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3. (2025·长春)在功$W$(单位:J)一定的条件下,功率$P$(单位:W)与做功时间$t$(单位:s)成反比例,$P$(单位:W)与$t$(单位:s)之间的函数关系如图5所示.当$25≤ t≤40$时,$P$的值可以为 ()
A.24
B.27
C.45
D.50
A.24
B.27
C.45
D.50
答案
C
解析
【分析】
首先根据题意，功率P与做功时间t成反比例，因此先设反比例函数解析式为$P=\frac{W}{t}$（W为定值，且$W≠0$）。再结合图像给出的已知点$(60,20)$，代入解析式求出定值W，得到P与t的完整函数关系。接着根据反比例函数的增减性，计算t取端点值25和40时对应的P值，确定P的取值范围，最后匹配选项得出答案。
【解析】
设功率P与时间t的函数解析式为$P=\frac{W}{t}$（W为定值，$W＞0$）。
由图像可知，函数过点$(60,20)$，将$t=60$，$P=20$代入解析式得：
$20=\frac{W}{60}$，解得$W=20×60=1200$，
因此函数解析式为$P=\frac{1200}{t}(t＞0)$。
由于$k=1200＞0$，在$t＞0$时，P随t的增大而减小，
当$t=25$时，$P=\frac{1200}{25}=48$；
当$t=40$时，$P=\frac{1200}{40}=30$。
因此当$25≤ t≤40$时，$30≤ P≤48$。
结合选项，只有45在该取值范围内，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数解析式求解；反比例函数的增减性；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合物理中功率的相关知识考查反比例函数的应用，解题核心是先利用图像上的已知点求出函数解析式，再结合反比例函数的增减性确定对应范围内的函数值区间，即可快速选出正确答案，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
首先根据题意，功率P与做功时间t成反比例，因此先设反比例函数解析式为$P=\frac{W}{t}$（W为定值，且$W≠0$）。再结合图像给出的已知点$(60,20)$，代入解析式求出定值W，得到P与t的完整函数关系。接着根据反比例函数的增减性，计算t取端点值25和40时对应的P值，确定P的取值范围，最后匹配选项得出答案。
【解析】
设功率P与时间t的函数解析式为$P=\frac{W}{t}$（W为定值，$W＞0$）。
由图像可知，函数过点$(60,20)$，将$t=60$，$P=20$代入解析式得：
$20=\frac{W}{60}$，解得$W=20×60=1200$，
因此函数解析式为$P=\frac{1200}{t}(t＞0)$。
由于$k=1200＞0$，在$t＞0$时，P随t的增大而减小，
当$t=25$时，$P=\frac{1200}{25}=48$；
当$t=40$时，$P=\frac{1200}{40}=30$。
因此当$25≤ t≤40$时，$30≤ P≤48$。
结合选项，只有45在该取值范围内，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数解析式求解；反比例函数的增减性；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合物理中功率的相关知识考查反比例函数的应用，解题核心是先利用图像上的已知点求出函数解析式，再结合反比例函数的增减性确定对应范围内的函数值区间，即可快速选出正确答案，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
4. 某气球内充满了一定质量$m$的气体,当温度不变时,气球内气体的压强$p$(单位:$\mathrm{kPa}$)是气体体积$V$(单位:$\mathrm{m}^3$)的反比例函数:$p=\frac{m}{V}$. 能够反映两个变量$p$和$V$函数关系的图象是 () 
答案
解：
∵ 气体的质量$m$、体积$V$、压强$p$均为正实数，即$m＞0$，$V＞0$，$p＞0$，
∴ 反比例函数$p=\frac{m}{V}$的图象仅为位于第一象限的双曲线的一支，
可排除跨两个象限的选项A，以及表示一次函数的选项C、D，符合条件的是选项B。
答：答案为B。
∵ 气体的质量$m$、体积$V$、压强$p$均为正实数，即$m＞0$，$V＞0$，$p＞0$，
∴ 反比例函数$p=\frac{m}{V}$的图象仅为位于第一象限的双曲线的一支，
可排除跨两个象限的选项A，以及表示一次函数的选项C、D，符合条件的是选项B。
答：答案为B。
解析
【分析】
解题时首先明确函数类型：题目给出p和V的关系是反比例函数$p=\frac{m}{V}$，首先回忆反比例函数的图象特征：当比例系数大于0时，图象是分布在第一、三象限的双曲线；其次要结合实际意义判断变量的取值范围：气体的体积V、压强p都不可能为负数，气体质量m也为正数，因此函数图象只能是第一象限内的双曲线分支，据此逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
∵ 气体的质量$m$、体积$V$、压强$p$均为正实数，即$m＞0$，$V＞0$，$p＞0$，
∴ 反比例函数$p=\frac{m}{V}$的比例系数$m＞0$，且自变量$V$的取值范围为$V＞0$，对应的函数值$p＞0$，因此函数图象仅为位于第一象限的双曲线的一支：
选项A的图象分布在第一、三象限，包含$V$、$p$为负的部分，不符合实际意义，排除；
选项C、D的图象是直线，属于一次函数的图象，不符合反比例函数的图象特征，排除；
只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象；实际问题中自变量的取值范围
【点评】
本题结合物理背景考查反比例函数的图象，解题的关键是注意实际问题中变量的取值有实际意义，不能直接套用一般反比例函数的图象，易错点是忽略变量非负的要求误选A。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确函数类型：题目给出p和V的关系是反比例函数$p=\frac{m}{V}$，首先回忆反比例函数的图象特征：当比例系数大于0时，图象是分布在第一、三象限的双曲线；其次要结合实际意义判断变量的取值范围：气体的体积V、压强p都不可能为负数，气体质量m也为正数，因此函数图象只能是第一象限内的双曲线分支，据此逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
∵ 气体的质量$m$、体积$V$、压强$p$均为正实数，即$m＞0$，$V＞0$，$p＞0$，
∴ 反比例函数$p=\frac{m}{V}$的比例系数$m＞0$，且自变量$V$的取值范围为$V＞0$，对应的函数值$p＞0$，因此函数图象仅为位于第一象限的双曲线的一支：
选项A的图象分布在第一、三象限，包含$V$、$p$为负的部分，不符合实际意义，排除；
选项C、D的图象是直线，属于一次函数的图象，不符合反比例函数的图象特征，排除；
只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象；实际问题中自变量的取值范围
【点评】
本题结合物理背景考查反比例函数的图象，解题的关键是注意实际问题中变量的取值有实际意义，不能直接套用一般反比例函数的图象，易错点是忽略变量非负的要求误选A。
【难度系数】
0.8
5. 在温度不变的条件下,一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例. 当V=200时,p=50,则当p=20时,V=.
答案
$\boldsymbol{500}$
解析
【分析】
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路如下：第一步，根据“压强p与体积V成反比例”的条件，设出反比例函数的一般形式$p=\frac{k}{V}$（$k$为常数且$k≠0$）；第二步，将已知的$V=200$、$p=50$代入解析式，求出比例系数$k$，得到完整的函数关系式；第三步，将$p=20$代入所得的函数关系式，计算求出对应的$V$的值即可。
【解析】
解：设压强$p$与体积$V$的函数关系式为$p=\frac{k}{V}$（$k$为常数，$k≠0$）。
将$V=200$，$p=50$代入解析式，得：
$50=\frac{k}{200}$
解得$k=50×200=10000$
所以$p$与$V$的函数关系式为$p=\frac{10000}{V}$。
当$p=20$时，代入解析式得：
$20=\frac{10000}{V}$
解得$V=\frac{10000}{20}=500$
【答案】
$\boldsymbol{500}$
【知识点】
反比例函数的意义；待定系数法求解析式；反比例函数实际应用
【点评】
本题是跨学科的反比例函数基础应用题，核心考查反比例函数的基本概念和运算能力，解题关键是正确理解反比例关系的含义，熟练运用待定系数法求解后代入求值。
【难度系数】
0.9
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路如下：第一步，根据“压强p与体积V成反比例”的条件，设出反比例函数的一般形式$p=\frac{k}{V}$（$k$为常数且$k≠0$）；第二步，将已知的$V=200$、$p=50$代入解析式，求出比例系数$k$，得到完整的函数关系式；第三步，将$p=20$代入所得的函数关系式，计算求出对应的$V$的值即可。
【解析】
解：设压强$p$与体积$V$的函数关系式为$p=\frac{k}{V}$（$k$为常数，$k≠0$）。
将$V=200$，$p=50$代入解析式，得：
$50=\frac{k}{200}$
解得$k=50×200=10000$
所以$p$与$V$的函数关系式为$p=\frac{10000}{V}$。
当$p=20$时，代入解析式得：
$20=\frac{10000}{V}$
解得$V=\frac{10000}{20}=500$
【答案】
$\boldsymbol{500}$
【知识点】
反比例函数的意义；待定系数法求解析式；反比例函数实际应用
【点评】
本题是跨学科的反比例函数基础应用题，核心考查反比例函数的基本概念和运算能力，解题关键是正确理解反比例关系的含义，熟练运用待定系数法求解后代入求值。
【难度系数】
0.9
6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流$ I $（单位：A）与电阻$ R $（单位：Ω）成反比例函数关系，图象如图6所示，则这个反比例函数解析式为。
答案
解：设这个反比例函数的解析式为$I=\frac{k}{R}(k≠0,R＞0)$。
由图象可知，该函数图象过点$(8,6)$，将$I=6$，$R=8$代入解析式得：
$6=\frac{k}{8}$
解得$k=48$。
所以这个反比例函数解析式为$\boldsymbol{I=\frac{48}{R}(R＞0)}$。
由图象可知，该函数图象过点$(8,6)$，将$I=6$，$R=8$代入解析式得：
$6=\frac{k}{8}$
解得$k=48$。
所以这个反比例函数解析式为$\boldsymbol{I=\frac{48}{R}(R＞0)}$。
解析
【分析】
首先根据题意可知电流I与电阻R成反比例关系，因此可先设出反比例函数的一般形式$I=\frac{k}{R}(k≠0)$；再观察图像找到函数经过的已知点$(8,6)$，将该点坐标代入所设解析式，即可求出常数$k$的值；最后结合电阻的实际意义，确定自变量$R$的取值范围，就能得到最终的函数解析式。
【解析】
解：设这个反比例函数的解析式为$I=\frac{k}{R}(k≠0,R＞0)$。
由图象可知，函数图象过点$(8,6)$，将$I=6$，$R=8$代入解析式得：
$6=\frac{k}{8}$
解得$k=6×8=48$。
所以这个反比例函数解析式为$I=\frac{48}{R}(R＞0)$。
【答案】
$I=\frac{48}{R}(R＞0)$
【知识点】
反比例函数定义；待定系数法；反比例函数实际应用
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，同时要注意结合实际情境确定自变量的取值范围，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.8
首先根据题意可知电流I与电阻R成反比例关系，因此可先设出反比例函数的一般形式$I=\frac{k}{R}(k≠0)$；再观察图像找到函数经过的已知点$(8,6)$，将该点坐标代入所设解析式，即可求出常数$k$的值；最后结合电阻的实际意义，确定自变量$R$的取值范围，就能得到最终的函数解析式。
【解析】
解：设这个反比例函数的解析式为$I=\frac{k}{R}(k≠0,R＞0)$。
由图象可知，函数图象过点$(8,6)$，将$I=6$，$R=8$代入解析式得：
$6=\frac{k}{8}$
解得$k=6×8=48$。
所以这个反比例函数解析式为$I=\frac{48}{R}(R＞0)$。
【答案】
$I=\frac{48}{R}(R＞0)$
【知识点】
反比例函数定义；待定系数法；反比例函数实际应用
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，同时要注意结合实际情境确定自变量的取值范围，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.8
7. (2025·贵州)小星在阅读《天工开物》图6时,看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具(如图7①),有一横杆固定于桔槔上O点,并可绕O点转动.在横杆A处连接一竹竿,在横杆B处固定300 N的物体,且OB=1 m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F,当改变点A与点O的距离l时,横杆始终处于水平状态,小星发现F与l有一定的关系,记录了拉力的大小F与l的变化,如下表:
(1)表格中a的值是.
(2)小星通过分析表格数据发现,用函数可以刻画F与l之间的关系.在如图7②所示的平面直角坐标系中,描出表中对应的点,并画出这个函数的图象.
(3)根据以上数据和图象判断,当OA的长增大时,拉力F是增大还是减小?请说明理由.
(1)表格中a的值是.
(2)小星通过分析表格数据发现,用函数可以刻画F与l之间的关系.在如图7②所示的平面直角坐标系中,描出表中对应的点,并画出这个函数的图象.
(3)根据以上数据和图象判断,当OA的长增大时,拉力F是增大还是减小?请说明理由.
答案
解：
(1) 观察表格数据可得：$F · l = 300$，即$F = \frac{300}{l}$。
当$l=3$时，$a = \frac{300}{3} = 100$。
(2) 在平面直角坐标系内描出点$(1,300)$、$(1.5,200)$、$(2,150)$、$(2.5,120)$、$(3,100)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到该函数在第一象限的图象。
(3) 当OA的长增大时，拉力F减小。
理由：函数$F=\frac{300}{l}$是反比例函数，且$k=300＞0$，在$l＞0$的范围内，F随l的增大而减小，因此当OA的长l增大时，拉力F随之减小。
答：(1) 表格中a的值是100。
(1) 观察表格数据可得：$F · l = 300$，即$F = \frac{300}{l}$。
当$l=3$时，$a = \frac{300}{3} = 100$。
(2) 在平面直角坐标系内描出点$(1,300)$、$(1.5,200)$、$(2,150)$、$(2.5,120)$、$(3,100)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到该函数在第一象限的图象。
(3) 当OA的长增大时，拉力F减小。
理由：函数$F=\frac{300}{l}$是反比例函数，且$k=300＞0$，在$l＞0$的范围内，F随l的增大而减小，因此当OA的长l增大时，拉力F随之减小。
答：(1) 表格中a的值是100。
解析
【分析】
本题结合古代汲水工具的实际情境考查反比例函数的相关应用，解题思路如下：1. 求解第一问时，先观察给出的F与l的多组对应值，计算二者的乘积，发现乘积为定值300，即可确定F与l成反比例函数关系，代入l=3即可求出a的值；2. 第二问作图时，按照表中给出的坐标在第一象限内描出对应点，再用平滑曲线顺次连接各点即可；3. 第三问判断F的变化时，结合反比例函数的增减性：当k＞0且自变量取值为正时，函数值随自变量的增大而减小，即可得出结论。
【解析】
(1) 计算表中各组l与F的乘积：$1×300=300$，$1.5×200=300$，$2×150=300$，$2.5×120=300$，可得$F·l=300$，即F与l的函数关系式为$F=\frac{300}{l}$。当$l=3$时，$a=\frac{300}{3}=100$。
(2) 在平面直角坐标系第一象限内，依次描出点$(1,300)$、$(1.5,200)$、$(2,150)$、$(2.5,120)$、$(3,100)$，再用平滑曲线从左到右顺次连接各点，即可得到该函数的图象。
(3) 当OA的长增大时，拉力F减小。
理由：函数$F=\frac{300}{l}$是反比例函数，其中$k=300＞0$，且l的取值范围为$l＞0$，因此在$l＞0$的范围内，F随l的增大而减小，故当OA的长l增大时，拉力F随之减小。
【答案】
(1) $\boxed{100}$；(2) 描点、连线见解析；(3) 拉力F减小，理由见解析。
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的图象与性质
【点评】
本题以《天工开物》中的古代汲水工具为命题背景，融合了传统文化与生活实际，既考查了反比例函数的核心知识点，又能引导学生体会数学的实用价值，解题的关键是通过数据特征判断出函数类型。
【难度系数】
0.7
本题结合古代汲水工具的实际情境考查反比例函数的相关应用，解题思路如下：1. 求解第一问时，先观察给出的F与l的多组对应值，计算二者的乘积，发现乘积为定值300，即可确定F与l成反比例函数关系，代入l=3即可求出a的值；2. 第二问作图时，按照表中给出的坐标在第一象限内描出对应点，再用平滑曲线顺次连接各点即可；3. 第三问判断F的变化时，结合反比例函数的增减性：当k＞0且自变量取值为正时，函数值随自变量的增大而减小，即可得出结论。
【解析】
(1) 计算表中各组l与F的乘积：$1×300=300$，$1.5×200=300$，$2×150=300$，$2.5×120=300$，可得$F·l=300$，即F与l的函数关系式为$F=\frac{300}{l}$。当$l=3$时，$a=\frac{300}{3}=100$。
(2) 在平面直角坐标系第一象限内，依次描出点$(1,300)$、$(1.5,200)$、$(2,150)$、$(2.5,120)$、$(3,100)$，再用平滑曲线从左到右顺次连接各点，即可得到该函数的图象。
(3) 当OA的长增大时，拉力F减小。
理由：函数$F=\frac{300}{l}$是反比例函数，其中$k=300＞0$，且l的取值范围为$l＞0$，因此在$l＞0$的范围内，F随l的增大而减小，故当OA的长l增大时，拉力F随之减小。
【答案】
(1) $\boxed{100}$；(2) 描点、连线见解析；(3) 拉力F减小，理由见解析。
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的图象与性质
【点评】
本题以《天工开物》中的古代汲水工具为命题背景，融合了传统文化与生活实际，既考查了反比例函数的核心知识点，又能引导学生体会数学的实用价值，解题的关键是通过数据特征判断出函数类型。
【难度系数】
0.7
