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9.(南阳市镇平县期末)随着生鲜电商平台日益火爆,其背后的数学逻辑也愈发引人深思.据统计:某生鲜电商平台今年2月份的销售额是200万元,4月份的销售额是242万元.
(1)若该平台今年2月份到4月份的月增长率都相同,则月增长率是多少?
(2)经市场调查发现,某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时,每天能销售300千克,售价每降低1元,每天可多售出100千克,为了推广宣传,商家决定降价促销,同时尽量减少库存.已知该水果的成本价为12元/千克,若使销售该水果每天获利5600元,则售价应降低多少元?
(1)若该平台今年2月份到4月份的月增长率都相同,则月增长率是多少?
(2)经市场调查发现,某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时,每天能销售300千克,售价每降低1元,每天可多售出100千克,为了推广宣传,商家决定降价促销,同时尽量减少库存.已知该水果的成本价为12元/千克,若使销售该水果每天获利5600元,则售价应降低多少元?
答案
9. (1)解:设月增长率为 x,根据题意,得 $200(1+x)^2=242.$ 解得 $x_1=0.1=10\%,x_2=-2.1$(不合题意,舍去).答:月增长率为 10%.
(2)设售价应降低 y 元,根据题意,得$(24-y-12)(300+100y)=5600.$ 整理得 $y^2-9y+20=0,$解得 $y_1=4,y_2=5.$ $\because$ 要尽量减少库存,$\therefore y=4$ 不合题意,舍去,$\therefore y=5,$答:售价应降低5元.
(2)设售价应降低 y 元,根据题意,得$(24-y-12)(300+100y)=5600.$ 整理得 $y^2-9y+20=0,$解得 $y_1=4,y_2=5.$ $\because$ 要尽量减少库存,$\therefore y=4$ 不合题意,舍去,$\therefore y=5,$答:售价应降低5元.
解析
【分析】
（1）本题为平均增长率类问题，解题思路为：首先明确增长初始量为2月份销售额200万元，增长次数为2次（2月到4月），最终量为4月份销售额242万元，设月增长率为x，按照“初始量×(1+增长率)ⁿ=最终量（n为增长次数）”的等量关系列一元二次方程，求解后结合增长率为正的实际意义舍去不符合要求的根即可。
（2）本题为销售利润类问题，解题思路为：牢记总利润的核心公式“总利润=每千克利润×销售量”，设售价降低y元，先分别表示出降价后的单千克利润、降价后的总销售量，代入总利润为5600元的等量关系列方程，求解后结合“尽量减少库存”的要求，选择能让销售量更大的根，舍去不符合要求的根即可。
【解析】
（1）解：设月增长率为x，根据题意得：
$200(1+x)^2=242$
方程两边同除以200得：$(1+x)^2=1.21$
开平方得：$1+x=\pm1.1$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$
增长率不能为负，故$x_2=-2.1$不合题意，舍去。
答：月增长率为10%。
（2）解：设售价应降低y元，
降价后每千克水果的利润为$(24-y-12)$元，降价后每天的销售量为$(300+100y)$千克，根据总获利5600元列方程得：
$(24-y-12)(300+100y)=5600$
整理得：$y^2-9y+20=0$
因式分解得：$(y-4)(y-5)=0$
解得：$y_1=4$，$y_2=5$
∵要尽量减少库存，售价降低越多销售量越大，
∴$y=4$不合题意，舍去，故$y=5$。
答：售价应降低5元。
【答案】
(1) 月增长率为10%；
(2) 售价应降低5元。
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题、销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常见题型，解题关键是找准等量关系正确列出方程，需要注意求解后要结合题目的实际限制条件对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
（1）本题为平均增长率类问题，解题思路为：首先明确增长初始量为2月份销售额200万元，增长次数为2次（2月到4月），最终量为4月份销售额242万元，设月增长率为x，按照“初始量×(1+增长率)ⁿ=最终量（n为增长次数）”的等量关系列一元二次方程，求解后结合增长率为正的实际意义舍去不符合要求的根即可。
（2）本题为销售利润类问题，解题思路为：牢记总利润的核心公式“总利润=每千克利润×销售量”，设售价降低y元，先分别表示出降价后的单千克利润、降价后的总销售量，代入总利润为5600元的等量关系列方程，求解后结合“尽量减少库存”的要求，选择能让销售量更大的根，舍去不符合要求的根即可。
【解析】
（1）解：设月增长率为x，根据题意得：
$200(1+x)^2=242$
方程两边同除以200得：$(1+x)^2=1.21$
开平方得：$1+x=\pm1.1$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$
增长率不能为负，故$x_2=-2.1$不合题意，舍去。
答：月增长率为10%。
（2）解：设售价应降低y元，
降价后每千克水果的利润为$(24-y-12)$元，降价后每天的销售量为$(300+100y)$千克，根据总获利5600元列方程得：
$(24-y-12)(300+100y)=5600$
整理得：$y^2-9y+20=0$
因式分解得：$(y-4)(y-5)=0$
解得：$y_1=4$，$y_2=5$
∵要尽量减少库存，售价降低越多销售量越大，
∴$y=4$不合题意，舍去，故$y=5$。
答：售价应降低5元。
【答案】
(1) 月增长率为10%；
(2) 售价应降低5元。
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题、销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常见题型，解题关键是找准等量关系正确列出方程，需要注意求解后要结合题目的实际限制条件对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
10. 若关于$ x $的一元二次方程$ (2k - 1)x^2 + x - 4k^2 = 0 $的一个根为1，则$ k $的值为（
A.$ \frac{1}{2} $
B.0或$ \frac{1}{2} $
C.1
D.0
D
）A.$ \frac{1}{2} $
B.0或$ \frac{1}{2} $
C.1
D.0
答案
10.D
解析
【分析】
解题时首先明确两个关键条件：①该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，可先得到k的取值限制；②x=1是方程的根，根据方程根的定义，将x=1代入原方程即可得到关于k的方程，求解后结合前面的取值限制筛选，即可得到正确的k值。
【解析】
∵ 方程$(2k - 1)x^2 + x - 4k^2 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$2k-1≠0$，解得$k≠\frac{1}{2}$
∵ $x=1$是方程的根，将$x=1$代入原方程得：
$(2k - 1)×1^2 + 1 - 4k^2 = 0$
化简得：$2k -1 +1 -4k^2 =0$，即$2k -4k^2=0$
因式分解得：$2k(1-2k)=0$
解得：$k=0$或$k=\frac{1}{2}$
结合$k≠\frac{1}{2}$的限制，舍去$k=\frac{1}{2}$，因此$k=0$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的常规题型，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，未对求解出的k值进行检验，误选B选项，解题时要注意先挖掘题目中的隐含约束，再求解验证。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两个关键条件：①该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，可先得到k的取值限制；②x=1是方程的根，根据方程根的定义，将x=1代入原方程即可得到关于k的方程，求解后结合前面的取值限制筛选，即可得到正确的k值。
【解析】
∵ 方程$(2k - 1)x^2 + x - 4k^2 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$2k-1≠0$，解得$k≠\frac{1}{2}$
∵ $x=1$是方程的根，将$x=1$代入原方程得：
$(2k - 1)×1^2 + 1 - 4k^2 = 0$
化简得：$2k -1 +1 -4k^2 =0$，即$2k -4k^2=0$
因式分解得：$2k(1-2k)=0$
解得：$k=0$或$k=\frac{1}{2}$
结合$k≠\frac{1}{2}$的限制，舍去$k=\frac{1}{2}$，因此$k=0$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的常规题型，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，未对求解出的k值进行检验，误选B选项，解题时要注意先挖掘题目中的隐含约束，再求解验证。
【难度系数】
0.7
11.某公司四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该公司五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（
A.$50(1+x)^2=182$
B.$50+50(1+x)+50(1+x)^2=182$
C.$50(1+2x)=182$
D.$50+50(1+x)+50(1+2x)^2=182$
B
）A.$50(1+x)^2=182$
B.$50+50(1+x)+50(1+x)^2=182$
C.$50(1+2x)=182$
D.$50+50(1+x)+50(1+2x)^2=182$
答案
11.B
解析
【分析】
首先明确第二季度包含4、5、6三个月，总产量为三个月产量之和。已知四月份产量为50万个，五、六月份平均每月增长率为x，我们只需要依次表示出五月份、六月份的产量，再将三个月产量相加等于第二季度总产量182万个，即可列出对应方程，注意不要误将六月份产量当成第二季度总产量。
【解析】
1. 计算各月产量：
① 四月份产量：题目直接给出为50万个；
② 五月份产量：在四月份基础上增长x，因此产量为$50(1+x)$万个；
③ 六月份产量：在五月份基础上再增长x，因此产量为$50(1+x)×(1+x)=50(1+x)^2$万个。
2. 根据第二季度总产量列等式：
第二季度总产量=四月产量+五月产量+六月产量，代入数值可得：
$50 + 50(1+x) + 50(1+x)^2 = 182$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
增长率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类的典型基础题，解题关键是明确总产量对应的时间范围，准确表示出每个阶段的产量，避免出现只计算最后一个阶段产量的错误。
【难度系数】
0.7
首先明确第二季度包含4、5、6三个月，总产量为三个月产量之和。已知四月份产量为50万个，五、六月份平均每月增长率为x，我们只需要依次表示出五月份、六月份的产量，再将三个月产量相加等于第二季度总产量182万个，即可列出对应方程，注意不要误将六月份产量当成第二季度总产量。
【解析】
1. 计算各月产量：
① 四月份产量：题目直接给出为50万个；
② 五月份产量：在四月份基础上增长x，因此产量为$50(1+x)$万个；
③ 六月份产量：在五月份基础上再增长x，因此产量为$50(1+x)×(1+x)=50(1+x)^2$万个。
2. 根据第二季度总产量列等式：
第二季度总产量=四月产量+五月产量+六月产量，代入数值可得：
$50 + 50(1+x) + 50(1+x)^2 = 182$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
增长率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类的典型基础题，解题关键是明确总产量对应的时间范围，准确表示出每个阶段的产量，避免出现只计算最后一个阶段产量的错误。
【难度系数】
0.7
12.(核心素养·应用意识)某造纸厂为节约木材,实现企业绿色低碳发展,通过技术改造升级,使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3,4月份共生产再生纸800吨,其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨.
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元,5月份再生纸产量比上月增加$m\%$,5月份每吨再生纸的利润比上月增加$\frac{m}{2}\%$,则5月份再生纸项目月利润达到66万元,求$m$的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元,4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同,6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元.
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元,5月份再生纸产量比上月增加$m\%$,5月份每吨再生纸的利润比上月增加$\frac{m}{2}\%$,则5月份再生纸项目月利润达到66万元,求$m$的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元,4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同,6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元.
答案
12. (1)解:设 3 月份再生纸产量为 x 吨,则 4 月份再生纸产量为$(2x-100)$吨.由题意,得 $x+(2x-100)=800,$解得 $x=300,\therefore 2x-100=500.$ 答:4 月份再生纸的产量为500吨.
(2)由题意,得 $500(1+m\%)· 1000(1+\frac{m}{2}\%)=660000,$解得 $m_1=20,m_2=-320$(不合题意,舍去),$\therefore m=20.$
(3)设 4 至 6 月每吨再生纸利润的月平均增长率为 y,5 月份再生纸的产量为 a 吨,根据题意,得 $1200(1+y)^2· a(1+y)=(1+25\%)× 1200(1+y)· a,\therefore 1200(1+y)^2=1500.$ 答:6 月份每吨再生纸的利润是 1500元.
(2)由题意,得 $500(1+m\%)· 1000(1+\frac{m}{2}\%)=660000,$解得 $m_1=20,m_2=-320$(不合题意,舍去),$\therefore m=20.$
(3)设 4 至 6 月每吨再生纸利润的月平均增长率为 y,5 月份再生纸的产量为 a 吨,根据题意,得 $1200(1+y)^2· a(1+y)=(1+25\%)× 1200(1+y)· a,\therefore 1200(1+y)^2=1500.$ 答:6 月份每吨再生纸的利润是 1500元.
解析
【分析】
第(1)问属于和差倍分的实际应用问题，解题核心是找准等量关系：3月产量+4月产量=800吨，且4月产量=3月产量×2-100吨，设3月份产量为未知数列一元一次方程，即可求解得到4月产量。
第(2)问为利润类增长率问题，遵循“总利润=单吨利润×产量”的基本关系，5月产量是4月产量乘(1+m%)，5月单吨利润是4月单吨利润乘(1+$\frac{m}{2}$%)，两者乘积等于5月总利润66万元，列一元二次方程求解后，舍去不符合实际意义的负根即可。
第(3)问涉及两个相同的增长率，设利润月平均增长率为y、5月产量为a，根据“6月总利润比5月增加25%”列方程，可发现方程中非零的a和(1+y)可整体约去，无需单独求y的值，直接就能得到6月单吨利润的结果，简化计算过程。
【解析】
(1)解：设3月份再生纸产量为x吨，则4月份再生纸产量为$(2x-100)$吨。
由题意得：$x+(2x-100)=800$
解得$x=300$
$\therefore 2x-100=2×300-100=500$
(2)由题意得：$500(1+m\%)· 1000(1+\frac{m}{2}\%)=660000$
解得 $m_1=20,m_2=-320$，因增长率不能为负，舍去$m_2=-320$，故$m=20$。
(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨。
由题意得：$1200(1+y)^2· a(1+y)=(1+25\%)× 1200(1+y)· a$
$\because a≠0,1+y≠0$，两边同时除以$1200(1+y)·a$，得$1200(1+y)^2=1500$，即6月份每吨再生纸利润为1500元。
【答案】
(1)4月份再生纸的产量为500吨；(2)$m$的值为20；(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元。
【知识点】
一元一次方程应用；一元二次方程应用；增长率问题
【点评】
本题结合绿色低碳生产的实际背景，考查方程在生产经营问题中的应用，解题时需准确梳理各量之间的关系列方程，第三问巧用整体消元的思路可大幅简化计算，能有效锻炼学生的数学应用能力。
【难度系数】
0.7
第(1)问属于和差倍分的实际应用问题，解题核心是找准等量关系：3月产量+4月产量=800吨，且4月产量=3月产量×2-100吨，设3月份产量为未知数列一元一次方程，即可求解得到4月产量。
第(2)问为利润类增长率问题，遵循“总利润=单吨利润×产量”的基本关系，5月产量是4月产量乘(1+m%)，5月单吨利润是4月单吨利润乘(1+$\frac{m}{2}$%)，两者乘积等于5月总利润66万元，列一元二次方程求解后，舍去不符合实际意义的负根即可。
第(3)问涉及两个相同的增长率，设利润月平均增长率为y、5月产量为a，根据“6月总利润比5月增加25%”列方程，可发现方程中非零的a和(1+y)可整体约去，无需单独求y的值，直接就能得到6月单吨利润的结果，简化计算过程。
【解析】
(1)解：设3月份再生纸产量为x吨，则4月份再生纸产量为$(2x-100)$吨。
由题意得：$x+(2x-100)=800$
解得$x=300$
$\therefore 2x-100=2×300-100=500$
(2)由题意得：$500(1+m\%)· 1000(1+\frac{m}{2}\%)=660000$
解得 $m_1=20,m_2=-320$，因增长率不能为负，舍去$m_2=-320$，故$m=20$。
(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨。
由题意得：$1200(1+y)^2· a(1+y)=(1+25\%)× 1200(1+y)· a$
$\because a≠0,1+y≠0$，两边同时除以$1200(1+y)·a$，得$1200(1+y)^2=1500$，即6月份每吨再生纸利润为1500元。
【答案】
(1)4月份再生纸的产量为500吨；(2)$m$的值为20；(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元。
【知识点】
一元一次方程应用；一元二次方程应用；增长率问题
【点评】
本题结合绿色低碳生产的实际背景，考查方程在生产经营问题中的应用，解题时需准确梳理各量之间的关系列方程，第三问巧用整体消元的思路可大幅简化计算，能有效锻炼学生的数学应用能力。
【难度系数】
0.7
