10. 如图,在锐角三角形ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,M,N分别是线段BC,DE的中点.
(1) 求证:MN⊥DE;
(2) 若∠A=45°,探究MN与DE的数量关系并加以证明.

(1) 证明：
连接MD，ME。
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠CDB=90°。
∵ M是BC的中点，
∴ $MD=\frac{1}{2}BC$（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
同理，BE是AC边上的高，M是BC的中点，
∴ $ME=\frac{1}{2}BC$。
∴ $MD=ME$。
又∵ N是DE的中点，
∴ $MN⊥ DE$（等腰三角形三线合一）。
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(2) 解：$DE=2MN$（或$MN=\frac{1}{2}DE$），证明如下：
∵ ∠A=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴ ∠ABE=90°-∠A=45°，∠ACD=90°-∠A=45°。
∵ $MD=MB$，
∴ ∠MDB=∠ABC，
∴ ∠BMD=180°-2∠ABC。
∵ $ME=MC$，
∴ ∠MEC=∠ACB，
∴ ∠CME=180°-2∠ACB。
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=45°，
∴ ∠ABC+∠ACB=135°。
∴ ∠BMD+∠CME
$=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB$
$=360°-2(∠ABC+∠ACB)$
$=360°-2×135°=90°$。
∴ ∠DME=180°-(∠BMD+∠CME)=90°。
又∵ $MD=ME$，N是DE的中点，
∴ MN是等腰Rt△DME斜边DE上的中线，
∴ $MN=\frac{1}{2}DE$，即$DE=2MN$。