在如图的平面直角坐标系中，画出反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$和$y=-\dfrac{3}{x}$的图象.

按照描点法分别绘制：$y=\frac{3}{x}$的图象是位于第一、第三象限的两支平滑双曲线，$y=-\frac{3}{x}$的图象是位于第二、第四象限的两支平滑双曲线[图3]

【分析】
要画出反比例函数的图象，首先使用函数图象的通用画法——描点法，分为列表、描点、连线三步思考：①反比例函数自变量x的取值范围是x≠0，因此列表时要选取除0外正负对称的数值，方便计算对应y值；②可先根据k值的正负判断图象所在象限：k＞0时图象在一、三象限，k＜0时图象在二、四象限，避免描点出错；③连线时要用平滑曲线连接同象限的点，且图象不能与坐标轴相交，因为x不能为0，y也不可能为0。
【解析】
我们用描点法绘制两个函数的图象，步骤如下：
1. 列表：选取x≠0的对称值，分别计算对应的y值：
| x | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 |
|------|-----|------|-----|-----|------|-----|
| $y=\dfrac{3}{x}$ | -1 | -1.5 | -3 | 3 | 1.5 | 1 |
| $y=-\dfrac{3}{x}$ | 1 | 1.5 | 3 | -3 | -1.5 | -1 |
2. 描点：将上表中各组(x,y)对应的点，在平面直角坐标系中准确标出。
3. 连线：按横坐标从小到大的顺序，用平滑的曲线分别连接每个象限内的点，向两端适当延伸，注意曲线不得与x轴、y轴相交。
绘制完成后可得：$y=\dfrac{3}{x}$的图象是位于第一、第三象限的两支平滑双曲线，$y=-\dfrac{3}{x}$的图象是位于第二、第四象限的两支平滑双曲线。
【答案】
按照描点法分别绘制：$y=\frac{3}{x}$的图象是位于第一、第三象限的两支平滑双曲线，$y=-\frac{3}{x}$的图象是位于第二、第四象限的两支平滑双曲线
【知识点】
描点法作图、反比例函数的图象、反比例函数的性质
【点评】
本题属于反比例函数的基础作图题，重点考查描点法作图的步骤和反比例函数的图象特征，作图时注意x不能取0，连线需用平滑曲线，且图象不能与坐标轴相交即可。
【难度系数】
0.8

1. 设$△ ABC$中边$BC$的长为$x$ cm,边$BC$上的高$AD$的长为$y$ cm. 现一探究小组测得两个变量$x(x ＞ 0),y(y ＞ 0)$的一组对应值如下表：

(1) 在给出的平面直角坐标系中,用描点法画出$y$关于$x$的函数的图象；
(2) 求$y$关于$x$的函数解析式；
(3) 如果边$BC$的长不小于8 cm,求高$AD$的取值范围.

1. (1) 略；(2) $y = \frac{6}{x}(x ＞ 0)$；(3) 高AD不大于$\frac{3}{4}$ cm.

【分析】
（1）第一问用描点法画函数图象，按照“描点、连线”的步骤操作即可，由于x、y均为正数，图象仅在第一象限，用光滑曲线连接描出的点即可。
（2）第二问求函数解析式，结合三角形面积公式可知，BC长与BC边上高的乘积为定值（等于三角形面积的2倍），因此y是x的反比例函数，用待定系数法设出反比例函数解析式，代入一组对应值求出常数k，再标注自变量x的取值范围即可。
（3）第三问求高AD的取值范围，已知x≥8，结合反比例函数在x＞0时的增减性，代入x=8求出对应的y值，即可推出y的取值范围，注意y本身为正数。
【解析】
（1）根据表格给出的x、y对应值，在平面直角坐标系中依次描出各点，再用光滑曲线连接各点，图象位于第一象限即可，过程略。
（2）设$△ ABC$的面积为$S$，由三角形面积公式得：
$S=\frac{1}{2}xy$，因此$xy=2S$为定值，可知$y$是$x$的反比例函数。
设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}\ (k≠0,x＞0)$，代入表格中任意一组对应值，可得$k=xy=6$，
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{6}{x}\ (x＞0)$。
（3）由题意得$x≥8$，
在反比例函数$y=\frac{6}{x}$中，$k=6＞0$，因此当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，
当$x=8$时，$y=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，结合$y＞0$，可得$0＜y≤\frac{3}{4}$，
即高$AD$的取值范围是$0＜AD≤\frac{3}{4}\ \mathrm{cm}$，也就是高AD不大于$\frac{3}{4}$ cm。
【答案】
(1) 略；(2) $y = \frac{6}{x}(x ＞ 0)$；(3) 高AD不大于$\frac{3}{4}$ cm。
【知识点】
描点法画函数图象；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质
【点评】
本题结合三角形面积的实际背景考查反比例函数的应用，解题核心是抓住面积不变的特点判断函数类型，再结合反比例函数的增减性求解取值范围，解题时需注意变量的取值都为正数。
【难度系数】
0.8

2. 函数$y=-\dfrac{3}{x}$的图象大致是( )

A

【分析】
解题时首先明确函数类型，本题给出的是反比例函数，先排除不属于反比例函数图象的选项；再根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k$的符号判断图象所在的象限：当$k＞0$时，图象在第一、三象限；当$k＜0$时，图象在第二、四象限，据此筛选符合的选项即可。
【解析】
解：函数$y=-\dfrac{3}{x}$是反比例函数，图象为双曲线，首先排除选项C（直线，属于正比例函数图象）、选项D（抛物线，属于二次函数图象）；
该反比例函数中$k=-3＜0$，因此双曲线的两个分支分别位于第二、第四象限，选项B的双曲线位于第一、第三象限，不符合要求，选项A符合条件。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的性质；函数图象识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握$k$的正负和图象所在象限的对应关系，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.85

(1)反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象如图(1)所示，则k0，在每一个象限内，y随x的增大而；
(2)反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象如图(2)所示，则k0，在每一个象限内，y随x的增大而；
(3)若点(1,3)在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，则k=，在每一个象限内，y随x的增大而。

3. (1) ＞ 减小；(2) ＜ 增大；(3) 3 减小

【分析】
解决本题需先熟练掌握反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的核心性质：k的符号决定图象所在象限，也决定函数的增减性：①$k＞0$时，图象在第一、三象限，每个象限内y随x的增大而减小；②$k＜0$时，图象在第二、四象限，每个象限内y随x的增大而增大。若已知点在函数图象上，将点坐标代入解析式即可求出k值。按照上述规律分别解答三个小问即可。
【解析】
(1) 观察图(1)，函数图象分布在第一、第三象限，对应性质可知$k＞0$，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
(2) 观察图(2)，函数图象分布在第二、第四象限，对应性质可知$k＜0$，在每一个象限内，y随x的增大而增大；
(3) 将点$(1,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$，此时$k＞0$，因此在每一个象限内，y随x的增大而减小。
【答案】
(1)＞，减小；(2)＜，增大；(3)3，减小
【知识点】
反比例函数的性质；待定系数法求k值；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数基础题，主要考查k的符号与图象位置、增减性的对应关系，以及代入点坐标求k的方法，熟练掌握基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9