1\mathrm{m}$时，$F=2400\mathrm{N}$，符合该特征的只有选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象与性质；自变量取值范围
【点评】
本题结合物理学科的杠杆平衡原理考查反比例函数的实际应用，解题核心是先根据等量关系求出函数解析式，再结合自变量的实际取值范围和函数性质判断图象，体现了跨学科知识结合的考查方向。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合题目给出的杠杆平衡原理，将已知的阻力、阻力臂代入公式，推导动力F和动力臂l的函数关系，判断函数类型；再结合实际意义确定自变量l的取值范围，最后代入特殊值l=1验证对应的F值，即可匹配到正确的函数图象。
【解析】
根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，将阻力2400N、阻力臂1m代入得：
$2400 × 1 = F · l$
整理可得动力F关于动力臂l的函数解析式：$F=\frac{2400}{l}$，其中动力臂长度为正数，即$l＞0$。
该函数是反比例函数，图象为第一象限内的双曲线的一支，且当$l=1\mathrm{m}$时，$F=2400\mathrm{N}$，符合该特征的只有选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象与性质；自变量取值范围
【点评】
本题结合物理学科的杠杆平衡原理考查反比例函数的实际应用，解题核心是先根据等量关系求出函数解析式，再结合自变量的实际取值范围和函数性质判断图象，体现了跨学科知识结合的考查方向。
【难度系数】
0.7
