登录
8. 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 的顶点为 $ P(-1,k) $，且经过点 $ A(-3,0), N(t,n) $，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是(
A.$ n ＞ k $
B.$ k = 4n $
C.当 $ t = 3 $ 时，$ n = 0 $
D.$ -t - 2 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = n(a ≠ 0) $ 的一个根
D
)A.$ n ＞ k $
B.$ k = 4n $
C.当 $ t = 3 $ 时，$ n = 0 $
D.$ -t - 2 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = n(a ≠ 0) $ 的一个根
答案
8. D 解析
∵抛物线开口向下,抛物线的顶点为$P(-1,k),∴$当$x=-1$时,$y$有最大值$k. ∵N(t,n)$在抛物线上,$∴n＜k$,所以A选项不符合题意;当$n=-1$时,$k=4n=-4＜0$,这与$k＞0$矛盾,所以B选项不符合题意;
∵抛物线的对称轴为直线$x=-1$,抛物线与$x$轴的一个交点为$(-3,0),∴$抛物线与$x$轴的另一个交点为$(1,0)$,即$t=-3$或$1$时,$n=0$,所以C选项不符合题意;
∵点$N(t,n)$关于直线$x=-1$的对称点为$(-t-2,n),∴$抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=n$的交点为$(t,n),(-t-2,n),∴$关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=n(a≠0)$的根为$x_1=t,x_2=-t-2$,所以D选项符合题意. 故选D.
∵抛物线开口向下,抛物线的顶点为$P(-1,k),∴$当$x=-1$时,$y$有最大值$k. ∵N(t,n)$在抛物线上,$∴n＜k$,所以A选项不符合题意;当$n=-1$时,$k=4n=-4＜0$,这与$k＞0$矛盾,所以B选项不符合题意;
∵抛物线的对称轴为直线$x=-1$,抛物线与$x$轴的一个交点为$(-3,0),∴$抛物线与$x$轴的另一个交点为$(1,0)$,即$t=-3$或$1$时,$n=0$,所以C选项不符合题意;
∵点$N(t,n)$关于直线$x=-1$的对称点为$(-t-2,n),∴$抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=n$的交点为$(t,n),(-t-2,n),∴$关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=n(a≠0)$的根为$x_1=t,x_2=-t-2$,所以D选项符合题意. 故选D.
9. 平面直角坐标系内与点$P(-6,7)$关于原点对称的点的坐标是
(6,-7)
。答案
9. (6,-7)
10.点$A(m,n)$与点$B(3,4)$在同一条反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上.若$0＜m＜3$,则$n$的取值范围是
$n＞4$
.答案
10. $n＞4$
11. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AB是直径,点C是$\overset{\frown}{BD}$的中点.若$∠ A=50°$,则$∠ B =$
$65°$
.答案
11. $65°$
12.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx + 3 = 0$的一个根是1，则方程的另一个根为
3
。答案
12. 3
13. 如图，正方形ABCD内接于$\odot O$，$\odot O$的半径为2，若分别以AB，BC，CD，DA为折痕，将$\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{CD}$，$\overset{\frown}{DA}$向内折叠，则图中阴影部分的面积为
$16-4π$
。(结果保留$π$)答案
13. $16-4π$
14.如图,等边三角形ABC的边长为10,AD为BC边上的高,点E在AD上,将△ABE绕点B顺时针旋转$60°$得到△CBF,连接DF,则DF的最小值为
2.5
.答案
14. 2.5 解析
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=10,∠ABC=60°.
∵AD为BC边上的高,
∴BD=CD=$\frac{1}{2}BC=5$,∠BAD=$\frac{1}{2}∠BAC=30°$.
∵将△ABE绕点B按顺时针方向旋转60°得到△CBF,
∴△ABE≌△CBF,
∴∠BAE=∠BCF=30°,
∴点F在过点C且与BC成30°的直线上运动,
∴当DF⊥CF时,DF有最小值,
∴DF的最小值=$\frac{1}{2}CD=2.5$.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=10,∠ABC=60°.
∵AD为BC边上的高,
∴BD=CD=$\frac{1}{2}BC=5$,∠BAD=$\frac{1}{2}∠BAC=30°$.
∵将△ABE绕点B按顺时针方向旋转60°得到△CBF,
∴△ABE≌△CBF,
∴∠BAE=∠BCF=30°,
∴点F在过点C且与BC成30°的直线上运动,
∴当DF⊥CF时,DF有最小值,
∴DF的最小值=$\frac{1}{2}CD=2.5$.
三、解答题(本大题共8小题,共52分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(6分)解方程.
(1)$x^2 -4x -2=0$
(2)$x^2=5x$
15.(6分)解方程.
(1)$x^2 -4x -2=0$
(2)$x^2=5x$
答案
15. (1)$x_1=2+\sqrt{6},x_2=2-\sqrt{6}$ (2)$x_1=0,x_2=5$
16.(5分)如图,在平面直角坐标系中,已知$△ ABC$的三个顶点都在格点上.
(1)画出$△ ABC$关于原点$O$对称的$△ A_1B_1C_1$.
(2)将$△ ABC$绕点$B$顺时针旋转$90°$得到$△ A_2BC_2$,请在图中画出$△ A_2BC_2$,并求出线段$BC$旋转过程中所扫过的面积.
(1)画出$△ ABC$关于原点$O$对称的$△ A_1B_1C_1$.
(2)将$△ ABC$绕点$B$顺时针旋转$90°$得到$△ A_2BC_2$,请在图中画出$△ A_2BC_2$,并求出线段$BC$旋转过程中所扫过的面积.
答案
16. 解:(1)如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求.
(2)如图,$△ A_2BC_2$即为所求,由网格可得$BC=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$. $∵∠CBC_2=90°,∴\frac{90×π×(\sqrt{17})^2}{360}=\frac{17π}{4},∴$线段$BC$旋转过程中所扫过的面积为$\frac{17π}{4}$.