21.(12分)学习数学贵在解决实际问题,某校数学兴趣小组准备利用所学数学知识来测量一个山脚下的信号塔的高度,设计了如下测量方案.
| 课题 | 测量信号塔的高度 |
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| 测量工具 | 测量角度的仪器、标杆、皮尺等 |
| 测量示意图与测量数据 | 如图,点A,B,C,D,M均在同一竖直平面内,线段AB的长度表示信号塔的高度,点B表示坡底角处,BC表示斜坡,BM表示坡底水平线,CD平行于水平线BM.同学们测得$∠ CBM=30°$,斜坡BC的长为20 m,在点D处测得信号塔最高点A的仰角为$35°$,CD的长为$4\sqrt{3}$ m. |
| 参考数据 | $\sin 35° \approx 0.57, \cos 35° \approx 0.82, \tan 35° \approx 0.70, \sqrt{3} \approx 1.7$ |
| 任务 | 求信号塔AB的高.(结果精确到1 m) |

21. 解:如图,延长 DC 交 AB 于点 E,则 $DE// BM$.
$\because AB⊥ BM$,$\therefore ∠ABM=90°$. $\because DE// BM$,$\therefore ∠ECB=∠CBM=30°$,$∠AED=∠ABM=90°$,$\therefore DE⊥ AB$. 在 $\mathrm{Rt}△BEC$ 中,$BE=\frac{1}{2}BC=10\ \mathrm{m}$,$CE=BC· \cos 30°=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$,$\therefore DE=CD+CE=14\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,$\therefore AE=DE· \tan 35° \approx14\sqrt{3}×0.70\approx17(\mathrm{m})$,$\therefore AB=AE+BE=17+10=27(\mathrm{m})$. 答:信号塔 AB 的高为 27 m.

22. (14分)【特例猜想】如图①,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,以$AB$为直径作圆$O$,设其半径为$r$,三边长分别为$a,b,c$,由锐角三角函数定义可得,$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{2r}$,$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{2r}$,$\sin C=\frac{AB}{AB}=\frac{c}{2r}$,经变形可得,$\frac{a}{\sin A}=2r$,$\frac{b}{\sin B}=2r$,$\frac{c}{\sin C}=2r$,因此$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2r$.
【推广证明】(1)进一步研究发现,$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2r$不仅在直角三角形中成立,在任意的三角形中都成立.请你利用图②证明$\frac{a}{\sin A}=2r$.
【实际应用】(2)如图③,在$△ ABC$中,$∠ B$为钝角,$r$为$△ ABC$的外接圆的半径.若$r=\frac{5\sqrt{5}}{2}$,$BC=5$,$AC=10$,求$△ ABC$的面积.

22. (1)证明:如图①,连接 CO 并延长,交$\odot O$于点 D,连接 BD. 在 $\mathrm{Rt}△BCD$ 中,$\sin D=\frac{BC}{CD}=\frac{a}{2r}$,$\therefore \frac{a}{\sin D}=2r$. $\because ∠A=∠D$,$\therefore \sin A=\sin D$,$\therefore \frac{a}{\sin A}=2r$. (2)解:如图②,过点 B 作 $BE⊥ AC$. 由(1)得 $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=2r=5\sqrt{5}$,$\therefore \sin A=\frac{BC}{2r}=\frac{5}{5\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$. 在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 中,$\sin A=\frac{BE}{AB}$,$\therefore BE=\frac{\sqrt{5}}{5}AB$,$\therefore AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}AB$.
$\because AC=10$,$\therefore CE=10-AE=10-\frac{2\sqrt{5}}{5}AB$. $\because CE^2+BE^2=CB^2$,$\therefore (10-\frac{2\sqrt{5}}{5}AB)^2+(\frac{\sqrt{5}}{5}AB)^2=5^2$,解得 $AB=5\sqrt{5}$ 或 $3\sqrt{5}$. $\because ∠B$ 为钝角,$\therefore AC=10$ 为最长边,$\therefore AB=5\sqrt{5}$ 不符合题意,舍去,$\therefore AB=3\sqrt{5}$,$\therefore BE=\frac{\sqrt{5}}{5}×3\sqrt{5}=3$,$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BE=\frac{1}{2}×10×3=15$.

23.(14分)综合与实践
【问题呈现】(1)如图①，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.求证:BD=CE.
【类比探究】(2)如图②，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD，CE，则$\frac{BD}{CE}=$.
【拓展提升】(3)如图③，△ABC∽△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD，CE，若$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{4}$.
①求$\frac{BD}{CE}$的值.
②延长CE交BD于点F，则$\sin∠BFC=$.

23. (1)证明: $\because △ABC$ 和 $△ADE$ 都是等边三角形,$\therefore AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°$. $\because ∠BAC=∠BAE+∠CAE$,$∠DAE=∠BAE+∠DAB$,$\therefore ∠DAB=∠EAC$.
在 $△DAB$ 和 $△EAC$ 中,$\begin{cases}AD=AE \\ ∠DAB=∠EAC \\ AB=AC\end{cases}$
$\therefore △DAB≌ △EAC(\mathrm{SAS})$,$\therefore BD=CE$.
(2)$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 解析 $\because △ABC$ 和 $△ADE$ 都是等腰直角三角形,$∠ABC=∠ADE=90°$,$\therefore AC=\sqrt{2}AB$,$AE=\sqrt{2}AD$,$∠BAC=∠DAE=45°$,$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. $\because ∠BAC=∠BAE+∠CAE$,$∠DAE=∠BAE+∠BAD$,$\therefore ∠CAE=∠BAD$,$\therefore △CAE∽ △BAD$,$\therefore \frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,故答案为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(3)①解: $\because ∠ABC=90°$,$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{4}$,$\therefore$ 设 $AB=\sqrt{2}k$,则 $BC=4k$,$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=3\sqrt{2}k$,$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{2}k}{3\sqrt{2}k}=\frac{1}{3}$. $\because △ABC∽ △ADE$,$∠ABC=∠ADE=90°$,$\therefore ∠BAC=∠DAE$,$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$.
$\because ∠BAC=∠BAE+∠CAE$,$∠DAE=∠BAE+∠DAB$,$\therefore ∠CAE=∠DAB$,$\therefore △CAE∽ △BAD$,$\therefore \frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{3}$. ②$\frac{2\sqrt{2}}{3}$ 解析 设 AB,CF 交于点 G,如图. $\because △CAE∽ △BAD$,$\therefore ∠DBA=∠ECA$. $\because ∠FGB=∠AGC$,$\therefore ∠BFC=∠CAB$,$\therefore \sin∠BFC=\sin∠CAB=\frac{BC}{AC}=\frac{4k}{3\sqrt{2}k}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$,故答案为 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.