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三、解答题(本大题共8小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成,俯视图如图所示,其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数.
(1)这个几何体是由
(2)请画出它的主视图和左视图.
16.(8分)一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成,俯视图如图所示,其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数.
(1)这个几何体是由
12
个大小相同的小立方块搭成的.(2)请画出它的主视图和左视图.
答案
16. 解:(1)12 (2)如图所示.
主视图
左视图17.(8分)有五本形状相同的长方体书放置在方形书架中,如图所示,其中四本竖放,第五本斜放,点G正好在书架边框上.每本书的厚度为5 cm,高度为20 cm,书架长为40 cm,求FI的长.
答案
17. 解:由题知,$CI=BI-BC=40-5×4=20(\mathrm{cm})$,$EF=20\ \mathrm{cm},FG=5\ \mathrm{cm}$. $\because ∠EFC+∠CEF=90°$,$∠EFC+∠GFI=90°$,$\therefore ∠CEF=∠GFI$.
$\because ∠ECF=∠FIG=90°$,$\therefore △GIF∽ △FCE$,$\therefore \frac{FI}{EC}=\frac{FG}{EF}$,即 $\frac{FI}{EC}=\frac{5}{20}$,$\therefore CE=4FI$. 在$\mathrm{Rt}△CEF$中,由勾股定理得 $CE^2+CF^2=EF^2$,即$(4FI)^2+(20-FI)^2=20^2$,解得 $FI=\frac{40}{17}$ 或 0(舍去),$\therefore FI=\frac{40}{17}$.
$\because ∠ECF=∠FIG=90°$,$\therefore △GIF∽ △FCE$,$\therefore \frac{FI}{EC}=\frac{FG}{EF}$,即 $\frac{FI}{EC}=\frac{5}{20}$,$\therefore CE=4FI$. 在$\mathrm{Rt}△CEF$中,由勾股定理得 $CE^2+CF^2=EF^2$,即$(4FI)^2+(20-FI)^2=20^2$,解得 $FI=\frac{40}{17}$ 或 0(舍去),$\therefore FI=\frac{40}{17}$.
18. (10分)现有三场网络直播，这三场直播分别以A(机器人技术)、B(计算机视觉)、C(自然语言处理)为主题，对人工智能分别进行讲解，这三场直播同时开始.
(1)欢欢随机选择一场进行观看，选择机器人技术的概率为
(2)欢欢和乐乐随机选择一场进行观看，请用列表或画树状图的方法，求他们同时选择计算机视觉的概率.
(1)欢欢随机选择一场进行观看，选择机器人技术的概率为
$\dfrac{1}{3}$
.(2)欢欢和乐乐随机选择一场进行观看，请用列表或画树状图的方法，求他们同时选择计算机视觉的概率.
答案
18. 解:(1)$\frac{1}{3}$ (2)画树状图如下.
从树状图可以看出,一共有 9 种等可能的结果,其中他们同时选择计算机视觉的结果只有 1 种,因此他们同时选择计算机视觉的概率为 $\frac{1}{9}$.
19.(12分)太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业.图①是太阳能电板，图②是其截面示意图，其中GF为太阳能电板，AE，CD均为钢架且垂直于地面DE，AB为水平钢架且垂直于CD，已知太阳能电板$GF=1.8\ \mathrm{m}$，测得电板上两个支撑点的距离$AC=1\ \mathrm{m}$，钢架连接点$BC=0.8\ \mathrm{m}$.若某一时刻的太阳光线垂直照射GF，求太阳能电板GF的影子EH的长.
答案
19. 解:如图,过点 E 作 $EM⊥ FH$ 于点 M.
由题意,得 $AE⊥ DE,CD⊥ DE,AB⊥ CD,GE⊥ GF,FH⊥ GF,\therefore ∠AED=∠BDE=∠ABD=90°,∠AGE=∠GFH=90°$,$\therefore$ 四边形 ABDE 是矩形,$\therefore ∠BAE=90°,EM=GF=1.8\ \mathrm{m}$,$\therefore ∠1+∠2=90°$. $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△AEG$ 中,$∠AGE=90°$,$\therefore ∠1+∠3=90°$,$\therefore ∠2=∠3$. $\because ∠AGE=∠GFH=∠EMF=90°$,$\therefore$ 四边形 EGFM 是矩形,$\therefore ∠GEM=90°$,$\therefore ∠3+∠4=90°$. $\because ∠AED=90°$,$\therefore ∠4+∠5=90°$,$\therefore ∠2=∠3=∠5$.
$\because ∠ABC=∠EMH=90°$,$\therefore △ABC∽ △EMH$,$\therefore \frac{AB}{EM}=\frac{AC}{EH}$. 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,由勾股定理,得 $AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=0.6\ \mathrm{m}$,$\therefore \frac{0.6}{1.8}=\frac{1}{EH}$,解得 $EH=3\ \mathrm{m}$. 答:太阳能电板 GF 的影子 EH 的长为 3 m.
20.(12分)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$为$BC$边的中点,连接$AD$,点$E,F$分别在$AB$,$AC$上,且$ED⊥ FD$,$G$是$AB$上不与点$E$重合的点,连接$CG$交$FD$于点$H$,$AD· DH=DE· DB$.
(1)求证:$CG⊥ AB$.
(2)若四边形$DEGH$为平行四边形,求证:$AD^2=2AE· AF$.
(1)求证:$CG⊥ AB$.
(2)若四边形$DEGH$为平行四边形,求证:$AD^2=2AE· AF$.
答案
20. 证明:(1) $\because AB=AC$,点 D 为 BC 边的中点,$\therefore AD⊥ BC,BD=CD$,$\therefore ∠ADC=90°$. $\because ED⊥ FD$,$\therefore ∠EDF=90°$,$\therefore ∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDH=90°$,$\therefore ∠ADE=∠CDH$.
$\because AD· DH=DE· DB$,$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{DE}{DH}$,$\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{DE}{DH}$,即 $\frac{AD}{DE}=\frac{CD}{DH}$,$\therefore △ADE∽ △CDH$,$\therefore ∠BAD=∠DCH$. $\because ∠BAD+∠AGC=∠DCH+∠ADC$,$\therefore ∠AGC=∠ADC=90°$,$\therefore CG⊥ AB$. (2) $\because$ 四边形 DEGH 为平行四边形,$\therefore EG// DH,DE// GH$,$\therefore AB// DF$,$\therefore △ABC∽ △FDC$,$\therefore \frac{BC}{DC}=\frac{AC}{FC}=2$,$\therefore AC=2CF$,$\therefore AB=AC=2AF=2CF$. 又$\because DE// GH,CG⊥ AB$,$\therefore DE⊥ AB$,即 $∠AED=90°=∠ADB$,$\therefore ∠BAD+∠B=∠BAD+∠ADE=90°$,$\therefore ∠B=∠ADE$,$\therefore △ADE∽ △ABD$,$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AD}$,$\therefore AD^2=AE· AB$,$\therefore AD^2=2AE· AF$.
$\because AD· DH=DE· DB$,$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{DE}{DH}$,$\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{DE}{DH}$,即 $\frac{AD}{DE}=\frac{CD}{DH}$,$\therefore △ADE∽ △CDH$,$\therefore ∠BAD=∠DCH$. $\because ∠BAD+∠AGC=∠DCH+∠ADC$,$\therefore ∠AGC=∠ADC=90°$,$\therefore CG⊥ AB$. (2) $\because$ 四边形 DEGH 为平行四边形,$\therefore EG// DH,DE// GH$,$\therefore AB// DF$,$\therefore △ABC∽ △FDC$,$\therefore \frac{BC}{DC}=\frac{AC}{FC}=2$,$\therefore AC=2CF$,$\therefore AB=AC=2AF=2CF$. 又$\because DE// GH,CG⊥ AB$,$\therefore DE⊥ AB$,即 $∠AED=90°=∠ADB$,$\therefore ∠BAD+∠B=∠BAD+∠ADE=90°$,$\therefore ∠B=∠ADE$,$\therefore △ADE∽ △ABD$,$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AD}$,$\therefore AD^2=AE· AB$,$\therefore AD^2=2AE· AF$.
