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1. (2025·宜宾)如图4,AB是$\odot O$的弦,半径$OC ⊥ AB$于点D。若$AB=8,OC=5$,则OD的长是 ()
A.3
B.2
C.6
D.$\frac{5}{2}$
A.3
B.2
C.6
D.$\frac{5}{2}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：半径OC垂直于弦AB，优先联想到垂径定理，可得到AB被平分，算出半弦长；其次圆的半径都相等，可得到OA的长度等于OC；最后连接OA构造出直角三角形ODA，利用勾股定理即可求出OD的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵ OC是$\odot O$的半径，$OC ⊥ AB$，$AB=8$，
根据垂径定理可得：$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∵ $OC=5$，
∴ $OA=OC=5$（同圆的半径相等），
在$Rt△ ODA$中，$∠ ODA=90°$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，
即OD的长是3。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的半径性质
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题核心是结合垂径定理构造直角三角形，将圆的相关问题转化为直角三角形的边长计算问题，属于高频基础考点。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件：半径OC垂直于弦AB，优先联想到垂径定理，可得到AB被平分，算出半弦长；其次圆的半径都相等，可得到OA的长度等于OC；最后连接OA构造出直角三角形ODA，利用勾股定理即可求出OD的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵ OC是$\odot O$的半径，$OC ⊥ AB$，$AB=8$，
根据垂径定理可得：$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∵ $OC=5$，
∴ $OA=OC=5$（同圆的半径相等），
在$Rt△ ODA$中，$∠ ODA=90°$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，
即OD的长是3。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的半径性质
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题核心是结合垂径定理构造直角三角形，将圆的相关问题转化为直角三角形的边长计算问题，属于高频基础考点。
【难度系数】
0.8
2. (2024·通辽)如图5,圆形拱门最下端AB在地面上,D为AB的中点,C为拱门最高点,线段CD经过拱门所在圆的圆心。若AB=1 m,CD=2.5 m,则拱门所在圆的半径为 ()
A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
答案
B
解析
【分析】
本题考查圆中线段长度的计算，解题思路如下：①首先根据“CD过圆心，D是AB中点”，结合垂径定理可得CD⊥AB，同时算出AD的长度；②设圆的半径为r，用含r的式子表示直角三角形的各边：半径OA=r，圆心到AB的距离OD=CD-r，AD=0.5m；③在直角三角形中利用勾股定理列方程，求解即可得到半径长度。
【解析】
连接OA，设拱门所在圆的半径为$ r \, \mathrm{m} $。
∵ D为AB的中点，CD经过圆心，
根据垂径定理可得：$ CD ⊥ AB $，$ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 1 = 0.5 \, \mathrm{m} $。
∵ OA、OC均为圆的半径，
∴ $ OA = OC = r \, \mathrm{m} $，则 $ OD = CD - OC = (2.5 - r) \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $，
代入数据得：$ r^2 = 0.5^2 + (2.5 - r)^2 $，
展开计算：$ r^2 = 0.25 + 6.25 - 5r + r^2 $，
消去$ r^2 $后整理得：$ 5r = 6.5 $，
解得：$ r = 1.3 $。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求线段长度的常规题型，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
本题考查圆中线段长度的计算，解题思路如下：①首先根据“CD过圆心，D是AB中点”，结合垂径定理可得CD⊥AB，同时算出AD的长度；②设圆的半径为r，用含r的式子表示直角三角形的各边：半径OA=r，圆心到AB的距离OD=CD-r，AD=0.5m；③在直角三角形中利用勾股定理列方程，求解即可得到半径长度。
【解析】
连接OA，设拱门所在圆的半径为$ r \, \mathrm{m} $。
∵ D为AB的中点，CD经过圆心，
根据垂径定理可得：$ CD ⊥ AB $，$ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 1 = 0.5 \, \mathrm{m} $。
∵ OA、OC均为圆的半径，
∴ $ OA = OC = r \, \mathrm{m} $，则 $ OD = CD - OC = (2.5 - r) \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $，
代入数据得：$ r^2 = 0.5^2 + (2.5 - r)^2 $，
展开计算：$ r^2 = 0.25 + 6.25 - 5r + r^2 $，
消去$ r^2 $后整理得：$ 5r = 6.5 $，
解得：$ r = 1.3 $。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求线段长度的常规题型，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
3. 在$\odot O$中，直径$AB=15$，弦$DE ⊥ AB$于点$C$。若$OC:OB=3:5$，则$DE$的长为（）
A.6
B.9
C.12
D.15
A.6
B.9
C.12
D.15
答案
C
解析
【分析】
解题可按以下思路推导：首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此求DE的长度可转化为先求DE的一半（即CD或CE）的长度。第一步先根据直径长度求出圆的半径；第二步按OC和OB的比例求出OC的长度；第三步连接半径OD构造直角三角形，用勾股定理求出半弦长CD；最后根据垂径定理得出DE=2CD，计算得到最终结果。
【解析】
解：连接OD
∵AB是⊙O的直径，AB=15
∴⊙O的半径$OB=OD=\frac{1}{2}AB=7.5$
∵$OC:OB=3:5$
∴$OC=\frac{3}{5}× OB=\frac{3}{5}×7.5=4.5$
∵$DE⊥AB$，AB为⊙O的直径，由垂径定理可得：$CD=CE=\frac{1}{2}DE$
在$Rt△ OCD$中，根据勾股定理：
$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{7.5^2-4.5^2}=\sqrt{36}=6$
∴$DE=2CD=2×6=12$
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求弦长的典型题型，解题核心是结合垂径定理和勾股定理，将弦长计算转化为直角三角形的边长计算，构造含半径、弦心距、半弦长的直角三角形是解题关键。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路推导：首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此求DE的长度可转化为先求DE的一半（即CD或CE）的长度。第一步先根据直径长度求出圆的半径；第二步按OC和OB的比例求出OC的长度；第三步连接半径OD构造直角三角形，用勾股定理求出半弦长CD；最后根据垂径定理得出DE=2CD，计算得到最终结果。
【解析】
解：连接OD
∵AB是⊙O的直径，AB=15
∴⊙O的半径$OB=OD=\frac{1}{2}AB=7.5$
∵$OC:OB=3:5$
∴$OC=\frac{3}{5}× OB=\frac{3}{5}×7.5=4.5$
∵$DE⊥AB$，AB为⊙O的直径，由垂径定理可得：$CD=CE=\frac{1}{2}DE$
在$Rt△ OCD$中，根据勾股定理：
$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{7.5^2-4.5^2}=\sqrt{36}=6$
∴$DE=2CD=2×6=12$
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求弦长的典型题型，解题核心是结合垂径定理和勾股定理，将弦长计算转化为直角三角形的边长计算，构造含半径、弦心距、半弦长的直角三角形是解题关键。
【难度系数】
0.7
4. 如图6,将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上,测得瓶高AB=20 cm,底面直径BC=12 cm,球的最高点到瓶底面的距离为32 cm,则球的半径为 cm。(玻璃瓶厚度忽略不计)
答案
$\boldsymbol{7.5}$
解析
【分析】
首先梳理已知条件：圆柱形玻璃瓶底面直径为12cm，因此圆柱上沿所在平面截球得到的截面圆半径为6cm；瓶高AB=20cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，因此截面到球最高点的距离为32-20=12cm。接下来设球的半径为r cm，分析几何关系可知球心在截面下方，球心到截面的距离为$(12 - r)$cm。根据圆的对称性（垂径定理），球心到截面的距离、截面圆半径、球的半径可构成直角三角形，满足勾股定理，据此列方程即可求解r。
【解析】
设球的半径为$ r $ cm。
1. 计算截面相关量：
圆柱底面直径为12cm，因此截面（圆柱上沿所在平面）截球所得的截面圆半径为$ \frac{12}{2}=6 $ cm；
球最高点到截面的距离为$ 32 - 20 = 12 $ cm，因此球心到截面的距离为$ (12 - r) $ cm。
2. 根据垂径定理结合勾股定理列方程：
球心到截面的距离、截面圆半径、球半径构成直角三角形，因此：
$ (12 - r)^2 + 6^2 = r^2 $
3. 解方程：
展开得：$ 144 - 24r + r^2 + 36 = r^2 $
消去$ r^2 $，整理得：$ 24r = 180 $
解得：$ r = \frac{180}{24} = 7.5 $
【答案】
$\boldsymbol{7.5}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的对称性
【点评】
本题是圆的对称性的实际应用问题，解题的核心是将实物模型转化为几何中的圆与截面的模型，找到直角三角形的三边关系列方程求解，能有效考查学生的建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
首先梳理已知条件：圆柱形玻璃瓶底面直径为12cm，因此圆柱上沿所在平面截球得到的截面圆半径为6cm；瓶高AB=20cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，因此截面到球最高点的距离为32-20=12cm。接下来设球的半径为r cm，分析几何关系可知球心在截面下方，球心到截面的距离为$(12 - r)$cm。根据圆的对称性（垂径定理），球心到截面的距离、截面圆半径、球的半径可构成直角三角形，满足勾股定理，据此列方程即可求解r。
【解析】
设球的半径为$ r $ cm。
1. 计算截面相关量：
圆柱底面直径为12cm，因此截面（圆柱上沿所在平面）截球所得的截面圆半径为$ \frac{12}{2}=6 $ cm；
球最高点到截面的距离为$ 32 - 20 = 12 $ cm，因此球心到截面的距离为$ (12 - r) $ cm。
2. 根据垂径定理结合勾股定理列方程：
球心到截面的距离、截面圆半径、球半径构成直角三角形，因此：
$ (12 - r)^2 + 6^2 = r^2 $
3. 解方程：
展开得：$ 144 - 24r + r^2 + 36 = r^2 $
消去$ r^2 $，整理得：$ 24r = 180 $
解得：$ r = \frac{180}{24} = 7.5 $
【答案】
$\boldsymbol{7.5}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的对称性
【点评】
本题是圆的对称性的实际应用问题，解题的核心是将实物模型转化为几何中的圆与截面的模型，找到直角三角形的三边关系列方程求解，能有效考查学生的建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
5. 如图7,A,B,C是$\odot O$上的三点,$AB// OC$。
(1)求证:AC平分$∠ OAB$。
(2)过点O作$OE⊥ AB$于点E,交AC于点P。若$AB=2,∠ AOE=30°$,求PE的长。
(1)求证:AC平分$∠ OAB$。
(2)过点O作$OE⊥ AB$于点E,交AC于点P。若$AB=2,∠ AOE=30°$,求PE的长。
答案
(1) 证明：
∵ OA、OC是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OC$，
∴ $∠ OAC=∠ OCA$。
∵ $AB// OC$，
∴ $∠ BAC=∠ OCA$，
∴ $∠ OAC=∠ BAC$，
即$AC$平分$∠ OAB$。
---
(2) 解：
∵ $OE⊥ AB$，由垂径定理得：
$AE=\frac{1}{2}AB$，
∵ $AB=2$，
∴ $AE=1$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，$∠ AOE=30°$，
∴ $∠ OAE=90°-∠ AOE=60°$，
由(1)知$AC$平分$∠ OAB$，
∴ $∠ PAE=\frac{1}{2}∠ OAE=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ APE$中，$∠ AEP=90°$，$∠ PAE=30°$，$AE=1$，
设$PE=x$，则$AP=2x$，由勾股定理：
$AE^2 + PE^2 = AP^2$，
即$1^2 + x^2=(2x)^2$，
解得$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍去负根）。
∴ $PE$的长为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
∵ OA、OC是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OC$，
∴ $∠ OAC=∠ OCA$。
∵ $AB// OC$，
∴ $∠ BAC=∠ OCA$，
∴ $∠ OAC=∠ BAC$，
即$AC$平分$∠ OAB$。
---
(2) 解：
∵ $OE⊥ AB$，由垂径定理得：
$AE=\frac{1}{2}AB$，
∵ $AB=2$，
∴ $AE=1$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，$∠ AOE=30°$，
∴ $∠ OAE=90°-∠ AOE=60°$，
由(1)知$AC$平分$∠ OAB$，
∴ $∠ PAE=\frac{1}{2}∠ OAE=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ APE$中，$∠ AEP=90°$，$∠ PAE=30°$，$AE=1$，
设$PE=x$，则$AP=2x$，由勾股定理：
$AE^2 + PE^2 = AP^2$，
即$1^2 + x^2=(2x)^2$，
解得$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍去负根）。
∴ $PE$的长为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
解析
【分析】
(1) 要证AC平分∠OAB，只需证明∠OAC=∠BAC即可。首先利用同圆半径相等得到OA=OC，推出∠OAC=∠OCA，再结合AB//OC的内错角相等性质，得到∠BAC=∠OCA，等量代换即可证得两角相等，完成角平分线的证明。
(2) 先根据垂径定理，由OE⊥AB求出AE的长度；再在Rt△AOE中利用直角三角形两锐角互余求出∠OAE的度数，结合(1)的角平分线结论得到∠PAE的度数；最后在Rt△APE中，利用含30°角的直角三角形的边长关系结合勾股定理即可求出PE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ OA、OC是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OC$，
∴ $∠ OAC=∠ OCA$。
∵ $AB// OC$，
∴ $∠ BAC=∠ OCA$，
∴ $∠ OAC=∠ BAC$，
即$AC$平分$∠ OAB$。
(2) 解：
∵ $OE⊥ AB$，由垂径定理得：
$AE=\frac{1}{2}AB$，
∵ $AB=2$，
∴ $AE=1$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，$∠ AOE=30°$，
∴ $∠ OAE=90°-∠ AOE=60°$，
由(1)知$AC$平分$∠ OAB$，
∴ $∠ PAE=\frac{1}{2}∠ OAE=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ APE$中，$∠ AEP=90°$，$∠ PAE=30°$，$AE=1$，
设$PE=x$，则$AP=2x$，由勾股定理：
$AE^2 + PE^2 = AP^2$，
即$1^2 + x^2=(2x)^2$，
解得$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍去负根）。
【答案】
(1) AC平分$∠ OAB$，证明成立；(2) $PE=\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
垂径定理、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将圆的基本性质与平行线、等腰三角形、特殊直角三角形的知识点结合考察，解题时要注意前后问的关联，第一问的结论可直接用于第二问的求解，整体难度不高，需注意解题步骤的逻辑性和完整性。
【难度系数】
0.7
(1) 要证AC平分∠OAB，只需证明∠OAC=∠BAC即可。首先利用同圆半径相等得到OA=OC，推出∠OAC=∠OCA，再结合AB//OC的内错角相等性质，得到∠BAC=∠OCA，等量代换即可证得两角相等，完成角平分线的证明。
(2) 先根据垂径定理，由OE⊥AB求出AE的长度；再在Rt△AOE中利用直角三角形两锐角互余求出∠OAE的度数，结合(1)的角平分线结论得到∠PAE的度数；最后在Rt△APE中，利用含30°角的直角三角形的边长关系结合勾股定理即可求出PE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ OA、OC是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OC$，
∴ $∠ OAC=∠ OCA$。
∵ $AB// OC$，
∴ $∠ BAC=∠ OCA$，
∴ $∠ OAC=∠ BAC$，
即$AC$平分$∠ OAB$。
(2) 解：
∵ $OE⊥ AB$，由垂径定理得：
$AE=\frac{1}{2}AB$，
∵ $AB=2$，
∴ $AE=1$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，$∠ AOE=30°$，
∴ $∠ OAE=90°-∠ AOE=60°$，
由(1)知$AC$平分$∠ OAB$，
∴ $∠ PAE=\frac{1}{2}∠ OAE=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ APE$中，$∠ AEP=90°$，$∠ PAE=30°$，$AE=1$，
设$PE=x$，则$AP=2x$，由勾股定理：
$AE^2 + PE^2 = AP^2$，
即$1^2 + x^2=(2x)^2$，
解得$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍去负根）。
【答案】
(1) AC平分$∠ OAB$，证明成立；(2) $PE=\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
垂径定理、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将圆的基本性质与平行线、等腰三角形、特殊直角三角形的知识点结合考察，解题时要注意前后问的关联，第一问的结论可直接用于第二问的求解，整体难度不高，需注意解题步骤的逻辑性和完整性。
【难度系数】
0.7
