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例1 $(\frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}) × (-48)$。
答案
解：原式$=\frac{1}{4}×(-48)-\frac{1}{6}×(-48)+\frac{1}{24}×(-48)$
$=-12+8-2$
$=-6$。
$=-12+8-2$
$=-6$。
解析
【分析】
观察算式可知，括号内各分数的分母均是48的因数，若先计算括号内的加减法需要通分，计算过程繁琐，因此可运用乘法分配律，将括号内的每一项分别与-48相乘，再把所得的积相加，即可将分数运算转化为整数运算，简化计算过程，计算时需注意每项相乘时的符号处理，避免符号出错。
【解析】
解：原式$=\frac{1}{4}×(-48)-\frac{1}{6}×(-48)+\frac{1}{24}×(-48)$
$=-12+8-2$
$=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
乘法分配律；有理数乘法运算；有理数加减运算
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，核心考查乘法分配律的灵活应用，运用分配律计算可避开通分步骤，降低计算量，解题的易错点是相乘时符号处理错误，计算时要注意负号的影响。
【难度系数】
0.8
观察算式可知，括号内各分数的分母均是48的因数，若先计算括号内的加减法需要通分，计算过程繁琐，因此可运用乘法分配律，将括号内的每一项分别与-48相乘，再把所得的积相加，即可将分数运算转化为整数运算，简化计算过程，计算时需注意每项相乘时的符号处理，避免符号出错。
【解析】
解：原式$=\frac{1}{4}×(-48)-\frac{1}{6}×(-48)+\frac{1}{24}×(-48)$
$=-12+8-2$
$=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
乘法分配律；有理数乘法运算；有理数加减运算
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，核心考查乘法分配律的灵活应用，运用分配律计算可避开通分步骤，降低计算量，解题的易错点是相乘时符号处理错误，计算时要注意负号的影响。
【难度系数】
0.8
变式 计算：$-60×(\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}-\dfrac{11}{15}-\dfrac{7}{12})$。
答案
解：原式$=(-60)×\frac{3}{4}+(-60)×\frac{5}{6}-(-60)×\frac{11}{15}-(-60)×\frac{7}{12}$
$=-45-50+44+35=-16$。
$=-45-50+44+35=-16$。
解析
【分析】观察算式结构，发现-60与括号内各分数的分母均存在整除关系，因此优先选择乘法分配律进行简便计算，无需先对括号内的分数通分。解题时需将-60分别乘括号内的每一项，相乘时注意符号规则：同号得正，异号得负，最后将所得的乘积进行加减运算即可得到结果。
【解析】
根据乘法分配律展开原式：
$\begin{aligned}原式&=(-60)×\frac{3}{4}+(-60)×\frac{5}{6}-(-60)×\frac{11}{15}-(-60)×\frac{7}{12}\\&=-45-50+44+35\\&=-16\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-16}$
【知识点】
乘法分配律；有理数混合运算
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，解题关键是观察式子特征选择合适的运算律降低计算难度，运算过程中要注意符号的处理，避免漏乘或符号判断错误。
【难度系数】
0.7
【解析】
根据乘法分配律展开原式：
$\begin{aligned}原式&=(-60)×\frac{3}{4}+(-60)×\frac{5}{6}-(-60)×\frac{11}{15}-(-60)×\frac{7}{12}\\&=-45-50+44+35\\&=-16\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-16}$
【知识点】
乘法分配律；有理数混合运算
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，解题关键是观察式子特征选择合适的运算律降低计算难度，运算过程中要注意符号的处理，避免漏乘或符号判断错误。
【难度系数】
0.7
例2 学了有理数的运算后，老师给同学们出了一道题。
计算：$19\frac{17}{18}×(-9)$。
下面是两名同学的解法：
小方：原式$=-\frac{359}{18}×9=-\frac{3231}{18}=-179\frac{1}{2}$。
小杨：原式$=(19+\frac{17}{18})×(-9)=-19×9-\frac{17}{18}×9=-179\frac{1}{2}$。
(1)两名同学的解法中，谁的解法较好？
(2)请你写出一种更好的解法。
计算：$19\frac{17}{18}×(-9)$。
下面是两名同学的解法：
小方：原式$=-\frac{359}{18}×9=-\frac{3231}{18}=-179\frac{1}{2}$。
小杨：原式$=(19+\frac{17}{18})×(-9)=-19×9-\frac{17}{18}×9=-179\frac{1}{2}$。
(1)两名同学的解法中，谁的解法较好？
(2)请你写出一种更好的解法。
答案
解：(1)小杨的解法较好。
(2)$19\frac{17}{18}×(-9)=(20-\frac{1}{18})×(-9)=$
$20×(-9)-\frac{1}{18}×(-9)=-179\frac{1}{2}$。
(2)$19\frac{17}{18}×(-9)=(20-\frac{1}{18})×(-9)=$
$20×(-9)-\frac{1}{18}×(-9)=-179\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
第(1)问对比两种解法即可判断：小方的解法需要将带分数转化为假分数，涉及的数字偏大，计算易出错；小杨利用乘法分配律拆分带分数，把复杂乘法转化为简单的整数、分数乘法，计算更简便。第(2)问可以进一步优化拆分思路，将接近整十的带分数拆成“整十数减去一个小分数”的形式，再用乘法分配律计算，进一步降低计算量，提升准确率。
【解析】
(1) 对比两位同学的计算过程：小方的解法运算数字大、步骤繁琐；小杨运用乘法分配律拆分带分数，大幅简化了计算，因此小杨的解法较好。
(2) 更简便的解法步骤：
先把带分数变形为整十数减分数的形式：$19\frac{17}{18}=20-\frac{1}{18}$
再代入原式利用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}19\frac{17}{18}×(-9)&=(20-\frac{1}{18})×(-9)\\&=20×(-9)-\frac{1}{18}×(-9)\\&=-180+\frac{1}{2}\\&=-179\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) 小杨的解法较好。
(2) $19\frac{17}{18}×(-9)=(20-\frac{1}{18})×(-9)=20×(-9)-\frac{1}{18}×(-9)=-179\frac{1}{2}$
【知识点】
有理数乘法运算、乘法分配律的应用
【点评】
本题考查有理数乘法的简便计算技巧，解题时可先观察算式中数字的特征，合理拆分带分数，结合乘法分配律能够有效降低计算量，减少运算错误。
【难度系数】
0.8
第(1)问对比两种解法即可判断：小方的解法需要将带分数转化为假分数，涉及的数字偏大，计算易出错；小杨利用乘法分配律拆分带分数，把复杂乘法转化为简单的整数、分数乘法，计算更简便。第(2)问可以进一步优化拆分思路，将接近整十的带分数拆成“整十数减去一个小分数”的形式，再用乘法分配律计算，进一步降低计算量，提升准确率。
【解析】
(1) 对比两位同学的计算过程：小方的解法运算数字大、步骤繁琐；小杨运用乘法分配律拆分带分数，大幅简化了计算，因此小杨的解法较好。
(2) 更简便的解法步骤：
先把带分数变形为整十数减分数的形式：$19\frac{17}{18}=20-\frac{1}{18}$
再代入原式利用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}19\frac{17}{18}×(-9)&=(20-\frac{1}{18})×(-9)\\&=20×(-9)-\frac{1}{18}×(-9)\\&=-180+\frac{1}{2}\\&=-179\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) 小杨的解法较好。
(2) $19\frac{17}{18}×(-9)=(20-\frac{1}{18})×(-9)=20×(-9)-\frac{1}{18}×(-9)=-179\frac{1}{2}$
【知识点】
有理数乘法运算、乘法分配律的应用
【点评】
本题考查有理数乘法的简便计算技巧，解题时可先观察算式中数字的特征，合理拆分带分数，结合乘法分配律能够有效降低计算量，减少运算错误。
【难度系数】
0.8
变式 学习了有理数的乘除运算后，张老师给同学们出了这样一道题：计算$-18\frac{14}{15}÷\frac{1}{5}$。
下面是两名同学给出的解题过程：
小刚：原式$=(-18+\frac{14}{15})×5=-18×5+\frac{14}{15}×5=-85\frac{1}{3}$。
小聪：原式$=(-19+\frac{1}{15})×5=-19×5+\frac{1}{15}×5=-94\frac{2}{3}$。
(1)你认为
(2)用(1)中你认为正确的解法计算$-9\frac{13}{14}÷\frac{2}{7}$。
下面是两名同学给出的解题过程：
小刚：原式$=(-18+\frac{14}{15})×5=-18×5+\frac{14}{15}×5=-85\frac{1}{3}$。
小聪：原式$=(-19+\frac{1}{15})×5=-19×5+\frac{1}{15}×5=-94\frac{2}{3}$。
(1)你认为
小聪
的解法是正确的。(2)用(1)中你认为正确的解法计算$-9\frac{13}{14}÷\frac{2}{7}$。
答案
解：(1)观察解题过程可知，小聪的解法是正确的。
故答案为小聪。
(2)$-9\frac{13}{14}÷\frac{2}{7}$
$=(-10+\frac{1}{14})×\frac{7}{2}$
$=-10×\frac{7}{2}+\frac{1}{14}×\frac{7}{2}$
$=-35+\frac{1}{4}$
$=-(35-\frac{1}{4})$
$=-34\frac{3}{4}$。
故答案为小聪。
(2)$-9\frac{13}{14}÷\frac{2}{7}$
$=(-10+\frac{1}{14})×\frac{7}{2}$
$=-10×\frac{7}{2}+\frac{1}{14}×\frac{7}{2}$
$=-35+\frac{1}{4}$
$=-(35-\frac{1}{4})$
$=-34\frac{3}{4}$。
解析
【分析】
(1) 首先明确负带分数的拆分规则：$-a\frac{b}{c}=-(a+\frac{b}{c})=-a-\frac{b}{c}$（a、b、c为正整数，且b＜c）。小刚拆分$-18\frac{14}{15}$时错误写成$-18+\frac{14}{15}$，符号出错；小聪将$-18\frac{14}{15}$拆为$-19+\frac{1}{15}$，符合拆分规则，后续使用乘法分配律计算过程正确，因此小聪的解法正确。
(2) 计算第二问时，先根据有理数除法法则将除法转化为乘法，再模仿小聪的方法把负带分数拆成“负整数+正真分数”的形式，最后用乘法分配律展开计算，能简化运算过程，减少计算错误。
【解析】
(1) 验证两人的拆分是否正确：
$-18\frac{14}{15}=-(18+\frac{14}{15})=-18-\frac{14}{15}$，小刚拆分符号错误，导致结果错误；
小聪拆分的$-19+\frac{1}{15}=-(19-\frac{1}{15})=-18\frac{14}{15}$，拆分正确，后续乘法分配律应用无误，故小聪解法正确。
(2) 计算$-9\frac{13}{14}÷\frac{2}{7}$：
① 根据除以一个非零数等于乘它的倒数，将除法转为乘法：
原式$=(-9\frac{13}{14})×\frac{7}{2}$
② 拆分负带分数：$-9\frac{13}{14}=-10+\frac{1}{14}$，代入得：
原式$=(-10+\frac{1}{14})×\frac{7}{2}$
③ 应用乘法分配律展开：
$=-10×\frac{7}{2}+\frac{1}{14}×\frac{7}{2}$
④ 分别计算两项乘积：
$=-35+\frac{1}{4}$
⑤ 合并结果：
$=-34\frac{3}{4}$
【答案】
(1) 小聪
(2) $-34\frac{3}{4}$
【知识点】
有理数乘除运算，乘法分配律，带分数拆分
【点评】
本题重点考察有理数乘除的简便运算，解题核心是掌握负带分数的正确拆分方法，灵活运用乘法分配律可以有效降低计算量，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确负带分数的拆分规则：$-a\frac{b}{c}=-(a+\frac{b}{c})=-a-\frac{b}{c}$（a、b、c为正整数，且b＜c）。小刚拆分$-18\frac{14}{15}$时错误写成$-18+\frac{14}{15}$，符号出错；小聪将$-18\frac{14}{15}$拆为$-19+\frac{1}{15}$，符合拆分规则，后续使用乘法分配律计算过程正确，因此小聪的解法正确。
(2) 计算第二问时，先根据有理数除法法则将除法转化为乘法，再模仿小聪的方法把负带分数拆成“负整数+正真分数”的形式，最后用乘法分配律展开计算，能简化运算过程，减少计算错误。
【解析】
(1) 验证两人的拆分是否正确：
$-18\frac{14}{15}=-(18+\frac{14}{15})=-18-\frac{14}{15}$，小刚拆分符号错误，导致结果错误；
小聪拆分的$-19+\frac{1}{15}=-(19-\frac{1}{15})=-18\frac{14}{15}$，拆分正确，后续乘法分配律应用无误，故小聪解法正确。
(2) 计算$-9\frac{13}{14}÷\frac{2}{7}$：
① 根据除以一个非零数等于乘它的倒数，将除法转为乘法：
原式$=(-9\frac{13}{14})×\frac{7}{2}$
② 拆分负带分数：$-9\frac{13}{14}=-10+\frac{1}{14}$，代入得：
原式$=(-10+\frac{1}{14})×\frac{7}{2}$
③ 应用乘法分配律展开：
$=-10×\frac{7}{2}+\frac{1}{14}×\frac{7}{2}$
④ 分别计算两项乘积：
$=-35+\frac{1}{4}$
⑤ 合并结果：
$=-34\frac{3}{4}$
【答案】
(1) 小聪
(2) $-34\frac{3}{4}$
【知识点】
有理数乘除运算，乘法分配律，带分数拆分
【点评】
本题重点考察有理数乘除的简便运算，解题核心是掌握负带分数的正确拆分方法，灵活运用乘法分配律可以有效降低计算量，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
例3 计算：$4×(-\dfrac{27}{7})-3×(-\dfrac{27}{7})-6×\dfrac{27}{7}$。
答案
解：原式$=-\frac{27}{7}×(4-3+6)$
$=-27$。
$=-27$。
解析
【分析】
观察算式结构可发现，三个乘法项中都含有相同的因数$\dfrac{27}{7}$，直接计算分数乘法运算量较大，因此优先考虑逆用乘法分配律进行简便运算。首先统一各项的公因式为$-\dfrac{27}{7}$，再提取公因式，将剩余的整数系数放入括号内计算，最后计算分数乘法即可得到结果，能有效避免符号错误、减少计算量。
【解析】
逆用乘法分配律提取公因式$-\dfrac{27}{7}$计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-\frac{27}{7}×(4 - 3 + 6)\\&=-\frac{27}{7}×7\\&=-27\end{aligned}$
【答案】
$-27$
【知识点】
有理数混合运算；乘法分配律逆用
【点评】
本题属于有理数简便计算的基础题型，解题核心是观察算式的共同因数，灵活运用乘法分配律的逆运算简化计算，能有效提升运算效率、降低出错率。
【难度系数】
0.7
观察算式结构可发现，三个乘法项中都含有相同的因数$\dfrac{27}{7}$，直接计算分数乘法运算量较大，因此优先考虑逆用乘法分配律进行简便运算。首先统一各项的公因式为$-\dfrac{27}{7}$，再提取公因式，将剩余的整数系数放入括号内计算，最后计算分数乘法即可得到结果，能有效避免符号错误、减少计算量。
【解析】
逆用乘法分配律提取公因式$-\dfrac{27}{7}$计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-\frac{27}{7}×(4 - 3 + 6)\\&=-\frac{27}{7}×7\\&=-27\end{aligned}$
【答案】
$-27$
【知识点】
有理数混合运算；乘法分配律逆用
【点评】
本题属于有理数简便计算的基础题型，解题核心是观察算式的共同因数，灵活运用乘法分配律的逆运算简化计算，能有效提升运算效率、降低出错率。
【难度系数】
0.7
