登录
2. 如图17,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB'C'的相似比为1:2,点A是位似中心,已知点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°,则点C'的坐标为.(结果用含a,b的式子表示)
答案
解：
过点C作CD⊥x轴于D，过点C'作C'E⊥x轴于E。
由A(2,0)，C(a,b)，可得AD = a - 2，CD = b。
∵△ABC与△AB'C'的相似比为1:2，点A是位似中心，
∴AC:AC' = 1:2，即AC' = 2AC。
由位似性质得△ACD∽△AC'E，相似比为1:2，
∴AE = 2AD = 2(a-2) = 2a - 4，C'E = 2CD = 2b。
结合图形可知点C'在点A的左下方，
∴点C'的横坐标为2 - (2a - 4) = 6 - 2a，
点C'的纵坐标为0 - 2b = -2b。
点C'的坐标为$\boldsymbol{(6-2a, -2b)}$。
过点C作CD⊥x轴于D，过点C'作C'E⊥x轴于E。
由A(2,0)，C(a,b)，可得AD = a - 2，CD = b。
∵△ABC与△AB'C'的相似比为1:2，点A是位似中心，
∴AC:AC' = 1:2，即AC' = 2AC。
由位似性质得△ACD∽△AC'E，相似比为1:2，
∴AE = 2AD = 2(a-2) = 2a - 4，C'E = 2CD = 2b。
结合图形可知点C'在点A的左下方，
∴点C'的横坐标为2 - (2a - 4) = 6 - 2a，
点C'的纵坐标为0 - 2b = -2b。
点C'的坐标为$\boldsymbol{(6-2a, -2b)}$。
解析
【分析】
本题是位似背景下的坐标求解问题，解题思路如下：首先明确位似的核心性质：位似图形的对应点连线过位似中心，且对应点到位似中心的距离比等于相似比，本题中△ABC和△AB'C'位似中心为A，相似比1:2，说明AC'=2AC，且C'、A、C三点共线。为了分别计算水平、竖直方向的距离，我们通过作x轴的垂线构造直角三角形，利用相似三角形的性质求出C'相对于点A的水平、竖直偏移量，最后结合C'在点A左下方的位置特征，即可计算出C'的坐标。
【解析】
过点C作CD⊥x轴于D，过点C'作C'E⊥x轴于E。
∵点A坐标为(2,0)，点C坐标为(a,b)，
∴$AD = a - 2$，$CD = b$。
∵△ABC与△AB'C'的相似比为1:2，点A是位似中心，
∴$AC:AC' = 1:2$，即$AC' = 2AC$，且$CD// C'E$，
∴$△ ACD ∽ △ AC'E$，相似比为$1:2$，
∴$AE = 2AD = 2(a-2) = 2a - 4$，$C'E = 2CD = 2b$。
结合图形可知点C'在点A的左下方，
∴点C'的横坐标为：$2 - (2a - 4) = 6 - 2a$，
点C'的纵坐标为：$0 - 2b = -2b$。
【答案】
$\boldsymbol{(6-2a, -2b)}$
【知识点】
1. 位似的性质
2. 相似三角形的性质
3. 坐标与图形性质
【点评】
本题重点考查位似与相似知识的综合应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将坐标问题转化为线段长度的计算，解题时要注意位似图形的相对位置，准确判断坐标的符号，避免因忽略位置导致符号错误。
【难度系数】
0.6
本题是位似背景下的坐标求解问题，解题思路如下：首先明确位似的核心性质：位似图形的对应点连线过位似中心，且对应点到位似中心的距离比等于相似比，本题中△ABC和△AB'C'位似中心为A，相似比1:2，说明AC'=2AC，且C'、A、C三点共线。为了分别计算水平、竖直方向的距离，我们通过作x轴的垂线构造直角三角形，利用相似三角形的性质求出C'相对于点A的水平、竖直偏移量，最后结合C'在点A左下方的位置特征，即可计算出C'的坐标。
【解析】
过点C作CD⊥x轴于D，过点C'作C'E⊥x轴于E。
∵点A坐标为(2,0)，点C坐标为(a,b)，
∴$AD = a - 2$，$CD = b$。
∵△ABC与△AB'C'的相似比为1:2，点A是位似中心，
∴$AC:AC' = 1:2$，即$AC' = 2AC$，且$CD// C'E$，
∴$△ ACD ∽ △ AC'E$，相似比为$1:2$，
∴$AE = 2AD = 2(a-2) = 2a - 4$，$C'E = 2CD = 2b$。
结合图形可知点C'在点A的左下方，
∴点C'的横坐标为：$2 - (2a - 4) = 6 - 2a$，
点C'的纵坐标为：$0 - 2b = -2b$。
【答案】
$\boldsymbol{(6-2a, -2b)}$
【知识点】
1. 位似的性质
2. 相似三角形的性质
3. 坐标与图形性质
【点评】
本题重点考查位似与相似知识的综合应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将坐标问题转化为线段长度的计算，解题时要注意位似图形的相对位置，准确判断坐标的符号，避免因忽略位置导致符号错误。
【难度系数】
0.6
3. 如图18，$△ ABC$和$△ DEF$是以点$O$为位似中心的位似图形，相似比为$\frac{2}{3}$，则$△ ABC$和$△ DEF$的面积比是。
答案
解：
∵ △ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴ △ABC∽△DEF，
已知两三角形的相似比为$\frac{2}{3}$，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ABC}:S_{△ DEF}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$
即△ABC和△DEF的面积比是$4:9$。
∵ △ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴ △ABC∽△DEF，
已知两三角形的相似比为$\frac{2}{3}$，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ABC}:S_{△ DEF}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$
即△ABC和△DEF的面积比是$4:9$。
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：题目明确△ABC和△DEF是位似图形，根据位似的性质，位似图形属于特殊的相似图形，因此可先判定两个三角形相似；要求两个相似三角形的面积比，只需结合相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，将已知的相似比平方计算即可得到结果。
【解析】
∵ △ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴ △ABC∽△DEF，
已知两三角形的相似比为$\frac{2}{3}$，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ABC}:S_{△ DEF}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}=4:9$
【答案】
$4:9$
【知识点】
位似的性质；相似三角形面积比的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查位似图形与相似图形的联系，以及相似三角形面积比和相似比的关系，熟练掌握相关性质即可快速求解，常见错误是混淆相似三角形的周长比、面积比与相似比的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：题目明确△ABC和△DEF是位似图形，根据位似的性质，位似图形属于特殊的相似图形，因此可先判定两个三角形相似；要求两个相似三角形的面积比，只需结合相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，将已知的相似比平方计算即可得到结果。
【解析】
∵ △ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴ △ABC∽△DEF，
已知两三角形的相似比为$\frac{2}{3}$，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ABC}:S_{△ DEF}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}=4:9$
【答案】
$4:9$
【知识点】
位似的性质；相似三角形面积比的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查位似图形与相似图形的联系，以及相似三角形面积比和相似比的关系，熟练掌握相关性质即可快速求解，常见错误是混淆相似三角形的周长比、面积比与相似比的对应关系。
【难度系数】
0.8
4. 如图19,直线$y=\frac{1}{3}x+1$与x轴、y轴分别交于A,B两点,$△ BOC$与$△ B'O'C'$是以点A为位似中心的位似图形,且相似比为$\frac{1}{2}$,则点B'的坐标是.
答案
解：
求直线与坐标轴交点坐标：
令$y=0$，代入$y=\frac{1}{3}x+1$，得$\frac{1}{3}x+1=0$，解得$x=-3$，即$A(-3,0)$；
令$x=0$，代入$y=\frac{1}{3}x+1$，得$y=1$，即$B(0,1)$。
由位似性质，位似中心为点$A$，相似比为$\frac{1}{2}$，可知$\frac{AB}{AB'}=\frac{1}{2}$，即$AB'=2AB$，分两种情况：
1. 当$△ B'O'C'$与$△ BOC$在位似中心$A$的同侧时：
点$B'$的横坐标为$-3 + 2×[0-(-3)]=3$，纵坐标为$0 + 2×(1-0)=2$，得$B'(3,2)$。
2. 当$△ B'O'C'$与$△ BOC$在位似中心$A$的异侧时：
点$B'$的横坐标为$-3 - 2×[0-(-3)]=-9$，纵坐标为$0 - 2×(1-0)=-2$，得$B'(-9,-2)$。
综上，点$B'$的坐标是$\boldsymbol{(3,2)}$或$\boldsymbol{(-9,-2)}$。
求直线与坐标轴交点坐标：
令$y=0$，代入$y=\frac{1}{3}x+1$，得$\frac{1}{3}x+1=0$，解得$x=-3$，即$A(-3,0)$；
令$x=0$，代入$y=\frac{1}{3}x+1$，得$y=1$，即$B(0,1)$。
由位似性质，位似中心为点$A$，相似比为$\frac{1}{2}$，可知$\frac{AB}{AB'}=\frac{1}{2}$，即$AB'=2AB$，分两种情况：
1. 当$△ B'O'C'$与$△ BOC$在位似中心$A$的同侧时：
点$B'$的横坐标为$-3 + 2×[0-(-3)]=3$，纵坐标为$0 + 2×(1-0)=2$，得$B'(3,2)$。
2. 当$△ B'O'C'$与$△ BOC$在位似中心$A$的异侧时：
点$B'$的横坐标为$-3 - 2×[0-(-3)]=-9$，纵坐标为$0 - 2×(1-0)=-2$，得$B'(-9,-2)$。
综上，点$B'$的坐标是$\boldsymbol{(3,2)}$或$\boldsymbol{(-9,-2)}$。
解析
【分析】
解题时首先需要求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标，这是后续计算的基础。接下来结合位似图形的性质，已知位似中心为A，相似比为$\frac{1}{2}$，说明新图形的对应线段长度是原图形的2倍，注意位似图形存在两种位置情况：与原图形在位似中心同侧，或者异侧，两种情况都需要考虑，最后根据坐标的变化规律分别计算两种情况下点B'的坐标即可。
【解析】
首先求直线与坐标轴交点坐标：
令$y=0$，代入$y=\frac{1}{3}x+1$，得$\frac{1}{3}x+1=0$，解得$x=-3$，即$A(-3,0)$；
令$x=0$，代入$y=\frac{1}{3}x+1$，得$y=1$，即$B(0,1)$。
由位似性质，位似中心为点$A$，相似比为$\frac{1}{2}$，可知$\frac{AB}{AB'}=\frac{1}{2}$，即$AB'=2AB$，分两种情况讨论：
1. 当$△ B'O'C'$与$△ BOC$在位似中心$A$的同侧时：
点$B'$的横坐标为$-3 + 2×[0-(-3)]=3$，纵坐标为$0 + 2×(1-0)=2$，得$B'(3,2)$。
2. 当$△ B'O'C'$与$△ BOC$在位似中心$A$的异侧时：
点$B'$的横坐标为$-3 - 2×[0-(-3)]=-9$，纵坐标为$0 - 2×(1-0)=-2$，得$B'(-9,-2)$。
【答案】
$\boldsymbol{(3,2)}$或$\boldsymbol{(-9,-2)}$
【知识点】
一次函数交点求解、位似图形的性质、坐标与图形变换
【点评】
本题结合一次函数与位似图形的知识点考查，解题关键是先准确求出A、B两点坐标，再结合位似的性质分情况计算点B'的坐标，易错点是容易遗漏位似图形在中心异侧的情况，解题时要注意分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先需要求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标，这是后续计算的基础。接下来结合位似图形的性质，已知位似中心为A，相似比为$\frac{1}{2}$，说明新图形的对应线段长度是原图形的2倍，注意位似图形存在两种位置情况：与原图形在位似中心同侧，或者异侧，两种情况都需要考虑，最后根据坐标的变化规律分别计算两种情况下点B'的坐标即可。
【解析】
首先求直线与坐标轴交点坐标：
令$y=0$，代入$y=\frac{1}{3}x+1$，得$\frac{1}{3}x+1=0$，解得$x=-3$，即$A(-3,0)$；
令$x=0$，代入$y=\frac{1}{3}x+1$，得$y=1$，即$B(0,1)$。
由位似性质，位似中心为点$A$，相似比为$\frac{1}{2}$，可知$\frac{AB}{AB'}=\frac{1}{2}$，即$AB'=2AB$，分两种情况讨论：
1. 当$△ B'O'C'$与$△ BOC$在位似中心$A$的同侧时：
点$B'$的横坐标为$-3 + 2×[0-(-3)]=3$，纵坐标为$0 + 2×(1-0)=2$，得$B'(3,2)$。
2. 当$△ B'O'C'$与$△ BOC$在位似中心$A$的异侧时：
点$B'$的横坐标为$-3 - 2×[0-(-3)]=-9$，纵坐标为$0 - 2×(1-0)=-2$，得$B'(-9,-2)$。
【答案】
$\boldsymbol{(3,2)}$或$\boldsymbol{(-9,-2)}$
【知识点】
一次函数交点求解、位似图形的性质、坐标与图形变换
【点评】
本题结合一次函数与位似图形的知识点考查，解题关键是先准确求出A、B两点坐标，再结合位似的性质分情况计算点B'的坐标，易错点是容易遗漏位似图形在中心异侧的情况，解题时要注意分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.6
5. 在如图20所示的平面直角坐标系中，$△ ABC$的三个顶点坐标分别为$A(-3,2),B(-1,3),C(-1,1)$，请按如下要求画图：
(1)以坐标原点$O$为旋转中心，将$△ ABC$顺时针旋转$90°$，得到$△ A_1B_1C_1$，请画出$△ A_1B_1C_1$；
(2)以坐标原点$O$为位似中心，在$x$轴下方，画出$△ ABC$的位似图形$△ A_2B_2C_2$，使它与$△ ABC$的位似比为2.
(1)以坐标原点$O$为旋转中心，将$△ ABC$顺时针旋转$90°$，得到$△ A_1B_1C_1$，请画出$△ A_1B_1C_1$；
(2)以坐标原点$O$为位似中心，在$x$轴下方，画出$△ ABC$的位似图形$△ A_2B_2C_2$，使它与$△ ABC$的位似比为2.
答案
解：
(1) 平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点$O$顺时针旋转$90°$后的对应点坐标为$(y,-x)$，据此计算各顶点旋转后的坐标：
$A(-3,2)$旋转后得$A_1(2,3)$，
$B(-1,3)$旋转后得$B_1(3,1)$，
$C(-1,1)$旋转后得$C_1(1,1)$，
在坐标系中描出$A_1,B_1,C_1$三点，顺次连接三点，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 以原点$O$为位似中心，位似比为2，且位似图形在$x$轴下方，因此对应点坐标为原顶点坐标乘$-2$，计算得各顶点坐标：
$A(-3,2)$对应$A_2(6,-4)$，
$B(-1,3)$对应$B_2(2,-6)$，
$C(-1,1)$对应$C_2(2,-2)$，
在$x$轴下方区域描出$A_2,B_2,C_2$三点，顺次连接三点，即可得到符合要求的$△ A_2B_2C_2$。
(1) 平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点$O$顺时针旋转$90°$后的对应点坐标为$(y,-x)$，据此计算各顶点旋转后的坐标：
$A(-3,2)$旋转后得$A_1(2,3)$，
$B(-1,3)$旋转后得$B_1(3,1)$，
$C(-1,1)$旋转后得$C_1(1,1)$，
在坐标系中描出$A_1,B_1,C_1$三点，顺次连接三点，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 以原点$O$为位似中心，位似比为2，且位似图形在$x$轴下方，因此对应点坐标为原顶点坐标乘$-2$，计算得各顶点坐标：
$A(-3,2)$对应$A_2(6,-4)$，
$B(-1,3)$对应$B_2(2,-6)$，
$C(-1,1)$对应$C_2(2,-2)$，
在$x$轴下方区域描出$A_2,B_2,C_2$三点，顺次连接三点，即可得到符合要求的$△ A_2B_2C_2$。
解析
【分析】
要完成这两类作图题，核心思路是先确定原图形关键点（顶点）经过变换后的对应点坐标，再描点、顺次连接得到目标图形：
1. 对于旋转作图：先回忆点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律，将△ABC三个顶点的坐标代入规律，算出旋转后的对应点坐标，再描点连线即可；
2. 对于位似作图：已知位似中心为原点，位似比为2，且图形在x轴下方，可知对应点坐标为原坐标乘-2（负号保证图形在x轴下方，2对应位似比），算出三个顶点的对应点坐标后，在x轴下方描点连线即可。
【解析】
(1) 平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点$O$顺时针旋转$90°$后的对应点坐标为$(y,-x)$，据此计算各顶点旋转后的坐标：
$A(-3,2)$旋转后得$A_1(2,3)$，
$B(-1,3)$旋转后得$B_1(3,1)$，
$C(-1,1)$旋转后得$C_1(1,1)$，
在坐标系中描出$A_1,B_1,C_1$三点，顺次连接三点，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 以原点$O$为位似中心，位似比为2，且位似图形在$x$轴下方，因此对应点坐标为原顶点坐标乘$-2$，计算得各顶点坐标：
$A(-3,2)$对应$A_2(6,-4)$，
$B(-1,3)$对应$B_2(2,-6)$，
$C(-1,1)$对应$C_2(2,-2)$，
在$x$轴下方区域描出$A_2,B_2,C_2$三点，顺次连接三点，即可得到符合要求的$△ A_2B_2C_2$。
【答案】
(1) $△ A_1B_1C_1$的顶点坐标为$A_1(2,3)$、$B_1(3,1)$、$C_1(1,1)$，顺次连接三点即可画出图形；
(2) $△ A_2B_2C_2$的顶点坐标为$A_2(6,-4)$、$B_2(2,-6)$、$C_2(2,-2)$，顺次连接三点即可画出图形。
【知识点】
1. 旋转的坐标变换规律
2. 位似图形的坐标特征
3. 坐标平面内作图
【点评】
本题是基础的几何变换作图题，重点考查旋转变换和位似变换下的点坐标变化规律，解题时只要牢记两类变换的坐标运算规则，按照“算坐标-描点-连线”的步骤操作即可，不容易出错。
【难度系数】
0.7
要完成这两类作图题，核心思路是先确定原图形关键点（顶点）经过变换后的对应点坐标，再描点、顺次连接得到目标图形：
1. 对于旋转作图：先回忆点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律，将△ABC三个顶点的坐标代入规律，算出旋转后的对应点坐标，再描点连线即可；
2. 对于位似作图：已知位似中心为原点，位似比为2，且图形在x轴下方，可知对应点坐标为原坐标乘-2（负号保证图形在x轴下方，2对应位似比），算出三个顶点的对应点坐标后，在x轴下方描点连线即可。
【解析】
(1) 平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点$O$顺时针旋转$90°$后的对应点坐标为$(y,-x)$，据此计算各顶点旋转后的坐标：
$A(-3,2)$旋转后得$A_1(2,3)$，
$B(-1,3)$旋转后得$B_1(3,1)$，
$C(-1,1)$旋转后得$C_1(1,1)$，
在坐标系中描出$A_1,B_1,C_1$三点，顺次连接三点，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 以原点$O$为位似中心，位似比为2，且位似图形在$x$轴下方，因此对应点坐标为原顶点坐标乘$-2$，计算得各顶点坐标：
$A(-3,2)$对应$A_2(6,-4)$，
$B(-1,3)$对应$B_2(2,-6)$，
$C(-1,1)$对应$C_2(2,-2)$，
在$x$轴下方区域描出$A_2,B_2,C_2$三点，顺次连接三点，即可得到符合要求的$△ A_2B_2C_2$。
【答案】
(1) $△ A_1B_1C_1$的顶点坐标为$A_1(2,3)$、$B_1(3,1)$、$C_1(1,1)$，顺次连接三点即可画出图形；
(2) $△ A_2B_2C_2$的顶点坐标为$A_2(6,-4)$、$B_2(2,-6)$、$C_2(2,-2)$，顺次连接三点即可画出图形。
【知识点】
1. 旋转的坐标变换规律
2. 位似图形的坐标特征
3. 坐标平面内作图
【点评】
本题是基础的几何变换作图题，重点考查旋转变换和位似变换下的点坐标变化规律，解题时只要牢记两类变换的坐标运算规则，按照“算坐标-描点-连线”的步骤操作即可，不容易出错。
【难度系数】
0.7
