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14.(22026 昆明盘龙区期末)如图,E是线段AB上一点,AE=$\frac{1}{6}$AB,AB=12,C是线段AB的中点,D是线段BC的中点.
(1)求线段BE的长；
(2)求线段BD的长.
(1)求线段BE的长；
(2)求线段BD的长.
答案
解：
(1) 因为 $AE=\frac{1}{6}AB$，$AB=12$，
所以 $AE=\frac{1}{6}×12=2$，
又因为E是线段AB上一点，
所以 $BE=AB-AE=12-2=10$。
(2) 因为C是线段AB的中点，$AB=12$，
所以 $BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$，
又因为D是线段BC的中点，
所以 $BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$。
(1) 因为 $AE=\frac{1}{6}AB$，$AB=12$，
所以 $AE=\frac{1}{6}×12=2$，
又因为E是线段AB上一点，
所以 $BE=AB-AE=12-2=10$。
(2) 因为C是线段AB的中点，$AB=12$，
所以 $BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$，
又因为D是线段BC的中点，
所以 $BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$。
解析
【分析】
(1) 要求BE的长度，已知AB的总长，且E在线段AB上，可得BE=AB-AE，因此先根据AE和AB的比例关系求出AE的长度，再通过线段差计算就能得到BE的长。
(2) 要求BD的长度，已知D是BC的中点，可得BD=½BC，因此需要先求出BC的长度；已知C是AB的中点，根据中点的性质可先求出BC=½AB，代入AB的长度得到BC后，再计算BD即可。
【解析】
(1) 因为 $AE=\frac{1}{6}AB$，$AB=12$，
所以 $AE=\frac{1}{6}×12=2$，
又因为E是线段AB上一点，
所以 $BE=AB-AE=12-2=10$。
(2) 因为C是线段AB的中点，$AB=12$，
所以 $BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$，
又因为D是线段BC的中点，
所以 $BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$
(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
线段和差运算，线段中点的定义
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题的核心是理清各线段之间的数量关系，结合已知条件逐步推导所求线段的长度即可，计算过程要注意不要混淆各线段的比例关系。
【难度系数】
0.85
(1) 要求BE的长度，已知AB的总长，且E在线段AB上，可得BE=AB-AE，因此先根据AE和AB的比例关系求出AE的长度，再通过线段差计算就能得到BE的长。
(2) 要求BD的长度，已知D是BC的中点，可得BD=½BC，因此需要先求出BC的长度；已知C是AB的中点，根据中点的性质可先求出BC=½AB，代入AB的长度得到BC后，再计算BD即可。
【解析】
(1) 因为 $AE=\frac{1}{6}AB$，$AB=12$，
所以 $AE=\frac{1}{6}×12=2$，
又因为E是线段AB上一点，
所以 $BE=AB-AE=12-2=10$。
(2) 因为C是线段AB的中点，$AB=12$，
所以 $BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$，
又因为D是线段BC的中点，
所以 $BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$
(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
线段和差运算，线段中点的定义
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题的核心是理清各线段之间的数量关系，结合已知条件逐步推导所求线段的长度即可，计算过程要注意不要混淆各线段的比例关系。
【难度系数】
0.85
15.(2025昭通期末)已知点O为直线AB上一点,将直角三角尺MON按如图所示的方式放置,且直角顶点在点O处,在∠MON内部作射线OC,且OC恰好平分∠BOM.
(1)若∠CON=28°,求∠COB的度数；
(2)若∠NOC:∠BON=1:2,求∠NOC的度数.
(1)若∠CON=28°,求∠COB的度数；
(2)若∠NOC:∠BON=1:2,求∠NOC的度数.
答案
解：
(1) 由题意得∠MON=90°，
因为∠CON=28°，
所以∠MOC = ∠MON - ∠CON = 90° - 28° = 62°。
因为OC平分∠BOM，
所以∠COB = ∠MOC = 62°。
(2) 设∠NOC = x，
由∠NOC:∠BON=1:2，可得∠BON=2x，
所以∠COB = ∠NOC + ∠BON = 3x。
因为OC平分∠BOM，
所以∠MOC = ∠COB = 3x。
又因为∠MON = ∠MOC + ∠NOC = 90°，
所以3x + x = 90°，
解得x=22.5°，
即∠NOC=22.5°。
(1) 由题意得∠MON=90°，
因为∠CON=28°，
所以∠MOC = ∠MON - ∠CON = 90° - 28° = 62°。
因为OC平分∠BOM，
所以∠COB = ∠MOC = 62°。
(2) 设∠NOC = x，
由∠NOC:∠BON=1:2，可得∠BON=2x，
所以∠COB = ∠NOC + ∠BON = 3x。
因为OC平分∠BOM，
所以∠MOC = ∠COB = 3x。
又因为∠MON = ∠MOC + ∠NOC = 90°，
所以3x + x = 90°，
解得x=22.5°，
即∠NOC=22.5°。
解析
【分析】
(1) 解题时首先明确直角三角尺的直角∠MON=90°，已知∠CON的度数，先通过角的减法运算求出∠MOC的度数，再结合OC平分∠BOM的条件，利用角平分线的性质即可得到∠COB与∠MOC相等，从而求出结果。
(2) 遇到角度的比例关系时，优先设未知数简化计算：先设∠NOC为x，根据比例关系表示出∠BON，进而得到∠COB的表达式，再结合角平分线的性质得到∠MOC=∠COB，最后利用∠MOC与∠NOC的和为90°的等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 由题意得$∠ MON=90°$，
$\because ∠ CON=28°$，
$\therefore ∠ MOC = ∠ MON - ∠ CON = 90° - 28° = 62°$。
$\because OC$平分$∠ BOM$，
$\therefore ∠ COB = ∠ MOC = 62°$。
(2) 设$∠ NOC = x$，
由$∠ NOC:∠ BON=1:2$，可得$∠ BON=2x$，
$\therefore ∠ COB = ∠ NOC + ∠ BON = x + 2x = 3x$。
$\because OC$平分$∠ BOM$，
$\therefore ∠ MOC = ∠ COB = 3x$。
又$\because ∠ MON = ∠ MOC + ∠ NOC = 90°$，
$\therefore 3x + x = 90°$，
解得$x=22.5°$，即$∠ NOC=22.5°$。
【答案】
(1) $\boxed{62°}$
(2) $\boxed{22.5°}$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；方程法求角度
【点评】
本题是角度计算的常规题型，结合直角、角平分线的性质考查角的和差关系，第二问通过设未知数将比例关系转化为角度表达式，能快速建立等量关系求解，是角度计算类题目的典型考法，需熟练掌握此类解题技巧。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时首先明确直角三角尺的直角∠MON=90°，已知∠CON的度数，先通过角的减法运算求出∠MOC的度数，再结合OC平分∠BOM的条件，利用角平分线的性质即可得到∠COB与∠MOC相等，从而求出结果。
(2) 遇到角度的比例关系时，优先设未知数简化计算：先设∠NOC为x，根据比例关系表示出∠BON，进而得到∠COB的表达式，再结合角平分线的性质得到∠MOC=∠COB，最后利用∠MOC与∠NOC的和为90°的等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 由题意得$∠ MON=90°$，
$\because ∠ CON=28°$，
$\therefore ∠ MOC = ∠ MON - ∠ CON = 90° - 28° = 62°$。
$\because OC$平分$∠ BOM$，
$\therefore ∠ COB = ∠ MOC = 62°$。
(2) 设$∠ NOC = x$，
由$∠ NOC:∠ BON=1:2$，可得$∠ BON=2x$，
$\therefore ∠ COB = ∠ NOC + ∠ BON = x + 2x = 3x$。
$\because OC$平分$∠ BOM$，
$\therefore ∠ MOC = ∠ COB = 3x$。
又$\because ∠ MON = ∠ MOC + ∠ NOC = 90°$，
$\therefore 3x + x = 90°$，
解得$x=22.5°$，即$∠ NOC=22.5°$。
【答案】
(1) $\boxed{62°}$
(2) $\boxed{22.5°}$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；方程法求角度
【点评】
本题是角度计算的常规题型，结合直角、角平分线的性质考查角的和差关系，第二问通过设未知数将比例关系转化为角度表达式，能快速建立等量关系求解，是角度计算类题目的典型考法，需熟练掌握此类解题技巧。
【难度系数】
0.7
16.某种包装盒的形状是长方体，长AD比高AE的3倍多2 dm，宽AB的长度为3 dm，它的展开图如图所示(不考虑包装盒的黏合处).
(1)设该包装盒的高为m dm，则该长方体的长为dm，边FG的长度为dm；(均用含m的式子表示)
(2)若FG的长为12 dm，现对包装盒外表面涂色，每平方分米涂色的价格是6元，则为每个包装盒涂色的费用是多少？(注:包装盒内壁不涂色)
(1)设该包装盒的高为m dm，则该长方体的长为dm，边FG的长度为dm；(均用含m的式子表示)
(2)若FG的长为12 dm，现对包装盒外表面涂色，每平方分米涂色的价格是6元，则为每个包装盒涂色的费用是多少？(注:包装盒内壁不涂色)
答案
解：(1) 该长方体的长为$\boldsymbol{(3m+2)}$ dm，边$FG$的长度为$\boldsymbol{(5m+2)}$ dm；
(2) 由题意得：
$5m+2=12$
解得 $m=2$。
则长方体的高为$2\ \mathrm{dm}$，长为$3×2+2=8\ \mathrm{dm}$，已知宽为$3\ \mathrm{dm}$。
长方体的外表面总面积为：
$2×(8×3 + 8×2 + 3×2)=2×(24+16+6)=92\ (\mathrm{dm}^2)$
总涂色费用为：
$92×6=552\ (\mathrm{元})$
答：每个包装盒涂色的费用是552元。
(2) 由题意得：
$5m+2=12$
解得 $m=2$。
则长方体的高为$2\ \mathrm{dm}$，长为$3×2+2=8\ \mathrm{dm}$，已知宽为$3\ \mathrm{dm}$。
长方体的外表面总面积为：
$2×(8×3 + 8×2 + 3×2)=2×(24+16+6)=92\ (\mathrm{dm}^2)$
总涂色费用为：
$92×6=552\ (\mathrm{元})$
答：每个包装盒涂色的费用是552元。
解析
【分析】
（1）第一小问：首先根据题目给出的“长AD比高AE的3倍多2 dm”的数量关系，高为m dm，可直接写出长的代数式；再观察展开图的边长组成，FG的长度等于1条长加2条高的长度，代入对应代数式即可得到FG的表达式。
（2）第二小问：已知FG的长度为12 dm，先代入第一问得到的FG的表达式列方程，解出高m的数值，再求出长的具体值，结合已知的宽的长度，用长方体表面积公式计算出外表面总面积，最后用总面积乘每平方分米的涂色单价即可得到总费用。
【解析】
(1) 由题意，长方体的高为m dm，长比高的3倍多2 dm，因此长为$(3m+2)$ dm；
观察展开图可得，$FG=长+2×高$，代入得$FG=3m+2+2m=(5m+2)$ dm。
(2) 已知FG的长为12 dm，代入FG的表达式得：
$5m+2=12$
解得 $m=2$
因此长方体的高为2 dm，长为$3×2+2=8$ dm，已知宽为3 dm。
长方体外表面总面积即长方体表面积，根据表面积公式计算：
$S=2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)=2×(8×3 + 8×2 + 3×2)=2×(24+16+6)=92\ (\mathrm{dm}^2)$
总涂色费用为：
$92×6=552$（元）
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3m+2)}$，$\boldsymbol{(5m+2)}$；
(2) 每个包装盒涂色的费用是552元。
【知识点】
长方体展开图，长方体表面积计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合长方体展开图综合考查了列代数式、一元一次方程的应用及表面积计算，解题关键是准确识别展开图中线段和长方体长宽高的对应关系，再结合公式逐步计算即可。
【难度系数】
0.7
（1）第一小问：首先根据题目给出的“长AD比高AE的3倍多2 dm”的数量关系，高为m dm，可直接写出长的代数式；再观察展开图的边长组成，FG的长度等于1条长加2条高的长度，代入对应代数式即可得到FG的表达式。
（2）第二小问：已知FG的长度为12 dm，先代入第一问得到的FG的表达式列方程，解出高m的数值，再求出长的具体值，结合已知的宽的长度，用长方体表面积公式计算出外表面总面积，最后用总面积乘每平方分米的涂色单价即可得到总费用。
【解析】
(1) 由题意，长方体的高为m dm，长比高的3倍多2 dm，因此长为$(3m+2)$ dm；
观察展开图可得，$FG=长+2×高$，代入得$FG=3m+2+2m=(5m+2)$ dm。
(2) 已知FG的长为12 dm，代入FG的表达式得：
$5m+2=12$
解得 $m=2$
因此长方体的高为2 dm，长为$3×2+2=8$ dm，已知宽为3 dm。
长方体外表面总面积即长方体表面积，根据表面积公式计算：
$S=2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)=2×(8×3 + 8×2 + 3×2)=2×(24+16+6)=92\ (\mathrm{dm}^2)$
总涂色费用为：
$92×6=552$（元）
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3m+2)}$，$\boldsymbol{(5m+2)}$；
(2) 每个包装盒涂色的费用是552元。
【知识点】
长方体展开图，长方体表面积计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合长方体展开图综合考查了列代数式、一元一次方程的应用及表面积计算，解题关键是准确识别展开图中线段和长方体长宽高的对应关系，再结合公式逐步计算即可。
【难度系数】
0.7
