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12.小明同学不会用乘法分配律，把$15×a + 15×3$错误地算成了$(15 + 15)×(a + 3)$，正确的算法应是（
A.$15×3$
B.$15×(a + 3)$
C.$5×(a + 3)$
D.$5×a$
B
）A.$15×3$
B.$15×(a + 3)$
C.$5×(a + 3)$
D.$5×a$
答案
12.B
解析
【分析】
这道题考查乘法分配律的逆用，解题时首先回忆乘法分配律的形式：两个数分别和同一个数相乘，再把积相加，等于把这两个数的和与这个相同的数相乘。观察原式$15×a + 15×3$，两个乘法项都含有相同因数15，所以我们可以把公共因数15提取出来，将剩下的a和3相加，再和15相乘，就能得到正确的化简结果，再对应选项判断即可。
【解析】
根据乘法分配律的逆运算规则：$ac + bc = c(a + b)$，
对原式$15×a + 15×3$进行化简，提取公共因数15，可得：
$15×a + 15×3 = 15×(a + 3)$
因此正确答案选B。
【答案】
B
【知识点】
乘法分配律；有理数乘法运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查乘法分配律的应用，同学们要熟练掌握乘法分配律的正、逆使用方法，避免混淆运算规则出现题目中的错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查乘法分配律的逆用，解题时首先回忆乘法分配律的形式：两个数分别和同一个数相乘，再把积相加，等于把这两个数的和与这个相同的数相乘。观察原式$15×a + 15×3$，两个乘法项都含有相同因数15，所以我们可以把公共因数15提取出来，将剩下的a和3相加，再和15相乘，就能得到正确的化简结果，再对应选项判断即可。
【解析】
根据乘法分配律的逆运算规则：$ac + bc = c(a + b)$，
对原式$15×a + 15×3$进行化简，提取公共因数15，可得：
$15×a + 15×3 = 15×(a + 3)$
因此正确答案选B。
【答案】
B
【知识点】
乘法分配律；有理数乘法运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查乘法分配律的应用，同学们要熟练掌握乘法分配律的正、逆使用方法，避免混淆运算规则出现题目中的错误。
【难度系数】
0.8
13. 下列运算过程：
①$(3 - 4\frac{1}{2})×2 = 3 - 4\frac{1}{2}×2$；
②$-4×(-7)×(-125) = -(4×125×7)$；
③$9\frac{18}{19}×15 = (10 - \frac{1}{19})×15 = 150 - \frac{15}{19}$；
④$[3×(-2)]×(-5) = 3×2×5$。
其中错误的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$(3 - 4\frac{1}{2})×2 = 3 - 4\frac{1}{2}×2$；
②$-4×(-7)×(-125) = -(4×125×7)$；
③$9\frac{18}{19}×15 = (10 - \frac{1}{19})×15 = 150 - \frac{15}{19}$；
④$[3×(-2)]×(-5) = 3×2×5$。
其中错误的有 （
A
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
13.A
解析
【分析】
本题考查有理数乘法的相关运算规则，解题时需逐个验证4个运算过程是否正确：首先回忆乘法分配律、乘法交换律与结合律的使用要求，以及多个有理数相乘的符号判断法则，逐一判断每个式子的正误，最后统计错误的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个运算过程：
① 根据乘法分配律，$(a-b)×c = a×c - b×c$，因此$(3 - 4\frac{1}{2})×2 = 3×2 - 4\frac{1}{2}×2$，原式漏乘了3，运算错误；
② 多个非零有理数相乘，负因数个数为奇数时，积为负。式子中有3个负因数，积为负，再结合乘法交换律、结合律可得：$-4×(-7)×(-125) = -(4×125×7)$，运算正确；
③ 可将$9\frac{18}{19}$变形为$10 - \frac{1}{19}$，再用乘法分配律计算：$(10 - \frac{1}{19})×15 = 10×15 - \frac{1}{19}×15 = 150 - \frac{15}{19}$，属于正确的简便运算，运算正确；
④ 根据乘法结合律，$[3×(-2)]×(-5) = 3×[(-2)×(-5)] = 3×10 = 30$，也等于$3×2×5$，运算正确。
综上，只有①运算错误，共1个错误。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘法运算律，有理数乘法符号法则
【点评】
本题重点考察有理数乘法运算规则的实际应用，易错点是使用乘法分配律时漏乘括号内的项，以及多个有理数相乘时符号判断错误，日常练习中要熟练掌握运算律，养成先判断符号再计算的习惯。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数乘法的相关运算规则，解题时需逐个验证4个运算过程是否正确：首先回忆乘法分配律、乘法交换律与结合律的使用要求，以及多个有理数相乘的符号判断法则，逐一判断每个式子的正误，最后统计错误的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个运算过程：
① 根据乘法分配律，$(a-b)×c = a×c - b×c$，因此$(3 - 4\frac{1}{2})×2 = 3×2 - 4\frac{1}{2}×2$，原式漏乘了3，运算错误；
② 多个非零有理数相乘，负因数个数为奇数时，积为负。式子中有3个负因数，积为负，再结合乘法交换律、结合律可得：$-4×(-7)×(-125) = -(4×125×7)$，运算正确；
③ 可将$9\frac{18}{19}$变形为$10 - \frac{1}{19}$，再用乘法分配律计算：$(10 - \frac{1}{19})×15 = 10×15 - \frac{1}{19}×15 = 150 - \frac{15}{19}$，属于正确的简便运算，运算正确；
④ 根据乘法结合律，$[3×(-2)]×(-5) = 3×[(-2)×(-5)] = 3×10 = 30$，也等于$3×2×5$，运算正确。
综上，只有①运算错误，共1个错误。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘法运算律，有理数乘法符号法则
【点评】
本题重点考察有理数乘法运算规则的实际应用，易错点是使用乘法分配律时漏乘括号内的项，以及多个有理数相乘时符号判断错误，日常练习中要熟练掌握运算律，养成先判断符号再计算的习惯。
【难度系数】
0.7
14. 如果$abcd＜0$，$a+b=0$，$cd＞0$，那么$a,b,c,d$四个数中至少有负数 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
14.A
解析
【分析】
解题时从已知条件逐步推导：首先根据有理数乘法符号规则，由abcd＜0可知四个数均不为0，负因数总个数为奇数；再由a+b=0得a和b互为相反数，结合均不为0，推出a、b中一定是1正1负，即此处有1个负因数；接着由cd＞0得c和d同号（要么都正、要么都负）；题目要求“至少有几个负数”，需让负数个数尽可能少，因此取c、d都为正数的情况，验证此时乘积abcd满足小于0的条件，即可得出结论。
【解析】
1. 由$abcd＜0$可得：四个数均不为0，根据有理数乘法法则，几个不为0的数相乘，负因数个数为奇数时积为负，因此四个数中负因数总个数为奇数。
2. 由$a+b=0$可得a和b互为相反数，结合四个数均不为0，可知a、b中一定有1个正数、1个负数，即此处已有1个负因数，且$ab＜0$。
3. 由$cd＞0$可得c和d同号，即c、d要么均为正数，要么均为负数。
4. 要使负数个数最少，取c、d均为正数的情况，此时负因数总个数为1（仅来自a、b中的1个），是奇数，满足$abcd=ab·cd＜0$的条件，符合所有要求。
因此四个数中至少有1个负数。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘法符号法则；相反数的性质
【点评】
本题属于基础的符号判断类题目，核心是结合有理数乘法的符号规律和相反数的性质，根据“至少”的要求优先选取负因数最少的情况验证，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时从已知条件逐步推导：首先根据有理数乘法符号规则，由abcd＜0可知四个数均不为0，负因数总个数为奇数；再由a+b=0得a和b互为相反数，结合均不为0，推出a、b中一定是1正1负，即此处有1个负因数；接着由cd＞0得c和d同号（要么都正、要么都负）；题目要求“至少有几个负数”，需让负数个数尽可能少，因此取c、d都为正数的情况，验证此时乘积abcd满足小于0的条件，即可得出结论。
【解析】
1. 由$abcd＜0$可得：四个数均不为0，根据有理数乘法法则，几个不为0的数相乘，负因数个数为奇数时积为负，因此四个数中负因数总个数为奇数。
2. 由$a+b=0$可得a和b互为相反数，结合四个数均不为0，可知a、b中一定有1个正数、1个负数，即此处已有1个负因数，且$ab＜0$。
3. 由$cd＞0$可得c和d同号，即c、d要么均为正数，要么均为负数。
4. 要使负数个数最少，取c、d均为正数的情况，此时负因数总个数为1（仅来自a、b中的1个），是奇数，满足$abcd=ab·cd＜0$的条件，符合所有要求。
因此四个数中至少有1个负数。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘法符号法则；相反数的性质
【点评】
本题属于基础的符号判断类题目，核心是结合有理数乘法的符号规律和相反数的性质，根据“至少”的要求优先选取负因数最少的情况验证，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
15.若$m+n＞0$，$\frac{mn}{2}＜0$，则（
A.$m$，$n$都是正数
B.$m$，$n$都是负数
C.$m$，$n$中一正一负，且负数的绝对值较大
D.$m$，$n$中一正一负，且正数的绝对值较大
D
）A.$m$，$n$都是正数
B.$m$，$n$都是负数
C.$m$，$n$中一正一负，且负数的绝对值较大
D.$m$，$n$中一正一负，且正数的绝对值较大
答案
15.D
解析
【分析】
解题时可分两步推导：第一步先根据有理数乘法的符号规律，由$\frac{mn}{2}＜0$判断m、n的符号关系，排除不符合的选项；第二步再根据有理数加法的符号规律，由$m+n＞0$判断两个数绝对值的大小关系，最终选出正确选项。
【解析】
1. 分析$\frac{mn}{2}＜0$的条件：
因为2是正数，正数乘除不改变原式的符号，因此可得$mn＜0$，根据有理数乘法的符号法则“异号两数相乘得负”，可知m、n为一正一负，因此可直接排除A、B选项。
2. 分析$m+n＞0$的条件：
已知m、n一正一负，异号两数相加时，和的符号与绝对值更大的数的符号一致。现在和为正数，说明正数的绝对值大于负数的绝对值，因此排除C选项。
综上，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法符号法则、有理数加法法则
【点评】
本题是有理数运算符号规律的基础应用题，需要结合乘法、加法的符号性质逐步推导，先判断两数的符号关系，再判断绝对值的大小关系，掌握相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时可分两步推导：第一步先根据有理数乘法的符号规律，由$\frac{mn}{2}＜0$判断m、n的符号关系，排除不符合的选项；第二步再根据有理数加法的符号规律，由$m+n＞0$判断两个数绝对值的大小关系，最终选出正确选项。
【解析】
1. 分析$\frac{mn}{2}＜0$的条件：
因为2是正数，正数乘除不改变原式的符号，因此可得$mn＜0$，根据有理数乘法的符号法则“异号两数相乘得负”，可知m、n为一正一负，因此可直接排除A、B选项。
2. 分析$m+n＞0$的条件：
已知m、n一正一负，异号两数相加时，和的符号与绝对值更大的数的符号一致。现在和为正数，说明正数的绝对值大于负数的绝对值，因此排除C选项。
综上，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法符号法则、有理数加法法则
【点评】
本题是有理数运算符号规律的基础应用题，需要结合乘法、加法的符号性质逐步推导，先判断两数的符号关系，再判断绝对值的大小关系，掌握相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
16. 已知$a,b,c,d$是互不相等的四个整数，且$(a-3)(b-3)·(c-3)(d-3)=25$，则$a+b+c+d=\_\_\_\_\_\_$。
答案
16.12
解析
【分析】
解题首先要抓住两个关键条件：一是a、b、c、d是互不相等的整数，因此(a-3)、(b-3)、(c-3)、(d-3)也为互不相等的整数；二是这四个整数的乘积为25。我们先回忆25的整数因数有±1、±5、±25，要凑出4个互不相等的整数相乘等于25，若选±25则剩余3个整数的乘积只能为±1，必然出现重复数值，不符合互不相等的要求，因此四个因数只能是1、-1、5、-5，再通过代数式变形即可求出四个数的和。
【解析】
解：
∵a、b、c、d是互不相等的整数
∴(a-3)、(b-3)、(c-3)、(d-3)是互不相等的整数
又
∵(a-3)(b-3)(c-3)(d-3)=25，且25=1×(-1)×5×(-5)（仅这一组4个互不相等的整数乘积为25）
∴(a-3)+(b-3)+(c-3)+(d-3)=1+(-1)+5+(-5)=0
整理等式得：a+b+c+d - 3×4 = 0
即a+b+c+d - 12 = 0
∴a+b+c+d=12
【答案】
12
【知识点】
有理数乘法，整数因数分解，代数式求值
【点评】
本题核心是灵活运用有理数乘法的性质，解题的突破口是结合“互不相等”的约束条件，将25分解为四个互不相等的整数的乘积，解题时需要注意考虑负因数的存在，避免遗漏负因数导致错误。
【难度系数】
0.6
解题首先要抓住两个关键条件：一是a、b、c、d是互不相等的整数，因此(a-3)、(b-3)、(c-3)、(d-3)也为互不相等的整数；二是这四个整数的乘积为25。我们先回忆25的整数因数有±1、±5、±25，要凑出4个互不相等的整数相乘等于25，若选±25则剩余3个整数的乘积只能为±1，必然出现重复数值，不符合互不相等的要求，因此四个因数只能是1、-1、5、-5，再通过代数式变形即可求出四个数的和。
【解析】
解：
∵a、b、c、d是互不相等的整数
∴(a-3)、(b-3)、(c-3)、(d-3)是互不相等的整数
又
∵(a-3)(b-3)(c-3)(d-3)=25，且25=1×(-1)×5×(-5)（仅这一组4个互不相等的整数乘积为25）
∴(a-3)+(b-3)+(c-3)+(d-3)=1+(-1)+5+(-5)=0
整理等式得：a+b+c+d - 3×4 = 0
即a+b+c+d - 12 = 0
∴a+b+c+d=12
【答案】
12
【知识点】
有理数乘法，整数因数分解，代数式求值
【点评】
本题核心是灵活运用有理数乘法的性质，解题的突破口是结合“互不相等”的约束条件，将25分解为四个互不相等的整数的乘积，解题时需要注意考虑负因数的存在，避免遗漏负因数导致错误。
【难度系数】
0.6
17. 计算：
(1) $(-\frac{3}{7}) × (-\frac{4}{5}) × (-\frac{7}{12})$；
(2) $(-5) × (-\frac{3}{32}) × \frac{7}{30} × 0 × (-325)$。
(1) $(-\frac{3}{7}) × (-\frac{4}{5}) × (-\frac{7}{12})$；
(2) $(-5) × (-\frac{3}{32}) × \frac{7}{30} × 0 × (-325)$。
答案
17.(1)$-\dfrac{1}{5}$ (2)0
解析
【分析】
(1) 多个非零有理数相乘时，先根据负因数的个数确定积的符号：负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正；再计算各因数绝对值的乘积，计算时可利用乘法交换律先约分，简化运算。本题有3个负因数，积为负，再对绝对值部分约分计算即可。
(2) 有理数乘法中，若相乘的因数里包含0，根据乘法规则，任何数与0相乘都得0，可直接得到结果，无需计算其他因数的乘积。
【解析】
(1) 第一步确定符号：算式中共3个负因数，个数为奇数，因此积的符号为负；
第二步计算绝对值的乘积：
$\left|-\frac{3}{7}\right| × \left|-\frac{4}{5}\right| × \left|-\frac{7}{12}\right| = \frac{3}{7} × \frac{4}{5} × \frac{7}{12}$
利用乘法交换律调整顺序约分计算：
$\frac{3}{7} × \frac{7}{12} × \frac{4}{5} = \frac{1}{4} × \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$
结合符号得最终结果：$-\frac{1}{5}$。
(2) 观察算式可知，相乘的因数中包含0，根据有理数乘法的性质：任何数与0相乘，积为0，因此该式计算结果为0。
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{5}$；(2)$0$
【知识点】
有理数乘法法则，乘法交换律，0的乘法性质
【点评】
本题是有理数乘法的基础计算题，解题时优先观察算式特征，若含0可直接得出结果；不含0时遵循“先定符号，再算绝对值”的顺序计算，灵活运用运算律约分能减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.85
(1) 多个非零有理数相乘时，先根据负因数的个数确定积的符号：负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正；再计算各因数绝对值的乘积，计算时可利用乘法交换律先约分，简化运算。本题有3个负因数，积为负，再对绝对值部分约分计算即可。
(2) 有理数乘法中，若相乘的因数里包含0，根据乘法规则，任何数与0相乘都得0，可直接得到结果，无需计算其他因数的乘积。
【解析】
(1) 第一步确定符号：算式中共3个负因数，个数为奇数，因此积的符号为负；
第二步计算绝对值的乘积：
$\left|-\frac{3}{7}\right| × \left|-\frac{4}{5}\right| × \left|-\frac{7}{12}\right| = \frac{3}{7} × \frac{4}{5} × \frac{7}{12}$
利用乘法交换律调整顺序约分计算：
$\frac{3}{7} × \frac{7}{12} × \frac{4}{5} = \frac{1}{4} × \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$
结合符号得最终结果：$-\frac{1}{5}$。
(2) 观察算式可知，相乘的因数中包含0，根据有理数乘法的性质：任何数与0相乘，积为0，因此该式计算结果为0。
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{5}$；(2)$0$
【知识点】
有理数乘法法则，乘法交换律，0的乘法性质
【点评】
本题是有理数乘法的基础计算题，解题时优先观察算式特征，若含0可直接得出结果；不含0时遵循“先定符号，再算绝对值”的顺序计算，灵活运用运算律约分能减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.85
18.已知$|x|=4$，$|y|=\frac{1}{2}$，且$xy＜0$，求$x+y$的值。
答案
18.解:因为$|x|=4,|y|=\dfrac{1}{2}$,所以$x=\pm4,y=\pm\dfrac{1}{2}$.因为$xy＜0$,所以$x=4,y=-\dfrac{1}{2}$,或$x=-4,y=\dfrac{1}{2}$.当$x=4,y=-\dfrac{1}{2}$时,原式$=4-\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}$;当$x=-4,y=\dfrac{1}{2}$时,原式$=-4+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{7}{2}$.综上所述,$x+y=\pm\dfrac{7}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的性质，求出x、y所有可能的取值；再根据有理数乘法的符号规则“两数相乘，异号得负”，结合xy＜0的条件，筛选出x和y异号的配对情况；最后分两种情况分别计算x+y的值，汇总结果即可。
【解析】
解：
∵$|x|=4$，$|y|=\dfrac{1}{2}$，
∴$x=\pm4$，$y=\pm\dfrac{1}{2}$，
∵$xy＜0$，说明x和y异号，
∴分两种情况计算：
①当$x=4$时，$y=-\dfrac{1}{2}$，此时$x+y=4+(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{7}{2}$；
②当$x=-4$时，$y=\dfrac{1}{2}$，此时$x+y=-4+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{7}{2}$。
综上所述，$x+y$的值为$\pm\dfrac{7}{2}$。
【答案】
$\pm\dfrac{7}{2}$
【知识点】
绝对值的性质；有理数乘法符号法则；有理数加法运算
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是结合绝对值性质和有理数乘法的符号规则进行分类讨论，注意不要漏解，计算时要准确处理正负号。
【难度系数】
0.75
解题时首先根据绝对值的性质，求出x、y所有可能的取值；再根据有理数乘法的符号规则“两数相乘，异号得负”，结合xy＜0的条件，筛选出x和y异号的配对情况；最后分两种情况分别计算x+y的值，汇总结果即可。
【解析】
解：
∵$|x|=4$，$|y|=\dfrac{1}{2}$，
∴$x=\pm4$，$y=\pm\dfrac{1}{2}$，
∵$xy＜0$，说明x和y异号，
∴分两种情况计算：
①当$x=4$时，$y=-\dfrac{1}{2}$，此时$x+y=4+(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{7}{2}$；
②当$x=-4$时，$y=\dfrac{1}{2}$，此时$x+y=-4+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{7}{2}$。
综上所述，$x+y$的值为$\pm\dfrac{7}{2}$。
【答案】
$\pm\dfrac{7}{2}$
【知识点】
绝对值的性质；有理数乘法符号法则；有理数加法运算
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是结合绝对值性质和有理数乘法的符号规则进行分类讨论，注意不要漏解，计算时要准确处理正负号。
【难度系数】
0.75
19. 王叔叔家的装修工程接近尾声，油漆工程结束了.经过统计，油漆工共做50工时，用了150 L油漆，一共粉刷120 $\mathrm{m}^2$，已知油漆每升128元，在结算工钱时，有以下几种结算方案：①按工时算，每6工时300元；②按油漆费用来算，油漆费用的15%为工钱；③按粉刷面积来算，每6 $\mathrm{m}^2$ 132元.
请你帮王叔叔算一下，选用哪种方案最省钱？
请你帮王叔叔算一下，选用哪种方案最省钱？
答案
19.解:按工时算时的工资为$300÷6×50=2500$(元).按油漆费用算时的工资为$150×128×15\%=2880$(元).按面积算时的工资为$120÷6×132=2640$(元).所以选用第一种方案最省钱.
解析
【分析】
要选出最省钱的结算方案，核心思路是先按照三种方案的计费规则，分别计算出每种方案需要支付的工钱，再对三个工钱的数值进行大小比较，数值最小的对应的方案就是最省钱的方案，计算时要严格对应每种方案的计费条件，避免运算错误。
【解析】
分别计算三种方案的应付工钱：
1. 按工时算：已知每6工时300元，总工时为50工时，工钱为：
$300÷6×50=2500$（元）
2. 按油漆费用算：先算出油漆总费用，再取总费用的15%作为工钱，油漆总费用为升数×每升单价，工钱为：
$150×128×15\%=2880$（元）
3. 按粉刷面积算：已知每6$\mathrm{m}^2$132元，总粉刷面积为120$\mathrm{m}^2$，工钱为：
$120÷6×132=2640$（元）
比较三个工钱的大小：$2500＜2640＜2880$，因此按工时算的方案费用最低。
【答案】
选用第①种（按工时算的）方案最省钱。
【知识点】
有理数乘法运算，最优方案选择
【点评】
本题结合生活中装修结算的实际场景，考查学生对不同计费规则的理解能力、运算能力，以及用数学知识解决实际生活问题的应用意识。
【难度系数】
0.8
要选出最省钱的结算方案，核心思路是先按照三种方案的计费规则，分别计算出每种方案需要支付的工钱，再对三个工钱的数值进行大小比较，数值最小的对应的方案就是最省钱的方案，计算时要严格对应每种方案的计费条件，避免运算错误。
【解析】
分别计算三种方案的应付工钱：
1. 按工时算：已知每6工时300元，总工时为50工时，工钱为：
$300÷6×50=2500$（元）
2. 按油漆费用算：先算出油漆总费用，再取总费用的15%作为工钱，油漆总费用为升数×每升单价，工钱为：
$150×128×15\%=2880$（元）
3. 按粉刷面积算：已知每6$\mathrm{m}^2$132元，总粉刷面积为120$\mathrm{m}^2$，工钱为：
$120÷6×132=2640$（元）
比较三个工钱的大小：$2500＜2640＜2880$，因此按工时算的方案费用最低。
【答案】
选用第①种（按工时算的）方案最省钱。
【知识点】
有理数乘法运算，最优方案选择
【点评】
本题结合生活中装修结算的实际场景，考查学生对不同计费规则的理解能力、运算能力，以及用数学知识解决实际生活问题的应用意识。
【难度系数】
0.8
20.定义:对于一个两位自然数,如果它的个位和十位上的数字均不为零,且它正好等于其个位和十位上的数字的和的$n$倍($n$为正整数),我们就说这个自然数是一个“$n$喜数”。例如:24就是一个“4喜数”,因为$24=4×(2+4)$;25就不是一个“$n$喜数”,因为$25≠n×(2+5)$。
(1)判断44和72是否为“$n$喜数”?请说明理由；
(2)请求出所有的“7喜数”之和。
(1)判断44和72是否为“$n$喜数”?请说明理由；
(2)请求出所有的“7喜数”之和。
答案
20.解:(1)44不是一个“n喜数”,72是一个“8喜数”.理由:因为$44≠n×(4+4)$($n$为正整数),$72=8×(2+7)$,所以44不是一个“n喜数”,72是一个“8喜数”.(2)假设存在“7喜数”,设其个位数字为$a$,十位数字为$b$($a,b$为1到9的自然数).由定义可知$10b+a=7(a+b)$,化简得$b=2a$.因为$a,b$为1到9的自然数,所以$a=1,b=2$,或$a=2,b=4$,或$a=3,b=6$,或$a=4,b=8$,所以“7喜数”有4个,分别是21,42,63,84,则“7喜数”的和为$21+42+63+84=210$.
解析
【分析】
（1）判断是否为“n喜数”需先计算两位数的个位和十位数字之和，再验证该两位数是否等于这个和与某个正整数n的乘积。对于44，先算数字和为8，44除以8得5.5，不是正整数，因此不存在符合条件的n；对于72，数字和为9，72除以9得8，是正整数，符合定义。
（2）求所有“7喜数”时，先用代数式表示两位数：设十位数字为b，个位数字为a（a、b均为1~9的自然数），则两位数为10b+a，根据“7喜数”定义列等式化简，结合a、b的取值范围找出所有符合条件的数，再求和即可。
【解析】
(1) 计算44的个位与十位数字之和：$4+4=8$，
∵不存在正整数$n$使得$44 = n×8$，
∴44不是“n喜数”；
计算72的个位与十位数字之和：$7+2=9$，
∵$72 = 8×9$，其中$n=8$是正整数，
∴72是“8喜数”。
(2) 设“7喜数”的个位数字为$a$，十位数字为$b$（$a,b$为1到9的自然数），
由“7喜数”定义可得：$10b+a=7(a+b)$，
展开并整理等式：$10b+a=7a+7b$，$3b=6a$，化简得$b=2a$。
结合$a,b$的取值范围，可得：
$a=1$时$b=2$，对应数21；$a=2$时$b=4$，对应数42；
$a=3$时$b=6$，对应数63；$a=4$时$b=8$，对应数84。
所有“7喜数”的和为：$21+42+63+84=210$。
【答案】
(1) 44不是“n喜数”，72是“8喜数”；
(2) 所有“7喜数”之和为210。
【知识点】
新定义问题，整式表示数，解方程
【点评】
本题属于新定义基础题型，解题核心是准确理解新定义的规则，掌握两位数的代数式表示方法，求解时注意个位、十位数字的取值范围，侧重考察新概念的运用能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
（1）判断是否为“n喜数”需先计算两位数的个位和十位数字之和，再验证该两位数是否等于这个和与某个正整数n的乘积。对于44，先算数字和为8，44除以8得5.5，不是正整数，因此不存在符合条件的n；对于72，数字和为9，72除以9得8，是正整数，符合定义。
（2）求所有“7喜数”时，先用代数式表示两位数：设十位数字为b，个位数字为a（a、b均为1~9的自然数），则两位数为10b+a，根据“7喜数”定义列等式化简，结合a、b的取值范围找出所有符合条件的数，再求和即可。
【解析】
(1) 计算44的个位与十位数字之和：$4+4=8$，
∵不存在正整数$n$使得$44 = n×8$，
∴44不是“n喜数”；
计算72的个位与十位数字之和：$7+2=9$，
∵$72 = 8×9$，其中$n=8$是正整数，
∴72是“8喜数”。
(2) 设“7喜数”的个位数字为$a$，十位数字为$b$（$a,b$为1到9的自然数），
由“7喜数”定义可得：$10b+a=7(a+b)$，
展开并整理等式：$10b+a=7a+7b$，$3b=6a$，化简得$b=2a$。
结合$a,b$的取值范围，可得：
$a=1$时$b=2$，对应数21；$a=2$时$b=4$，对应数42；
$a=3$时$b=6$，对应数63；$a=4$时$b=8$，对应数84。
所有“7喜数”的和为：$21+42+63+84=210$。
【答案】
(1) 44不是“n喜数”，72是“8喜数”；
(2) 所有“7喜数”之和为210。
【知识点】
新定义问题，整式表示数，解方程
【点评】
本题属于新定义基础题型，解题核心是准确理解新定义的规则，掌握两位数的代数式表示方法，求解时注意个位、十位数字的取值范围，侧重考察新概念的运用能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
