1. 观察反比例函数$y=\frac{3}{x}$与$y=\frac{6}{x}$的图象，回答下面的问题：
（1）每个函数的图象分别位于哪些象限？
（2）在每一个象限内，随着$x$的增大，$y$如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？
（3）利用信息技术工具画反比例函数$y=\frac{k}{x}(k ＞ 0)$的$k$取不同值的图象，考虑问题（1）（2），你能得出同样的结论吗？

一般地，当$k ＞ 0$时，对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，结合函数图象（见下图）与解析式，我们可以发现：
（1）函数图象的两支分别位于；
（2）在每一个象限内，.

1. （1）两个函数的图象都分别位于第一、第三象限；
（2）在每一个象限内，随着$x$的增大，$y$逐渐减小，因为$k＞0$，$xy=k$是定值，$x$增大时对应的$y$值必然减小；
（3）对任意$k＞0$的反比例函数，都能得到和上述一致的结论。
（1）第一、第三象限
（2）$y$随$x$的增大而减小

【分析】
本题考查k＞0时反比例函数的图象与性质，解题可按以下思路推导：1. 判断图象所在象限：根据反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$，当k＞0时x与y乘积为正，即x、y同号，由此可确定图象所在象限；2. 判断增减性：k为定值时$xy=k$固定不变，x增大时为保证乘积不变，y必然减小，注意该增减性仅在每个象限内成立，跨象限不适用；3. 推广到一般情况：只要k＞0，上述性质对所有反比例函数均成立，和k的具体数值无关。
【解析】
（1）对于$y=\frac{3}{x}$和$y=\frac{6}{x}$，两个函数的k值分别为3、6，均大于0，此时x与y同号：x＞0时y＞0，对应第一象限；x＜0时y＜0，对应第三象限，因此两个函数的图象都位于第一、第三象限。
（2）在每一个象限内，随着x的增大y逐渐减小。理由：由反比例函数解析式变形可得$xy=k$，k为固定正数，当x增大时，要保证乘积k不变，对应的y值必然减小，该规律仅在同一象限内成立。
（3）对任意$k＞0$的反比例函数，均满足x、y同号、$xy=k$为定值的特点，因此都能得到和上述一致的结论。
结合推导可得填空内容：
（1）函数图象的两支分别位于第一、第三象限；
（2）在每一个象限内，y随x的增大而减小。
【答案】
1. （1）两个函数的图象都分别位于第一、第三象限；
（2）在每一个象限内，随着$x$的增大，$y$逐渐减小，因为$k＞0$，$xy=k$是定值，$x$增大时对应的$y$值必然减小；
（3）对任意$k＞0$的反比例函数，都能得到和上述一致的结论。
（1）第一、第三象限
（2）$y$随$x$的增大而减小
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，核心是掌握k的符号对反比例函数图象位置、增减性的影响，要特别注意反比例函数的增减性必须限定在“每一个象限内”，避免跨象限判断出错。
【难度系数】
0.8

2. 回顾上述过程，我们从特殊到一般研究反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k＞0)$ 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k＜0)$ 的图象和性质吗？
一般地，当 $k＜0$ 时，对于反比例函数 $y=\frac{k}{x}$，结合函数图象（见下图）与解析式，我们可以发现：
（1）函数图象的两支分别位于；
（2）在每一个象限内，。

2. （1）第二、第四象限 （2）$y$随$x$的增大而增大

【分析】
解题时可结合反比例函数解析式的符号规律和给出的图象分步分析：①先根据k＜0判断x、y的符号关系，进而确定图象所在的象限；②再观察不同象限内x增大时y的变化趋势，总结增减性规律，注意增减性的适用前提是“在每一个象限内”，避免跨象限判断出错。
【解析】
（1）对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，可变形为$xy=k$，已知$k＜0$，说明x和y的符号始终相反：
当$x＞0$时，$y＜0$，对应点位于第四象限；当$x＜0$时，$y＞0$，对应点位于第二象限，因此函数图象的两支分别位于第二、第四象限。
（2）观察图象可知：在第二象限内，随着x的数值逐渐增大（从负向趋近于0），y的数值也随之增大；在第四象限内，随着x的数值逐渐增大（从0正向增大），y的数值也随之增大，因此在每一个象限内，y随x的增大而增大。
【答案】
（1）第二、第四象限 （2）$y$随$x$的增大而增大
【知识点】
反比例函数的图象性质；反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，结合图象和解析式的符号规律即可得出结论，解题时要注意增减性的适用范围是“每一个象限内”，忽略该前提很容易出现判断错误。
【难度系数】
0.85