6.若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$(-1,-2)$，则$k$的值为.

$\boldsymbol{2}$

【分析】
已知点在反比例函数的图象上，根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，我们可以将点的横、纵坐标代入反比例函数表达式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$(-1,-2)$
∴ 将$x=-1$，$y=-2$代入$y=\frac{k}{x}$，可得：
$-2=\frac{k}{-1}$
解得：$k=(-2)×(-1)=2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
反比例函数点坐标特征、一元一次方程求解
【点评】
本题是基础题型，主要考查反比例函数图象上的点与函数解析式的对应关系，计算量小，解题时注意避免符号运算错误即可轻松得分。
【难度系数】
0.9

7. 如果反比例函数$y=\dfrac{m-1}{x}$（$m$是常数，$m≠1$）的图象在每个象限内都有$y$随着$x$的增大而减小，那么$m$的取值范围是.

$\boldsymbol{m＞1}$

【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的增减性规律：反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k≠0$）的增减性由比例系数$k$的符号决定：当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。本题给出函数在每个象限内$y$随$x$增大而减小，因此只需让该函数的比例系数大于0，列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），其增减性规律为：
① 当$k＞0$时，函数图象在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；
② 当$k＜0$时，函数图象在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
已知本题中反比例函数$y=\dfrac{m-1}{x}$的图象在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，因此其比例系数满足：
$m-1＞0$
解这个不等式，得$m＞1$。
【答案】
$m＞1$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，解题关键是明确反比例函数的增减性与比例系数符号的对应关系，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

8. 如图2,已知直线$y=mx$与双曲线$y=\dfrac{k}{x}$的一个交点坐标为$(3,4)$,则它们的另一个交点坐标是.

$\boldsymbol{(-3,-4)}$

【分析】
解题有两种思路：①利用对称性求解：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此二者的交点也关于原点对称，已知一个交点坐标，直接求其关于原点对称的点即可得到另一个交点，该方法更简便；②代入参数联立求解：先将已知交点代入两个函数解析式，求出参数值后联立方程，解方程组即可得到另一个交点坐标。
【解析】
方法一（利用对称性求解）：
∵ 正比例函数$y=mx$和反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象均关于原点中心对称，
∴ 两个函数的交点也关于原点对称，
∵ 关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，已知一个交点为$(3,4)$，
∴ 另一个交点坐标为$(-3,-4)$。
方法二（联立方程求解）：
将$(3,4)$代入$y=mx$得$4=3m$，解得$m=\dfrac{4}{3}$，即直线解析式为$y=\dfrac{4}{3}x$；
将$(3,4)$代入$y=\dfrac{k}{x}$得$4=\dfrac{k}{3}$，解得$k=12$，即双曲线解析式为$y=\dfrac{12}{x}$；
联立两个解析式得$\begin{cases}y=\dfrac{4}{3}x\\y=\dfrac{12}{x}\end{cases}$，消去$y$得$\dfrac{4}{3}x=\dfrac{12}{x}$，整理得$x^2=9$，解得$x=3$或$x=-3$，
当$x=-3$时，$y=\dfrac{4}{3}×(-3)=-4$，即另一个交点为$(-3,-4)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-3,-4)}$
【知识点】
反比例函数的对称性；关于原点对称的点的坐标特征；函数交点求解
【点评】
本题既可以通过联立方程组计算求解，也可以利用函数的中心对称性快速得到答案，熟记函数的对称性质能够简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8

9. 如图3,一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}(x＜0)$的图象相交于$A(-3,n),B(-1,-3)$两点,过点$A$作$AC⊥OP$于点$C$.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求四边形$ABOC$的面积.

解：
(1) 把$B(-1,-3)$代入反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$，得
$-3=\dfrac{m}{-1}$，解得$m=3$，
所以反比例函数的解析式为$y=\dfrac{3}{x}(x＜0)$。
把$A(-3,n)$代入$y=\dfrac{3}{x}$，得
$n=\dfrac{3}{-3}=-1$，
即点$A$的坐标为$(-3,-1)$。
将$A(-3,-1)$，$B(-1,-3)$代入一次函数$y=kx+b$，得
$\begin{cases} -3k + b = -1 \\ -k + b = -3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=-4 \end{cases}$，
所以一次函数的解析式为$y=-x-4$。
(2) 过点$B$作$BD ⊥ x$轴于点$D$，
由$AC ⊥ x$轴，$A(-3,-1)$，得点$C$坐标为$(-3,0)$，
由$B(-1,-3)$，得点$D$坐标为$(-1,0)$。
则$AC=1$，$BD=3$，$CD=-1-(-3)=2$，$OD=1$。
$S_{梯形ACDB}=\dfrac{1}{2}(AC+BD)· CD=\dfrac{1}{2}×(1+3)×2=4$
$S_{△ BDO}=\dfrac{1}{2}· OD· BD=\dfrac{1}{2}×1×3=\dfrac{3}{2}$
所以$S_{四边形ABOC}=S_{梯形ACDB}+S_{△ BDO}=4+\dfrac{3}{2}=\dfrac{11}{2}$。
综上，一次函数解析式为$y=-x-4$，反比例函数解析式为$y=\dfrac{3}{x}(x＜0)$，四边形$ABOC$的面积为$\dfrac{11}{2}$。

【分析】
(1) 求解函数解析式优先使用待定系数法：反比例函数仅含有1个未知参数m，已知点B在反比例函数图象上，代入点B坐标即可求出m，得到反比例函数解析式；再将点A代入反比例函数解析式求出n，得到点A的完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，联立二元一次方程组求出k、b，即可得到一次函数解析式。
(2) 四边形ABOC是不规则图形，无法直接用面积公式计算，因此采用割补法：过点B作BD⊥x轴，将四边形拆分为梯形ACDB和直角三角形BDO，分别计算两个图形的面积后求和，即可得到四边形ABOC的面积。
【解析】
(1) 把$B(-1,-3)$代入反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$，得
$-3=\dfrac{m}{-1}$，解得$m=3$，
所以反比例函数的解析式为$y=\dfrac{3}{x}(x＜0)$。
把$A(-3,n)$代入$y=\dfrac{3}{x}$，得
$n=\dfrac{3}{-3}=-1$，
即点$A$的坐标为$(-3,-1)$。
将$A(-3,-1)$，$B(-1,-3)$代入一次函数$y=kx+b$，得
$\begin{cases} -3k + b = -1 \\ -k + b = -3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=-4 \end{cases}$，
所以一次函数的解析式为$y=-x-4$。
(2) 过点$B$作$BD ⊥ x$轴于点$D$，
由$AC ⊥ x$轴，$A(-3,-1)$，得点$C$坐标为$(-3,0)$，
由$B(-1,-3)$，得点$D$坐标为$(-1,0)$。
则$AC=1$，$BD=3$，$CD=-1-(-3)=2$，$OD=1$。
$S_{梯形ACDB}=\dfrac{1}{2}(AC+BD)· CD=\dfrac{1}{2}×(1+3)×2=4$
$S_{△ BDO}=\dfrac{1}{2}· OD· BD=\dfrac{1}{2}×1×3=\dfrac{3}{2}$
所以$S_{四边形ABOC}=S_{梯形ACDB}+S_{△ BDO}=4+\dfrac{3}{2}=\dfrac{11}{2}$。
【答案】
一次函数解析式为$y=-x-4$，反比例函数解析式为$y=\dfrac{3}{x}(x＜0)$，四边形$ABOC$的面积为$\dfrac{11}{2}$。
【知识点】
1.待定系数法求解析式
2.反比例函数点坐标特征
3.不规则图形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，既考查了函数解析式的常规求解方法，也考查了不规则图形面积的割补求解思路，是函数模块的常见考法。
【难度系数】
0.65