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1.（2025·新疆中考）如图，$AD=BC$，$∠ DAB=∠ CBA$.求证:$AC=BD$.
答案
1. 证明:在$△ DAB$ 和$△ CBA$ 中,$\begin{cases} AD=BC \\ ∠ DAB=∠ CBA \\ AB=BA \end{cases}$
$\therefore △ DAB ≌ △ CBA (\mathrm{SAS}), \therefore BD = AC$,即$AC=BD$.
$\therefore △ DAB ≌ △ CBA (\mathrm{SAS}), \therefore BD = AC$,即$AC=BD$.
2.(乌鲁木齐模拟)如图,点 D 是$△ ABC$的边 BC 延长线上的一点,$BD=AB,DE// AB,DE=BC$.求证:$AC=BE$.
答案
2. 证明:$\because DE// AB,\therefore ∠ ABC=∠ BDE$. 在$△ ABC$和$△ BDE$ 中,$\begin{cases} AB=BD \\ ∠ ABC=∠ BDE \\ BC=DE \end{cases}$,$\therefore △ ABC ≌ △ BDE(\mathrm{SAS}),\therefore AC=BE$.
3.(吐鲁番模拟)如图,点B,C,E在同一条直线上,AC//DE,∠B=∠D,BC=DE.求证:AC=CE.
答案
3. 证明:$\because$ 点 B,C,E 在同一条直线上,$AC// DE$,$\therefore ∠ ACB = ∠ E$. 在 $△ ABC$ 和 $△ CDE$ 中,$\begin{cases} ∠ ACB=∠ E \\ BC=DE \\ ∠ B=∠ D \end{cases}$,$\therefore △ ABC≌△ CDE(\mathrm{ASA}),\therefore AC=CE$.
4. 如图，已知$△ ABC ≌ △ DEF$，边BC与EF，DF分别交于点O，M，AC与EF交于点N，OB = OE. 求证：$△ MOF ≌ △ NOC.$
答案
4. 证明:$\because △ ABC≌△ DEF,\therefore BC=EF,∠ C=∠ F$.
$\because OB=OE,\therefore BC-OB=EF-OE$,即 $OC=OF$.
在 $△ MOF$ 和 $△ NOC$ 中,$\begin{cases} ∠ MOF=∠ NOC \\ OF=OC \\ ∠ F=∠ C \end{cases}$
$\therefore △ MOF≌△ NOC(\mathrm{ASA})$.
$\because OB=OE,\therefore BC-OB=EF-OE$,即 $OC=OF$.
在 $△ MOF$ 和 $△ NOC$ 中,$\begin{cases} ∠ MOF=∠ NOC \\ OF=OC \\ ∠ F=∠ C \end{cases}$
$\therefore △ MOF≌△ NOC(\mathrm{ASA})$.
