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4. 李明需要制作一个底面积为20 cm²的长方体无盖纸盒,底面矩形的一边长y(单位:cm)与其邻边长x(单位:cm)之间的关系可以用图象大致表示为( 
)
)答案
C
解析
【分析】
解题时首先根据矩形面积公式推导x与y的函数关系，判断函数类型；再结合实际意义确定自变量的取值范围：边长为长度，取值一定为正数；最后结合不同函数的图象特征匹配对应选项即可。
【解析】
解：
∵长方体底面是矩形，面积为20$\mathrm{c}\mathrm{m}{}^{2}$，相邻两边长分别为$x$ cm、$y$ cm，
∴根据矩形面积公式可得：$xy=20$，
整理得$y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{20}{x}$，属于反比例函数。
又
∵$x$是矩形的边长，长度为正数，
∴$x＞0$，对应的$y=\frac{20}{x}＞0$，
因此该函数的图象是仅位于第一象限的双曲线，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；自变量取值范围
【点评】
本题结合实际场景考查函数图象的判断，解题核心是先推导函数解析式，再结合实际意义确定自变量的取值范围，即可准确匹配图象，要注意实际问题中函数图象往往只是完整函数图象的一部分。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据矩形面积公式推导x与y的函数关系，判断函数类型；再结合实际意义确定自变量的取值范围：边长为长度，取值一定为正数；最后结合不同函数的图象特征匹配对应选项即可。
【解析】
解：
∵长方体底面是矩形，面积为20$\mathrm{c}\mathrm{m}{}^{2}$，相邻两边长分别为$x$ cm、$y$ cm，
∴根据矩形面积公式可得：$xy=20$，
整理得$y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{20}{x}$，属于反比例函数。
又
∵$x$是矩形的边长，长度为正数，
∴$x＞0$，对应的$y=\frac{20}{x}＞0$，
因此该函数的图象是仅位于第一象限的双曲线，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；自变量取值范围
【点评】
本题结合实际场景考查函数图象的判断，解题核心是先推导函数解析式，再结合实际意义确定自变量的取值范围，即可准确匹配图象，要注意实际问题中函数图象往往只是完整函数图象的一部分。
【难度系数】
0.7
(1)反比例函数$y=\frac{k}{x}$(k为常数，$k≠0$)的图象是
双曲线
;答案
(1) 双曲线
解析
【分析】
本题考查反比例函数的基础图象概念，解题时直接回忆教材中关于反比例函数图象的定义即可作答。我们在学习反比例函数相关内容时，明确给出了反比例函数图象的固定特征与名称，牢记这一基础概念就能直接得到答案。
【解析】
根据反比例函数的图象性质，反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的图象是由两个不与$x$轴、$y$轴相交的分支组成的曲线，这类曲线的名称为双曲线。
【答案】
双曲线
【知识点】
反比例函数的图象
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对反比例函数核心基础概念的掌握情况，是学习反比例函数图象与性质的必备基础内容，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数的基础图象概念，解题时直接回忆教材中关于反比例函数图象的定义即可作答。我们在学习反比例函数相关内容时，明确给出了反比例函数图象的固定特征与名称，牢记这一基础概念就能直接得到答案。
【解析】
根据反比例函数的图象性质，反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的图象是由两个不与$x$轴、$y$轴相交的分支组成的曲线，这类曲线的名称为双曲线。
【答案】
双曲线
【知识点】
反比例函数的图象
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对反比例函数核心基础概念的掌握情况，是学习反比例函数图象与性质的必备基础内容，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
(2)当k ＞ 0时,双曲线的两个分支分别位于第
一、三
象限,在每个象限内,y值随x值的增大而减小
;答案
(2) 一、三；减小
解析
【分析】
本题考查反比例函数的基本性质，解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$中系数$k$的意义：当$k＞0$时，$x$和$y$的符号始终相同，因此对应的点要么横纵坐标都为正（位于第一象限），要么横纵坐标都为负（位于第三象限）；再判断增减性，可通过代入特殊值验证，例如取$k=2$，当$x=1$时$y=2$，$x=2$时$y=1$，可见在同一象限内，$x$增大时$y$的值减小，即可得出结论。
【解析】
根据反比例函数的图象与性质：当$k＞0$时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，$y$值随$x$值的增大而减小。
【答案】
一、三；减小
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验学生对反比例函数系数与图象位置、增减性对应关系的记忆情况，牢记相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数的基本性质，解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$中系数$k$的意义：当$k＞0$时，$x$和$y$的符号始终相同，因此对应的点要么横纵坐标都为正（位于第一象限），要么横纵坐标都为负（位于第三象限）；再判断增减性，可通过代入特殊值验证，例如取$k=2$，当$x=1$时$y=2$，$x=2$时$y=1$，可见在同一象限内，$x$增大时$y$的值减小，即可得出结论。
【解析】
根据反比例函数的图象与性质：当$k＞0$时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，$y$值随$x$值的增大而减小。
【答案】
一、三；减小
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验学生对反比例函数系数与图象位置、增减性对应关系的记忆情况，牢记相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
(3)当k
注意:(1)双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点；
(2)双曲线既是轴对称图形(对称轴为
＜
0时,双曲线的两个分支分别位于第二、第四象限,在每个象限内,y值随x值的增大
而增大.注意:(1)双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点；
(2)双曲线既是轴对称图形(对称轴为
直线y=x和直线y=-x
),又是中心对称图形(对称中心为原点
).答案
(3) ＜；增大；直线y=x和直线y=-x；原点
解析
【分析】
解题时需回忆反比例函数的核心性质逐一推导填空：首先回忆反比例函数图象所在象限与k的符号的对应关系：k＞0时图象在一、三象限，k＜0时图象在二、四象限；再结合二、四象限内反比例函数的增减性判断第二个空；最后回忆反比例函数的对称特征，分别填写轴对称的对称轴和中心对称的对称中心即可。
【解析】
对于反比例函数$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k ≠ 0 $）：
1. 当$ k＜0 $时，双曲线的两个分支分别位于第二、第四象限，且在每个象限内，$ y $值随$ x $值的增大而增大；
2. 对称性：双曲线是轴对称图形，对称轴为直线$ y=x $和直线$ y=-x $；同时是中心对称图形，对称中心为原点。
【答案】
＜；增大；直线y=x和直线y=-x；原点
【知识点】
反比例函数图象与k的关系；反比例函数的增减性；反比例函数的对称性
【点评】
本题是对反比例函数基础性质的直接考查，属于概念识记类题型，熟练掌握反比例函数的图象特征、增减性规律及对称性质是解决此类题目的关键，也是后续求解反比例函数综合题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时需回忆反比例函数的核心性质逐一推导填空：首先回忆反比例函数图象所在象限与k的符号的对应关系：k＞0时图象在一、三象限，k＜0时图象在二、四象限；再结合二、四象限内反比例函数的增减性判断第二个空；最后回忆反比例函数的对称特征，分别填写轴对称的对称轴和中心对称的对称中心即可。
【解析】
对于反比例函数$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k ≠ 0 $）：
1. 当$ k＜0 $时，双曲线的两个分支分别位于第二、第四象限，且在每个象限内，$ y $值随$ x $值的增大而增大；
2. 对称性：双曲线是轴对称图形，对称轴为直线$ y=x $和直线$ y=-x $；同时是中心对称图形，对称中心为原点。
【答案】
＜；增大；直线y=x和直线y=-x；原点
【知识点】
反比例函数图象与k的关系；反比例函数的增减性；反比例函数的对称性
【点评】
本题是对反比例函数基础性质的直接考查，属于概念识记类题型，熟练掌握反比例函数的图象特征、增减性规律及对称性质是解决此类题目的关键，也是后续求解反比例函数综合题的基础。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在函数$y=-\dfrac{2}{x}$的图象上有一点$A(-1,2)$,那么点$B$的坐标为
(1,-2)
。答案
2. (1,-2)
解析
【分析】
观察图象可知，点A和点B是反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$图象两个分支上的点，首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数的图象是双曲线，关于原点中心对称，因此双曲线上任意一点关于原点的对称点也在双曲线上，说明点B是点A关于原点的对称点。接下来结合关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，即可求出点B的坐标。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象是双曲线，关于原点中心对称，
∴点B是点$A(-1,2)$关于原点的对称点。
∵关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，
∴点B的横坐标为$-(-1)=1$，纵坐标为$-2$，即$B(1,-2)$。
【答案】
$(1,-2)$
【知识点】
反比例函数的图象性质；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，结合反比例函数图象的中心对称性，运用关于原点对称的坐标变换规律即可快速得到答案，掌握函数图象的对称性是解题的关键。
【难度系数】
0.8
观察图象可知，点A和点B是反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$图象两个分支上的点，首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数的图象是双曲线，关于原点中心对称，因此双曲线上任意一点关于原点的对称点也在双曲线上，说明点B是点A关于原点的对称点。接下来结合关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，即可求出点B的坐标。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象是双曲线，关于原点中心对称，
∴点B是点$A(-1,2)$关于原点的对称点。
∵关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，
∴点B的横坐标为$-(-1)=1$，纵坐标为$-2$，即$B(1,-2)$。
【答案】
$(1,-2)$
【知识点】
反比例函数的图象性质；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，结合反比例函数图象的中心对称性，运用关于原点对称的坐标变换规律即可快速得到答案，掌握函数图象的对称性是解题的关键。
【难度系数】
0.8
变式 如图,已知直线$y = k_1x(k_1 ≠ 0)$与反比例函数$y = \frac{k_2}{x}(k_2 ≠ 0)$的图象交于$M,N$两点. 若点$M$的坐标是$(1,2)$,则点$N$的坐标是(
A.$(-1, -2)$
B.$(-1, 2)$
C.$(1, -2)$
D.$(-2, -1)$
A
)A.$(-1, -2)$
B.$(-1, 2)$
C.$(1, -2)$
D.$(-2, -1)$
答案
A
解析
【分析】
解题思路有两种：①回忆函数图象对称性：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点也关于原点对称，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，已知M点坐标即可直接推出N点坐标；②若不熟悉对称性，可先将M点坐标代入两个函数解析式，求出参数$k_1$、$k_2$的值，再联立两个函数解析式解方程组，即可得到另一个交点N的坐标。
【解析】
解法1（利用对称性）：
∵正比例函数$y = k_1x$和反比例函数$y = \frac{k_2}{x}$的图象都关于原点中心对称，
∴两个函数的交点M、N关于原点对称。
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，点M的坐标为$(1,2)$，
∴点N的坐标为$(-1,-2)$。
解法2（联立解析式求解）：
将$M(1,2)$代入$y = k_1x$，得$2=k_1×1$，解得$k_1=2$，即正比例函数为$y=2x$；
将$M(1,2)$代入$y = \frac{k_2}{x}$，得$2=\frac{k_2}{1}$，解得$k_2=2$，即反比例函数为$y=\frac{2}{x}$。
联立两个函数解析式得$\begin{cases}y=2x \\ y=\frac{2}{x} \end{cases}$，消去y得$2x=\frac{2}{x}$，整理得$x^2=1$，解得$x=1$或$x=-1$。
当$x=-1$时，$y=2×(-1)=-2$，即点N的坐标为$(-1,-2)$。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的性质；反比例函数的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与一次函数交点的典型基础题，利用中心对称性解题更简便，也可通过求解析式联立方程求解，两种方法都能快速得到结果。
【难度系数】
0.8
解题思路有两种：①回忆函数图象对称性：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点也关于原点对称，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，已知M点坐标即可直接推出N点坐标；②若不熟悉对称性，可先将M点坐标代入两个函数解析式，求出参数$k_1$、$k_2$的值，再联立两个函数解析式解方程组，即可得到另一个交点N的坐标。
【解析】
解法1（利用对称性）：
∵正比例函数$y = k_1x$和反比例函数$y = \frac{k_2}{x}$的图象都关于原点中心对称，
∴两个函数的交点M、N关于原点对称。
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，点M的坐标为$(1,2)$，
∴点N的坐标为$(-1,-2)$。
解法2（联立解析式求解）：
将$M(1,2)$代入$y = k_1x$，得$2=k_1×1$，解得$k_1=2$，即正比例函数为$y=2x$；
将$M(1,2)$代入$y = \frac{k_2}{x}$，得$2=\frac{k_2}{1}$，解得$k_2=2$，即反比例函数为$y=\frac{2}{x}$。
联立两个函数解析式得$\begin{cases}y=2x \\ y=\frac{2}{x} \end{cases}$，消去y得$2x=\frac{2}{x}$，整理得$x^2=1$，解得$x=1$或$x=-1$。
当$x=-1$时，$y=2×(-1)=-2$，即点N的坐标为$(-1,-2)$。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的性质；反比例函数的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与一次函数交点的典型基础题，利用中心对称性解题更简便，也可通过求解析式联立方程求解，两种方法都能快速得到结果。
【难度系数】
0.8
1.反比例函数 ①$y=\frac{2}{x}$,②$y=\frac{1}{x}$,③$7y=-\frac{10}{x}$,④$y=\frac{3}{100x}$的图象中,
（1）在第一、第三象限的是
（2）在其所在的每个象限内,y随x的增大而增大的是
（1）在第一、第三象限的是
①②④
,在第二、第四象限的是③
；（2）在其所在的每个象限内,y随x的增大而增大的是
③
.答案
1. （1）①②④；③ （2）③
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆反比例函数的核心性质：反比例函数的标准形式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $），当$ k＞0 $时，函数图象位于第一、第三象限，且在每个象限内$ y $随$ x $的增大而减小；当$ k＜0 $时，函数图象位于第二、第四象限，且在每个象限内$ y $随$ x $的增大而增大。解题第一步需要先将所有给出的函数整理为标准形式，确定每个函数的$ k $值，再对照性质逐一判断即可。
【解析】
首先将4个反比例函数整理为$ y=\frac{k}{x} $的标准形式，确定各函数的$ k $值：
①$ y=\frac{2}{x} $，可得$ k=2＞0 $；
②$ y=\frac{1}{x} $，可得$ k=1＞0 $；
③$ 7y=-\frac{10}{x} $，变形得$ y=\frac{-\frac{10}{7}}{x} $，可得$ k=-\frac{10}{7}＜0 $；
④$ y=\frac{3}{100x} $，变形得$ y=\frac{\frac{3}{100}}{x} $，可得$ k=\frac{3}{100}＞0 $。
（1）根据性质，$ k＞0 $的函数图象在第一、第三象限，即①②④；$ k＜0 $的函数图象在第二、第四象限，即③。
（2）根据性质，在每个象限内$ y $随$ x $的增大而增大的是$ k＜0 $的函数，即③。
【答案】
（1）①②④；③ （2）③
【知识点】
反比例函数的图象性质，反比例函数的增减性，反比例函数系数k的意义
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题的核心是准确识别每个反比例函数的系数$ k $，牢记$ k $的正负与图象所在象限、函数增减性的对应规律，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆反比例函数的核心性质：反比例函数的标准形式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $），当$ k＞0 $时，函数图象位于第一、第三象限，且在每个象限内$ y $随$ x $的增大而减小；当$ k＜0 $时，函数图象位于第二、第四象限，且在每个象限内$ y $随$ x $的增大而增大。解题第一步需要先将所有给出的函数整理为标准形式，确定每个函数的$ k $值，再对照性质逐一判断即可。
【解析】
首先将4个反比例函数整理为$ y=\frac{k}{x} $的标准形式，确定各函数的$ k $值：
①$ y=\frac{2}{x} $，可得$ k=2＞0 $；
②$ y=\frac{1}{x} $，可得$ k=1＞0 $；
③$ 7y=-\frac{10}{x} $，变形得$ y=\frac{-\frac{10}{7}}{x} $，可得$ k=-\frac{10}{7}＜0 $；
④$ y=\frac{3}{100x} $，变形得$ y=\frac{\frac{3}{100}}{x} $，可得$ k=\frac{3}{100}＞0 $。
（1）根据性质，$ k＞0 $的函数图象在第一、第三象限，即①②④；$ k＜0 $的函数图象在第二、第四象限，即③。
（2）根据性质，在每个象限内$ y $随$ x $的增大而增大的是$ k＜0 $的函数，即③。
【答案】
（1）①②④；③ （2）③
【知识点】
反比例函数的图象性质，反比例函数的增减性，反比例函数系数k的意义
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题的核心是准确识别每个反比例函数的系数$ k $，牢记$ k $的正负与图象所在象限、函数增减性的对应规律，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
