10.(铜官区期末)如图,在$△ ABC$中,DM,EN分别垂直平分AC,BC,且交AB于M,N两点,DM与EN相交于点F.
(1)若$△ CMN$的周长为$8$,$MN=2$,则AB的长为________;
(2)若$∠ MFN=110°$,则$∠ MCN$的度数为________.

10.(1)4 (2)40°

【分析】
(1) 利用线段垂直平分线的性质，可得到AM=CM、BN=CN，将△CMN的周长转化为和AB相关的表达式，代入已知数值即可求出AB的长度。
(2) 先在△MFN中根据三角形内角和求出两个锐角的和，再结合对顶角相等、直角三角形两锐角互余求出∠A与∠B的和，进而得到∠ACB的度数，最后利用等腰三角形等边对等角的性质推导∠MCN的度数。
【解析】
(1)
∵DM垂直平分AC，EN垂直平分BC
∴AM=CM，BN=CN
∵△CMN的周长为8，即$CM+CN+MN=8$
把$CM=AM$、$CN=BN$代入得：$AM+BN+MN=8$
由点的顺序A、N、M、B可知，$AM=AN+MN$，$BN=BM+MN$，因此$AM+BN=AN+MN+BM+MN=AB+MN$
代入上式得：$AB+MN+MN=8$
已知$MN=2$，则$AB+2+2=8$，解得$AB=4$。
(2) 在△MFN中，$∠ MFN=110°$
∴$∠ FMN+∠ FNM=180°-110°=70°$
由对顶角相等可得$∠ AMD=∠ FMN$，$∠ BNE=∠ FNM$，因此$∠ AMD+∠ BNE=70°$
∵$DM⊥ AC$，$EN⊥ BC$
∴$∠ A+∠ AMD=90°$，$∠ B+∠ BNE=90°$
∴$∠ A+∠ B=(90°-∠ AMD)+(90°-∠ BNE)=180°-70°=110°$
在△ABC中，$∠ ACB=180°-(∠ A+∠ B)=180°-110°=70°$
又
∵$AM=CM$，$BN=CN$
∴$∠ A=∠ ACM$，$∠ B=∠ BCN$
∴$∠ ACM+∠ BCN=∠ A+∠ B=110°$
观察图形可知$∠ ACM+∠ BCN=∠ ACB+∠ MCN$
代入得$110°=70°+∠ MCN$，解得$∠ MCN=40°$。
【答案】
(1)4；(2)$40°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是线段垂直平分线相关的典型题型，解题核心是利用线段垂直平分线的性质做线段和角度的等量转化，结合三角形内角和定理即可求出结果。
【难度系数】
0.6

11.如图,在$△ ABC$中,$D$是$BC$边上一点,$AB=BD$,$BF$平分$∠ ABC$交$AD$于点$E$,交$AC$于点$F$,连接$DF$.
(1)求证:$BF$垂直平分$AD$.
(2)若$∠ ABC = 82°$,$∠ BAC = 78°$,则$∠ DFC$的度数为.

11. (1)证明：
∵ BF 平分∠ABC,
∴ ∠ABF=∠DBF,
∵ AB=BD,
∴点B在AD的垂直平分线上. 在△ABF与△DBF中，
$\begin{cases} BF=BF, \\ ∠ABF=∠DBF, \\ AB=DB, \end{cases}$
∴ △ABF ≌ △DBF,(SAS),
∴AF=DF,
∴点F在AD的垂直平分线上，
∴BF垂直平分AD.
(2)58°

【分析】
(1)要证明BF垂直平分AD，依据线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，只需证明点B和点F都在AD的垂直平分线上即可。首先由AB=BD可直接得点B在AD的垂直平分线上；再利用BF是角平分线的条件，通过SAS证明△ABF≌△DBF，得到AF=DF，即可证明点F也在AD的垂直平分线上，两点确定一条直线，因此BF垂直平分AD。
(2)求∠DFC的度数时，先利用三角形内角和求出△ABC中∠C的度数，再根据全等三角形的性质得到∠BDF=∠BAC，最后利用三角形外角的性质：外角等于不相邻两个内角的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1)证明：
∵ BF平分∠ABC，
∴ ∠ABF=∠DBF，
∵ AB=BD，
∴ 点B在AD的垂直平分线上。
在△ABF和△DBF中：
$\begin{cases} AB=DB \\ ∠ABF=∠DBF \\ BF=BF \end{cases}$
∴ △ABF ≌ △DBF（SAS），
∴ AF=DF，
∴ 点F在AD的垂直平分线上，
∵ 两点确定一条直线，
∴ BF垂直平分AD。
(2)解：在△ABC中，∠ABC=82°，∠BAC=78°，
由三角形内角和为180°得：
$∠ C=180°-∠ ABC-∠ BAC=180°-82°-78°=20°$，
由(1)知△ABF≌△DBF，
∴ $∠ BDF=∠ BAC=78°$，
∵ ∠BDF是△DFC的外角，
∴ $∠ BDF=∠ C+∠ DFC$，
∴ $∠ DFC=∠ BDF-∠ C=78°-20°=58°$。
【答案】
(1)BF垂直平分AD，证明成立；
(2)$58°$
【知识点】
线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题综合考察线段垂直平分线的判定、全等三角形的性质及三角形角的关系推导，需熟练掌握相关定理，灵活转化角的数量关系求解，是几何基础综合类题型。
【难度系数】
0.7

请阅读下列材料：
如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小。
小明的思路是：如图2，先作点A关于直线l的对称点A'，使点A'，B分别位于直线l的两侧，再连接A'B，根据“两点之间线段最短”可知A'B与直线l的交点P即为所求。

请你参考小明同学的思路，探究并解决问题：
1. 如图，在平面直角坐标系中，有点A(2,4)，B(5,2)。

【直接应用】
(1)在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是；
【变式应用】
(2)若在x轴上有一点C，y轴上有一点D，使得四边形ABCD的周长最小，在图中画出点C，D的位置。

1. (1)(4,0)
(2)解：如图所示，点C,D即为所求。

【分析】
(1) 要求x轴上点P到A、B的距离之和最小，参考题中给出的最短路径模型，将其中一个点关于x轴对称，转化为两点异侧的情况，连接对称点与另一个点，与x轴的交点即为所求P点，再通过求一次函数解析式计算交点坐标即可。
(2) 四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+DA，其中AB是定长，因此只需使BC+CD+DA的和最小即可。分别作点A关于y轴的对称点、点B关于x轴的对称点，连接两个对称点，与y轴、x轴的交点即为D、C，此时三条线段的和等于两个对称点之间的线段长，满足最短。
【解析】
(1) 作点A关于x轴的对称点$A'$，已知$A(2,4)$，则$A'$的坐标为$(2,-4)$。
设直线$A'B$的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A'(2,-4)$、$B(5,2)$代入解析式得：
$\begin{cases}2k + b = -4 \\5k + b = 2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k=6$，解得$k=2$。
将$k=2$代入$2k+b=-4$，得$4+b=-4$，解得$b=-8$。
因此直线$A'B$的解析式为$y=2x-8$。
令$y=0$，得$2x-8=0$，解得$x=4$，所以点P的坐标为$(4,0)$。
(2) 因为AB的长度为定值，要使四边形ABCD周长最小，只需$AD+DC+CB$的值最小。
作点A关于y轴的对称点$A''$，作点B关于x轴的对称点$B'$，连接$A''B'$，$A''B'$与y轴的交点即为点D，与x轴的交点即为点C。此时$AD=A''D$，$CB=CB'$，故$AD+DC+CB=A''D+DC+CB'=A''B'$，根据两点之间线段最短，此时$AD+DC+CB$的和最小，即四边形ABCD周长最小。
【答案】
(1) $(4,0)$
(2) 如图所示，点C,D即为所求。
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，一次函数的应用
【点评】
本题以最短路径模型为基础，结合平面直角坐标系考查轴对称的应用，解题的关键是利用轴对称将分散的线段转化到同一条线段上，结合两点之间线段最短求解，有利于培养学生的模型思想和转化思维。
【难度系数】
0.7

2.如图，P为$∠ AOB$内一定点，M，N分别是射线OA，OB上的点，当$△ PMN$的周长最小时，$∠ MPN=100°$，则$∠ AOB=$。

2. 40°

【分析】
要使△PMN的周长最小，需将PM、PN转化为等长线段，将三边之和转化为两点之间的线段长度。首先作点P关于OA的对称点P₁、关于OB的对称点P₂，连接P₁P₂与OA、OB的交点即为所求的M、N，此时△PMN周长最小。再结合轴对称的性质得到等角，利用三角形、四边形内角和定理即可计算出∠AOB的度数。
【解析】
分别作点P关于射线OA、OB的对称点P₁、P₂，连接P₁P₂，交OA于点M，交OB于点N，此时△PMN的周长最小。
由轴对称的性质可得：OA垂直平分线段PP₁，OB垂直平分线段PP₂，
因此$PM=P_1M$，$PN=P_2N$，$∠ P_1=∠ MPP_1$，$∠ P_2=∠ NPP_2$，且$PP_1⊥ OA$，$PP_2⊥ OB$。
在$△ P_1PP_2$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ P_1 + ∠ P_2 + ∠ P_1PP_2 = 180°$，
又$∠ P_1PP_2 = ∠ MPP_1 + ∠ MPN + ∠ NPP_2 = ∠ P_1 + 100° + ∠ P_2$，
代入上式得：$∠ P_1 + ∠ P_2 + ∠ P_1 + 100° + ∠ P_2 = 180°$，
化简得$2(∠ P_1 + ∠ P_2)=80°$，即$∠ P_1 + ∠ P_2=40°$，
因此$∠ P_1PP_2=40° + 100°=140°$。
设$PP_1$与OA交于点Q，$PP_2$与OB交于点R，在四边形OQPR中，$∠ OQP=∠ ORP=90°$，四边形内角和为$360°$，因此：
$∠ AOB + ∠ OQP + ∠ ORP + ∠ P_1PP_2 = 360°$，
代入得$∠ AOB + 90° + 90° + 140° = 360°$，
解得$∠ AOB=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
轴对称最短路径、轴对称的性质、多边形内角和
【点评】
本题是轴对称在最短路径问题中的典型应用，解题的核心是通过作对称点将周长最小值问题转化为两点之间线段最短的问题，再结合角度关系计算未知角，需要熟练掌握轴对称的性质和内角和定理的灵活应用。
【难度系数】
0.6