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例1 解下列方程：
(1) $2x^2 + 7x + 3 = 0$；
(2) $3x^2 - x = 0$；
(3) $-2x^2 + 3x + 1 = 0$；
(4) $\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{2}x - 1 = 0$。
(1) $2x^2 + 7x + 3 = 0$；
(2) $3x^2 - x = 0$；
(3) $-2x^2 + 3x + 1 = 0$；
(4) $\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{2}x - 1 = 0$。
答案
(1) $x_1 = -\frac{1}{2},x_2 = -3$
(2) $x_1 = 0,x_2 = \frac{1}{3}$
(3) $x_1 = \frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2 = \frac{3-\sqrt{17}}{4}$
(4) $x_1 = \frac{-3+\sqrt{57}}{4},x_2 = \frac{-3-\sqrt{57}}{4}$
(2) $x_1 = 0,x_2 = \frac{1}{3}$
(3) $x_1 = \frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2 = \frac{3-\sqrt{17}}{4}$
(4) $x_1 = \frac{-3+\sqrt{57}}{4},x_2 = \frac{-3-\sqrt{57}}{4}$
解析
【分析】
解一元二次方程可根据方程特征选择最优解法：①若方程不含常数项，可优先用提取公因式的因式分解法；②若二次三项式满足十字相乘特征，可优先用十字相乘法因式分解求解；③无简便解法时选择公式法（通用解法），公式法步骤为：先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，确定$a、b、c$的取值，再计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$即可求出根。
【解析】
(1) 用十字相乘法因式分解：
将$2x^2+7x+3$分解得$(2x+1)(x+3)=0$，
则$2x+1=0$或$x+3=0$，
解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=-3$。
(2) 用提取公因式法因式分解：
提取公因式$x$得$x(3x-1)=0$，
则$x=0$或$3x-1=0$，
解得$x_1=0,x_2=\frac{1}{3}$。
(3) 先化为一般形式：$2x^2-3x-1=0$，
其中$a=2,b=-3,c=-1$，
计算判别式$\Delta=(-3)^2-4×2×(-1)=9+8=17＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{3±\sqrt{17}}{2×2}$，
即$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$。
(4) 先去分母化为整系数一般形式：两边同乘6得$2x^2+3x-6=0$，
其中$a=2,b=3,c=-6$，
计算判别式$\Delta=3^2-4×2×(-6)=9+48=57＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-3±\sqrt{57}}{2×2}$，
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{57}}{4}$。
【答案】
(1) $x_1 = -\frac{1}{2},x_2 = -3$
(2) $x_1 = 0,x_2 = \frac{1}{3}$
(3) $x_1 = \frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2 = \frac{3-\sqrt{17}}{4}$
(4) $x_1 = \frac{-3+\sqrt{57}}{4},x_2 = \frac{-3-\sqrt{57}}{4}$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，公式法
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，解题时优先选择简便方法可减少计算量，使用公式法时需注意先将方程化为一般形式，准确识别$a、b、c$的符号，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.75
解一元二次方程可根据方程特征选择最优解法：①若方程不含常数项，可优先用提取公因式的因式分解法；②若二次三项式满足十字相乘特征，可优先用十字相乘法因式分解求解；③无简便解法时选择公式法（通用解法），公式法步骤为：先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，确定$a、b、c$的取值，再计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$即可求出根。
【解析】
(1) 用十字相乘法因式分解：
将$2x^2+7x+3$分解得$(2x+1)(x+3)=0$，
则$2x+1=0$或$x+3=0$，
解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=-3$。
(2) 用提取公因式法因式分解：
提取公因式$x$得$x(3x-1)=0$，
则$x=0$或$3x-1=0$，
解得$x_1=0,x_2=\frac{1}{3}$。
(3) 先化为一般形式：$2x^2-3x-1=0$，
其中$a=2,b=-3,c=-1$，
计算判别式$\Delta=(-3)^2-4×2×(-1)=9+8=17＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{3±\sqrt{17}}{2×2}$，
即$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$。
(4) 先去分母化为整系数一般形式：两边同乘6得$2x^2+3x-6=0$，
其中$a=2,b=3,c=-6$，
计算判别式$\Delta=3^2-4×2×(-6)=9+48=57＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-3±\sqrt{57}}{2×2}$，
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{57}}{4}$。
【答案】
(1) $x_1 = -\frac{1}{2},x_2 = -3$
(2) $x_1 = 0,x_2 = \frac{1}{3}$
(3) $x_1 = \frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2 = \frac{3-\sqrt{17}}{4}$
(4) $x_1 = \frac{-3+\sqrt{57}}{4},x_2 = \frac{-3-\sqrt{57}}{4}$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，公式法
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，解题时优先选择简便方法可减少计算量，使用公式法时需注意先将方程化为一般形式，准确识别$a、b、c$的符号，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.75
例2 请利用配方法解答下列问题：
（1）求多项式$-x^2 +6x +5$的最大值.
（2）如图1.2.1,要围成一个矩形养鸡场,一边靠墙(墙长24 m),另三边用总长为40 m的竹篱笆围成.当x为何值时,围成的矩形养鸡场的面积最大? 最大面积是多少?
（1）求多项式$-x^2 +6x +5$的最大值.
（2）如图1.2.1,要围成一个矩形养鸡场,一边靠墙(墙长24 m),另三边用总长为40 m的竹篱笆围成.当x为何值时,围成的矩形养鸡场的面积最大? 最大面积是多少?
答案
(1) $-x^2 +6x +5 = -(x^2 -6x +9)+14 = -(x-3)^2 +14$.$\because -(x-3)^2 ≤ 0$,$\therefore -(x-3)^2 +14 ≤ 14$.$\therefore$多项式$-x^2 +6x +5$有最大值,最大值为14
(2) 根据图示,矩形鸡场的长为$(40-2x)\ \mathrm{m}$.$\because$墙长24 m,$\therefore 0＜40-2x ≤ 24$.$\therefore 8 ≤ x ＜ 20$.矩形鸡场的面积为$(40-2x)x\ (8 ≤ x ＜ 20)$.$\because -2x^2 +40x = -2(x^2 -20x +100)+200 = -2(x-10)^2 +200$,$\because -2(x-10)^2 ≤ 0$,$\therefore -2(x-10)^2 +200 ≤ 200$.$\therefore$当$x=10$时,代数式$-2x^2 +40x$有最大值200.$\therefore$当$x=10\ \mathrm{m}$时,围成的矩形鸡场的面积最大,最大面积是$200\ \mathrm{m}^2$
(2) 根据图示,矩形鸡场的长为$(40-2x)\ \mathrm{m}$.$\because$墙长24 m,$\therefore 0＜40-2x ≤ 24$.$\therefore 8 ≤ x ＜ 20$.矩形鸡场的面积为$(40-2x)x\ (8 ≤ x ＜ 20)$.$\because -2x^2 +40x = -2(x^2 -20x +100)+200 = -2(x-10)^2 +200$,$\because -2(x-10)^2 ≤ 0$,$\therefore -2(x-10)^2 +200 ≤ 200$.$\therefore$当$x=10$时,代数式$-2x^2 +40x$有最大值200.$\therefore$当$x=10\ \mathrm{m}$时,围成的矩形鸡场的面积最大,最大面积是$200\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
（1）求二次项系数为负的多项式最大值，可先利用配方法将多项式变形为“负的完全平方式+常数”的形式，再结合平方的非负性推导最大值；（2）实际问题先根据题意列代数式：先由篱笆总长表示出平行于墙的边长，结合墙长限制得到x的取值范围，再写出面积的表达式，同样用配方法变形，结合x的取值范围验证最值点的合理性，最终求出最大面积和对应x的值。
【解析】
（1）对多项式$-x^2 +6x +5$配方：
$\begin{aligned}-x^2 +6x +5&= -(x^2 -6x)+5\\&= -(x^2 -6x +9 -9)+5\\&= -(x-3)^2 +9 +5\\&= -(x-3)^2 +14\end{aligned}$
$\because$ 平方具有非负性，即$(x-3)^2≥0$，$\therefore -(x-3)^2≤0$，
$\therefore -(x-3)^2 +14 ≤ 14$，当$x=3$时取等号。
（2）由题意，垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长为$(40-2x)\ \mathrm{m}$，
结合墙长限制得$0＜40-2x≤24$，解得$8≤ x＜20$。
矩形面积$S=x(40-2x)=-2x^2+40x$，对其配方：
$\begin{aligned}S&=-2(x^2-20x)\\&=-2(x^2-20x+100-100)\\&=-2(x-10)^2+200\end{aligned}$
$\because (x-10)^2≥0$，$\therefore -2(x-10)^2≤0$，$\therefore S≤200$，
且$x=10$在$8≤ x＜20$的取值范围内，符合要求。
【答案】
（1）多项式的最大值为$\boldsymbol{14}$；
（2）当$\boldsymbol{x=10\ \mathrm{m}}$时，围成的矩形养鸡场面积最大，最大面积是$\boldsymbol{200\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
配方法；非负数的性质；实际问题列代数式
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，基础题部分需熟练掌握配方的步骤，即提取二次项系数、凑完全平方；实际应用部分要注意结合题干约束条件确定自变量的取值范围，验证最值点是否符合实际要求，避免漏看限制条件出错。
【难度系数】
0.7
（1）求二次项系数为负的多项式最大值，可先利用配方法将多项式变形为“负的完全平方式+常数”的形式，再结合平方的非负性推导最大值；（2）实际问题先根据题意列代数式：先由篱笆总长表示出平行于墙的边长，结合墙长限制得到x的取值范围，再写出面积的表达式，同样用配方法变形，结合x的取值范围验证最值点的合理性，最终求出最大面积和对应x的值。
【解析】
（1）对多项式$-x^2 +6x +5$配方：
$\begin{aligned}-x^2 +6x +5&= -(x^2 -6x)+5\\&= -(x^2 -6x +9 -9)+5\\&= -(x-3)^2 +9 +5\\&= -(x-3)^2 +14\end{aligned}$
$\because$ 平方具有非负性，即$(x-3)^2≥0$，$\therefore -(x-3)^2≤0$，
$\therefore -(x-3)^2 +14 ≤ 14$，当$x=3$时取等号。
（2）由题意，垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长为$(40-2x)\ \mathrm{m}$，
结合墙长限制得$0＜40-2x≤24$，解得$8≤ x＜20$。
矩形面积$S=x(40-2x)=-2x^2+40x$，对其配方：
$\begin{aligned}S&=-2(x^2-20x)\\&=-2(x^2-20x+100-100)\\&=-2(x-10)^2+200\end{aligned}$
$\because (x-10)^2≥0$，$\therefore -2(x-10)^2≤0$，$\therefore S≤200$，
且$x=10$在$8≤ x＜20$的取值范围内，符合要求。
【答案】
（1）多项式的最大值为$\boldsymbol{14}$；
（2）当$\boldsymbol{x=10\ \mathrm{m}}$时，围成的矩形养鸡场面积最大，最大面积是$\boldsymbol{200\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
配方法；非负数的性质；实际问题列代数式
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，基础题部分需熟练掌握配方的步骤，即提取二次项系数、凑完全平方；实际应用部分要注意结合题干约束条件确定自变量的取值范围，验证最值点是否符合实际要求，避免漏看限制条件出错。
【难度系数】
0.7
1. 用配方法解一元二次方程$\frac{3}{2}x^2 + 2x -5=0$时，第一步是 （
A.方程两边同时乘$\frac{3}{2}$
B.方程两边同时乘$\frac{2}{3}$
C.方程两边同时加1
D.方程两边同时加5
B
）A.方程两边同时乘$\frac{3}{2}$
B.方程两边同时乘$\frac{2}{3}$
C.方程两边同时加1
D.方程两边同时加5
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆配方法解一元二次方程的基本步骤：配方法的首要前提是二次项系数为1，若原方程二次项系数不为1，第一步需要先将二次项系数化为1，再进行后续的移项、配方等操作。本题中方程的二次项系数是$\frac{3}{2}$，不为1，因此需要通过等式变形把二次项系数变为1，即给方程两边同时乘$\frac{3}{2}$的倒数$\frac{2}{3}$，对应正确选项。
【解析】
配方法解一元二次方程时，若二次项系数不为1，第一步需先将二次项系数化为1。
原方程$\frac{3}{2}x^2 + 2x -5=0$的二次项系数为$\frac{3}{2}$，因此第一步操作是方程两边同时乘$\frac{2}{3}$，可将二次项系数化为1，得到$x^2 + \frac{4}{3}x - \frac{10}{3}=0$，符合配方法后续操作的要求。
对其余选项分析：A选项乘$\frac{3}{2}$会使二次项系数变为$\frac{9}{4}$，无法化为1，错误；C选项加1、D选项加5是后续移项或配方环节的操作，不是配方法的第一步，错误。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题，考查配方法解一元二次方程的基础操作步骤，牢记先将二次项系数化为1是解题的关键，容易得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆配方法解一元二次方程的基本步骤：配方法的首要前提是二次项系数为1，若原方程二次项系数不为1，第一步需要先将二次项系数化为1，再进行后续的移项、配方等操作。本题中方程的二次项系数是$\frac{3}{2}$，不为1，因此需要通过等式变形把二次项系数变为1，即给方程两边同时乘$\frac{3}{2}$的倒数$\frac{2}{3}$，对应正确选项。
【解析】
配方法解一元二次方程时，若二次项系数不为1，第一步需先将二次项系数化为1。
原方程$\frac{3}{2}x^2 + 2x -5=0$的二次项系数为$\frac{3}{2}$，因此第一步操作是方程两边同时乘$\frac{2}{3}$，可将二次项系数化为1，得到$x^2 + \frac{4}{3}x - \frac{10}{3}=0$，符合配方法后续操作的要求。
对其余选项分析：A选项乘$\frac{3}{2}$会使二次项系数变为$\frac{9}{4}$，无法化为1，错误；C选项加1、D选项加5是后续移项或配方环节的操作，不是配方法的第一步，错误。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题，考查配方法解一元二次方程的基础操作步骤，牢记先将二次项系数化为1是解题的关键，容易得分。
【难度系数】
0.9
2. 用配方法解方程$3x^2 + 2x - 1 = 0$，配方后的方程是 （
A.$3(x - 1)^2 = 0$
B.$(x + \dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{1}{3}$
C.$(x + \dfrac{1}{3})^2 = \dfrac{1}{3}$
D.$(x + \dfrac{1}{3})^2 = \dfrac{4}{9}$
D
）A.$3(x - 1)^2 = 0$
B.$(x + \dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{1}{3}$
C.$(x + \dfrac{1}{3})^2 = \dfrac{1}{3}$
D.$(x + \dfrac{1}{3})^2 = \dfrac{4}{9}$
答案
D
解析
【分析】
要得到用配方法变形后的方程，需遵循配方法的常规步骤思考：首先将原方程的二次项系数化为1，再把常数项移到等号右侧，最后给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式即可得到配方后的方程，再对应选项判断。
【解析】
解：对原方程$3x^2 + 2x - 1 = 0$进行配方：
1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以3，得$x^2 + \dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3} = 0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 + \dfrac{2}{3}x = \dfrac{1}{3}$；
3. 配方：等式两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$\dfrac{2}{3}$，其一半的平方为$(\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$，因此两边加$\dfrac{1}{9}$得：
$x^2 + \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9}$
4. 整理：左侧利用完全平方公式变形，右侧计算得：
$(x + \dfrac{1}{3})^2 = \dfrac{4}{9}$
因此配方后的方程对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时需注意二次项系数化1时各项都要除以二次项系数，配方时要给等式两边同时加一次项系数一半的平方，避免出现漏除、漏加的错误。
【难度系数】
0.8
要得到用配方法变形后的方程，需遵循配方法的常规步骤思考：首先将原方程的二次项系数化为1，再把常数项移到等号右侧，最后给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式即可得到配方后的方程，再对应选项判断。
【解析】
解：对原方程$3x^2 + 2x - 1 = 0$进行配方：
1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以3，得$x^2 + \dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3} = 0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 + \dfrac{2}{3}x = \dfrac{1}{3}$；
3. 配方：等式两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$\dfrac{2}{3}$，其一半的平方为$(\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$，因此两边加$\dfrac{1}{9}$得：
$x^2 + \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9}$
4. 整理：左侧利用完全平方公式变形，右侧计算得：
$(x + \dfrac{1}{3})^2 = \dfrac{4}{9}$
因此配方后的方程对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时需注意二次项系数化1时各项都要除以二次项系数，配方时要给等式两边同时加一次项系数一半的平方，避免出现漏除、漏加的错误。
【难度系数】
0.8
