1. 把一元二次方程$x(x+1)=3x+2$化为一般形式，正确的是（）

A.$x^2 - 2x - 2 = 0$
B.$x^2 - 2x + 2 = 0$
C.$x^2 - 3x - 1 = 0$
D.$x^2 + 4x + 3 = 0$

1.A

【分析】
要将给定的方程化为一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$，$a$、$b$、$c$为常数）。解题思路分三步：第一步去掉方程中的括号，第二步将所有项移到等号左侧，第三步合并同类项，整理为一般形式后匹配选项即可。
【解析】
对原方程逐步变形：
1. 去括号：将左侧$x(x+1)$展开，得$x^2 + x = 3x + 2$；
2. 移项：把等号右侧的$3x$、$2$移到左侧，移项要变号，得$x^2 + x - 3x - 2 = 0$；
3. 合并同类项：计算一次项$x-3x=-2x$，最终整理为$x^2 - 2x - 2 = 0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 去括号法则
3. 合并同类项
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的化简，只要熟练掌握整式运算规则和移项的注意事项，就能快速得到正确结果，是一元二次方程章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8

2. 已知$m$是一元二次方程$x^2 - 3x + 5 = 0$的一个根，则代数式$2m^2 - 6m + 10$的值为（）

A.20
B.15
C.$-10$
D.0

2.D

【分析】
本题可利用一元二次方程根的定义求解，无需直接计算m的值。首先，根据方程根的定义，将x=m代入原方程可得到关于m的等式；再观察所求代数式的结构，发现代数式可变形为与所得等式相关的形式，最后通过整体代入即可快速算出结果，避免了求解无实根的一元二次方程的繁琐。
【解析】
∵m是一元二次方程$x^2 - 3x + 5 = 0$的一个根，
∴将x=m代入方程，得：$m^2 - 3m + 5 = 0$，
对代数式$2m^2 - 6m + 10$变形，提取公因式2可得：
$2m^2 - 6m + 10 = 2(m^2 - 3m + 5)$，
将$m^2 - 3m + 5 = 0$代入上式，得：
原式$=2×0 = 0$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入法求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心解题思路是利用整体代入思想简化运算，不需要求解一元二次方程的根，能有效考查学生对代数式变形和方程根定义的掌握情况。
【难度系数】
0.8

3. 将一元二次方程$x^2 - 8x - 5 = 0$化成$(x + a)^2 = b$（$a,b$为常数）的形式，则$a,b$的值分别是（）

A.$-4,21$
B.$-4,11$
C.$4,21$
D.$-8,69$

3.A

【分析】
本题考查用配方法将一元二次方程转化为指定形式，解题思路如下：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再根据完全平方公式的结构，给等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后对比$(x+a)^2=b$的形式即可求出$a$、$b$的值。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 8x - 5 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 8x = 5$
2. 配方，一次项系数为$-8$，其一半的平方为$(-4)^2=16$，给等式两边同时加16：
$x^2 - 8x + 16 = 5 + 16$
3. 左侧整理为完全平方形式，计算右侧结果：
$(x - 4)^2 = 21$
对比$(x + a)^2 = b$的形式，可得$a=-4$，$b=21$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 配方法 2. 完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查配方法的操作步骤，只要熟练掌握“移项、凑完全平方”的配方法流程，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

4. 解下列一元二次方程：
(1) $(2x+3)^2 - 81 = 0$；
(2) $x^2 - 6x - 2 = 0$；
(3) $5x(3x+2) = 6x + 4$。

4. (1) 解：$(2x+3)^2 = 81. x_1 = 3, x_2 = -6.$
(2) 解：$(x-3)^2 = 11. x_1 = 3+\sqrt{11},x_2=3-\sqrt{11}.$
(3) 解：$(3x+2)(5x-2)=0. x_1=-\frac{2}{3},x_2=\frac{2}{5}.$

【分析】
解这组一元二次方程需根据每个方程的结构特点选择最简便的解法：
1. 第(1)题左边是完全平方式、右边是常数，适合用直接开平方法：先移项将常数项移到等号右侧，再对两边开平方转化为两个一次方程求解；
2. 第(2)题二次项系数为1、一次项系数是偶数，适合用配方法：先移常数项到等号右侧，再给等式两边加一次项系数一半的平方将左边配成完全平方式，最后开平方求解；
3. 第(3)题等式两边有公因式，适合用因式分解法：先将右侧项移到左侧，提取公因式转化为两个一次因式乘积为0的形式，再令每个因式为0分别求解。
【解析】
(1) 移项得：$(2x+3)^2 = 81$
两边开平方得：$2x+3 = ±9$
当$2x+3=9$时，解得$x=3$；当$2x+3=-9$时，解得$x=-6$
(2) 移项得：$x^2 - 6x = 2$
配方，两边同时加9得：$x^2 - 6x +9 = 2+9$
即$(x-3)^2 = 11$
开平方得：$x-3=±\sqrt{11}$
解得$x=3±\sqrt{11}$
(3) 移项得：$5x(3x+2) - (6x+4) = 0$
变形得：$5x(3x+2) - 2(3x+2) = 0$
提取公因式得：$(3x+2)(5x-2)=0$
令$3x+2=0$，解得$x=-\frac{2}{3}$；令$5x-2=0$，解得$x=\frac{2}{5}$
【答案】
(1) $x_1 = 3, x_2 = -6$
(2) $x_1 = 3+\sqrt{11},x_2=3-\sqrt{11}$
(3) $x_1=-\frac{2}{3},x_2=\frac{2}{5}$
【知识点】
直接开平方法，配方法，因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的不同解法，解题时可结合方程的结构特征选择最优解法，能有效简化计算步骤、提升解题正确率。
【难度系数】
0.8

5. 已知关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2 +2x +1=0$有实数根，则$m$的取值范围是（）

A.$m＜2$
B.$m≤2$
C.$m＜2$且$m≠1$
D.$m≤2$且$m≠1$

5.D

【分析】
要解这道题，首先明确题目给出的是一元二次方程，因此需要同时满足两个条件：①一元二次方程的二次项系数不为0，保证方程为二次方程；②方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0。分别根据这两个条件求出m的范围，再取公共部分就是最终的取值范围。
【解析】
1. 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，可得：
$m-1≠0$，解得 $m≠1$
2. 一元二次方程有实数根，满足根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，在方程$(m-1)x^2 +2x +1=0$中，$a=m-1$，$b=2$，$c=1$，代入判别式得：
$\Delta = 2^2 - 4×(m-1)×1 ≥0$
计算化简：
$4 -4(m-1)≥0$
$4 -4m +4≥0$
$8 -4m≥0$
解得$m≤2$
3. 结合两个限制条件，最终m的取值范围是$m≤2$且$m≠1$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的定义 2. 根的判别式 3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题型，易错点是容易忽略“一元二次方程”的前提，遗漏二次项系数不为0的限制条件，仅通过判别式求解得到错误答案，解题时要注意审题，挖掘题目中的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7

6.已知$x_1,x_2$是方程$2x^2 + kx - 2 = 0$的两个实数根，且$(x_1 - 2)(x_2 - 2) = 10$，则k的值为

6.7

【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先根据方程写出两根之和与两根之积的表达式，再将给定的乘积式展开整理，把两根之和、两根之积整体代入，即可得到关于k的方程，解方程就能求出k的值，由于原方程判别式恒大于0，无需额外验根。
【解析】
已知$x_1,x_2$是方程$2x^2 + kx - 2 = 0$的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系：
对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=2,b=k,c=-2$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{k}{2}$，$x_1x_2=\frac{-2}{2}=-1$。
将$(x_1 - 2)(x_2 - 2) = 10$展开得：
$x_1x_2 - 2x_1 - 2x_2 + 4 = 10$，
整理为$x_1x_2 - 2(x_1+x_2) + 4 = 10$。
把$x_1+x_2=-\frac{k}{2}$、$x_1x_2=-1$代入上式：
$-1 - 2×(-\frac{k}{2}) + 4 = 10$，
化简得：$-1 + k + 4 = 10$，
即$k + 3 = 10$，解得$k=7$。
验证：原方程判别式$\Delta = k^2 - 4×2×(-2) = k^2 + 16 ＞ 0$，无论k取何值方程都有两个实数根，因此$k=7$符合题意。
【答案】
7
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 整式乘法运算
3. 一元一次方程解法
【点评】
本题考查韦达定理的应用，核心解题思路是利用整体代入的思想，无需解出方程的具体根，直接通过两根和与两根积的表达式代入已知等式求解，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7

7.关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k^2+1=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$.
(1)求实数$k$的取值范围；
(2)若方程两实数根$x_1,x_2$满足$|x_1|+|x_2|=x_1· x_2$,求$k$的值.

7. (1)解:由 $\Delta=(2k+1)^2-4(k^2+1)＞0,$得 $k＞\frac{3}{4}.$
(2) $\because k＞\frac{3}{4}, \therefore x_1+x_2=-(2k+1)＜0,x_1x_2=k^2+1＞0,\therefore x_1＜0,x_2＜0,$由 $|x_1|+|x_2|=x_1x_2$ 得 $-x_1-x_2=x_1x_2 ,$即 $-(x_1+x_2)=x_1x_2 ,\therefore 2k+1=k^2+1,$解得 $k_1=0,k_2=2,\because k＞\frac{3}{4},\therefore k=2.$

【分析】
（1）题目给出一元二次方程有两个不相等的实数根，可直接利用一元二次方程根的判别式Δ＞0建立关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
（2）处理带绝对值的根的等量关系时，首先要根据第一问求出的k的范围，结合根与系数的关系判断两根的正负，去掉绝对值符号，再将等式转化为用两根之和、两根之积表示的形式，代入根与系数的关系结果求解k，最后结合k的取值范围对解进行取舍，得到最终结果。
【解析】
(1) 一元二次方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式$\Delta＞0$：
$\Delta=(2k+1)^2-4×1×(k^2+1)＞0$
展开化简得：$4k^2+4k+1-4k^2-4＞0$
即$4k-3＞0$，解得$k＞\frac{3}{4}$。
(2) 由(1)知$k＞\frac{3}{4}$，根据根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-(2k+1)$，因为$k＞\frac{3}{4}$，所以$2k+1＞0$，因此$x_1+x_2＜0$；
两根之积$x_1x_2=k^2+1$，因为$k^2≥0$，所以$x_1x_2=k^2+1＞0$。
由两根之和为负、两根之积为正，可得$x_1＜0$，$x_2＜0$，因此$|x_1|=-x_1$，$|x_2|=-x_2$，则$|x_1|+|x_2|=-x_1-x_2=-(x_1+x_2)$。
将$|x_1|+|x_2|=x_1x_2$转化为：$-(x_1+x_2)=x_1x_2$，代入根与系数的关系结果得：
$2k+1=k^2+1$，整理得$k^2-2k=0$，解得$k_1=0$，$k_2=2$。
结合$k＞\frac{3}{4}$的取值范围，舍去$k=0$，因此$k=2$。
【答案】
(1) $k＞\frac{3}{4}$；(2) $k=2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 绝对值的性质
【点评】
本题是一元二次方程的综合应用题，解题时要注意先根据根的个数确定参数的取值范围，处理带绝对值的根的关系时需先判断根的正负去绝对值，最后要结合参数的取值范围对解进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.6

8. 如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为$15m^2$，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC的长为（）

A.5m或6m
B.2.5m或3m
C.5m
D.3m

8.C

【分析】
这是一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：首先明确矩形的边和墙的关系，BC是平行于墙的边，长度不能超过墙长5.5m；再设BC的长为未知数，结合铁丝网总长、1m宽的门的条件，表示出垂直于墙的边长；最后根据矩形面积公式列方程求解，注意要结合墙长的限制对得到的根进行取舍，排除不符合实际的解。
【解析】
设BC的长度为$x\ \mathrm{m}$，由于BC平行于墙，结合墙长5.5m可得$x≤5.5$。
已知铁丝网总长10m，侧面1m宽的门无需铁丝网，因此两段垂直于墙的边的总长度为$(10+1-x)\ \mathrm{m}$，则垂直于墙的边长为$\frac{11-x}{2}\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积为$15\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$x·\frac{11-x}{2}=15$
整理得：$x^2-11x+30=0$
因式分解得：$(x-5)(x-6)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=6$。
其中$x=6＞5.5$，不符合墙长限制，舍去；$x=5＜5.5$，符合实际条件。
因此BC的长为5m。
【答案】C
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、实际问题根的取舍
【点评】
本题结合几何场景考查一元二次方程的应用，易错点是忽略墙长的限制条件直接取所有方程的解，解题时要注意结合实际背景判断解的合理性，避免多解出错。
【难度系数】
0.6