1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，线段PB的长度为（）

A.6
B.5
C.4
D.3

1.B

【分析】
解题时先提取题目已知条件：直线CD是线段AB的垂直平分线，点P在直线CD上，PA=5。回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等，因此可直接得到PB与PA相等，代入PA的长度即可求出PB的长度。
【解析】
解：
∵直线CD是线段AB的垂直平分线，且点P在直线CD上，
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴PB = PA，
又
∵已知PA=5，
∴PB=5，故答案选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，考查线段垂直平分线性质的直接应用，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2. 如图，在$△ ABC$中，$DE$是$AC$的垂直平分线，交$AC$于点$E$，交$BC$于点$D$，若$∠ B=75°$，$∠ C=35°$，则$∠ BAD$的度数是（）

A.$45°$
B.$35°$
C.$25°$
D.$15°$

2.B

【分析】
解题时先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD，由等边对等角推出∠DAC=∠C，最后用∠BAC减去∠DAC即可求出∠BAD的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 75° - 35° = 70°$
∵DE是AC的垂直平分线，点D在DE上
∴$AD = CD$
∴$∠ DAC = ∠ C = 35°$
∴$∠ BAD = ∠ BAC - ∠ DAC = 70° - 35° = 35°$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等边对等角；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考察线段垂直平分线性质的运用，结合三角形内角和定理即可快速求解，熟练掌握相关几何性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8

3.如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（）

A.10.5
B.12
C.15
D.18

3.C

【分析】
解题时先结合已知条件回忆相关性质：DE是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得垂直平分线上的点D到B、C两点的距离相等，即BD=CD。再明确△ACD的周长为AC+AD+CD，通过等量代换把CD替换为BD，此时AD+BD恰好等于AB的长度，就可以把待求周长转化为已知线段AB和AC的和，代入数值即可计算出结果。
【解析】
解：
∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线
∴BD=CD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
△ACD的周长 = AC + AD + CD
将CD替换为BD，可得：
△ACD的周长 = AC + AD + BD = AC + AB
已知AB=9，AC=6，代入得：
△ACD的周长 = 9 + 6 = 15
故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题核心是利用性质完成边长的等量代换，将未知的周长转化为已知线段的和，是几何基础题的常见考查形式。
【难度系数】
0.8

4.(贺州市期末)如图，$△ ABC$的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若$AC=8$，$CD=5$，则$BD=$.

4.3

【分析】
解题时首先提取题干关键信息：点D在AB的垂直平分线上，结合线段垂直平分线的性质可知，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此BD=AD，只需先求出AD的长度即可得到BD的长。已知AC和CD的长度，利用线段的和差关系就能算出AD，代入等量关系即可求解。
【解析】
第一步计算AD的长度：
已知$AC=8$，$CD=5$，根据线段和差关系可得：
$AD=AC-CD=8-5=3$
第二步结合线段垂直平分线的性质推导BD的长度：
∵点D在AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
∴$BD=AD=3$
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段的和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是熟练掌握相关性质，将待求线段BD转化为可通过已知条件计算的AD，结合线段和差即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

5.如图，$AB=AE$，$BC=ED$，$AF$是$CD$的垂直平分线.求证：$∠ B=∠ E$.

5. 证明：如图，连接AC，AD.
∵AF是CD的垂直平分线，
∴AC=AD. 又AB=AE,BC=ED,
∴△ABC≌△AED.(SSS),
∴∠B=∠E.

【分析】
要证明∠B=∠E，可通过证明两角所在的三角形全等推导。已知AB=AE、BC=ED，缺少一组对应边相等的条件，结合AF是CD的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，可连接AC、AD得到AC=AD，凑齐三边对应相等的全等判定条件，证明△ABC≌△AED后即可得到对应角相等。
【解析】
证明：首先连接辅助线AC、AD，
∵AF是CD的垂直平分线，点A在AF上，
∴由线段垂直平分线的性质可得：AC=AD。
在△ABC和△AED中：
$\begin{cases} AB=AE（已知） \\ BC=ED（已知） \\ AC=AD（已证） \end{cases}$
∴△ABC≌△AED（SSS），
∴由全等三角形对应角相等可得：∠B=∠E。
【答案】
证明：如图，连接AC，AD.
∵AF是CD的垂直平分线，
∴AC=AD. 又AB=AE,BC=ED,
∴△ABC≌△AED.(SSS),
∴∠B=∠E.
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.全等三角形SSS判定
3.全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是合理构造辅助线，利用线段垂直平分线性质得到相等线段，为全等证明创造条件，能帮助学生巩固线段垂直平分线和全等三角形的相关应用。
【难度系数】
0.7

6.如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（）

A.AB的垂直平分线上
B.AC的垂直平分线上
C.BC的垂直平分线上
D.不能确定

6.B

【分析】
解题时先从已知条件和图形特征入手：首先点D在BC上，根据线段和的定义可得BC=BD+DC，结合题目给出的BC=BD+AD，两个等式作对比即可推出AD=DC；再回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，结合AD=DC的结论就能判断点D的位置。
【解析】
解：
∵点D在△ABC的边BC上，
∴BC = BD + DC（线段和的定义），
又
∵已知BC = BD + AD，
∴BD + DC = BD + AD，
等式两边同时减去BD，可得AD = DC，
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，
∵点D到点A、点C的距离相等（AD=DC），
∴点D在AC的垂直平分线上。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
线段的和差；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查线段垂直平分线判定定理的应用，解题的关键是通过线段和的等量关系推导出AD=DC，熟记相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

7.如图，D是△ABC的边BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，并且DE=DF，连接AD，EF。求证：AD垂直平分EF。

7. 证明：
∵ DE ⊥ AB, DF ⊥ AC,
∴ ∠AED=∠AFD=90°.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
$\begin{cases} AD=AD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴ Rt△ADE≌Rt△ADF.(HL),
∴AE=AF.
∴点A,D在线段EF的垂直平分线上，即AD垂直平分EF.

【分析】
要证明AD垂直平分EF，依据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，只需证明点A和点D都在EF的垂直平分线上即可。首先已知DE=DF，说明点D到E、F的距离相等，因此点D已经在EF的垂直平分线上；接下来需要证明AE=AF，才能说明点A也在EF的垂直平分线上。由DE⊥AB、DF⊥AC可得△ADE和△ADF都是直角三角形，二者有公共斜边AD，且已知直角边DE=DF，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，从而得到AE=AF，最后结合两点确定一条直线，即可得出AD垂直平分EF的结论。
【解析】
证明：
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，
∴ ∠AED=∠AFD=90°。
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
$\begin{cases} AD=AD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴ Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴ AE=AF。
又
∵DE=DF，
∴点A、D都在线段EF的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴AD垂直平分EF。
【答案】
证明：
∵ DE ⊥ AB, DF ⊥ AC,
∴ ∠AED=∠AFD=90°.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
$\begin{cases} AD=AD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴ Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),
∴AE=AF.
∴点A,D在线段EF的垂直平分线上，即AD垂直平分EF.
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题的核心是灵活运用直角三角形全等的判定和线段垂直平分线的判定定理，通过证明三角形全等得到对应边相等，再结合垂直平分线的判定推导最终结论，能有效巩固相关基础定理的应用。
【难度系数】
0.8

8. 如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为（）


A.12
B.6
C.8
D.24

8.B

【分析】
首先利用线段垂直平分线的性质得到BE=CE、BD=CD，再分别写出△EDC的周长表达式、△ABC与四边形AEDC的周长差的表达式，将两个表达式联立，消去公共的线段和，即可求出DE的长度。
【解析】
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，BD=CD。
已知△EDC的周长为24，可得：
$DE + CD + CE = 24$ ---①
已知△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，
△ABC周长：$AB + BC + AC = AE + BE + 2CD + AC$，
四边形AEDC周长：$AE + DE + CD + AC$，
两式作差得：
$(AE + BE + 2CD + AC) - (AE + DE + CD + AC) = 12$
化简得：$BE + CD - DE =12$，
又
∵BE=CE，代入得：
$CE + CD - DE =12$ ---②
用①式减去②式：
$(DE + CD + CE) - (CE + CD - DE) = 24 - 12$
$2DE =12$
解得$DE=6$。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；周长的计算；代数式化简
【点评】
本题核心是利用线段垂直平分线的性质转化相等线段，通过对周长关系的化简消元求解，解题时要注意将复杂的周长表达式拆分成已知相等的线段组合，简化计算过程。
【难度系数】
0.7

9.(合肥市长丰县期末)如图,在平面直角坐标系中,已知点A,B,C,D的坐标,现有一点P到点A,B的距离相等,且在直线CD上,根据图中数据可知点P的坐标为.

9.(-1,3)

【分析】要找到满足条件的点P，需结合两个条件分析：①点P到A、B距离相等，根据线段垂直平分线的判定，点P在线段AB的垂直平分线上；②点P在直线CD上，因此点P是AB的垂直平分线与直线CD的交点。解题时先根据A、B的坐标特征求出AB的垂直平分线，再用待定系数法求出直线CD的解析式，最后联立两个表达式即可求出交点P的坐标。
【解析】
1. 求线段AB的垂直平分线：
已知$A(-4,-1)$，$B(2,-1)$，两点纵坐标相等，故AB平行于x轴。
AB的中点横坐标为$\frac{-4+2}{2}=-1$，纵坐标为$-1$，即中点坐标为$(-1,-1)$。
AB的垂直平分线与AB垂直，因此垂直平分线平行于y轴，表达式为$\boldsymbol{x=-1}$。
2. 求直线CD的解析式：
设直线CD的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$C(-2,4)$、$D(1,1)$分别代入解析式，得方程组：
$\begin{cases} -2k + b = 4 \\ k + b = 1 \end{cases}$
两式相减消去$b$，得$3=-3k$，解得$k=-1$。
将$k=-1$代入$k + b = 1$，得$-1 + b =1$，解得$b=2$。
因此直线CD的解析式为$\boldsymbol{y=-x+2}$。
3. 求交点P的坐标：
因为点P在直线$x=-1$上，将$x=-1$代入$y=-x+2$，得$y=-(-1)+2=3$。
因此点P的坐标为$(-1,3)$。
【答案】$(-1,3)$
【知识点】线段垂直平分线判定；待定系数法求解析式；一次函数交点求解
【点评】本题结合几何性质与一次函数知识考查，解题的核心是先通过线段垂直平分线的判定确定点P所在的其中一条直线，再联立两条直线的表达式求交点，既考查了几何性质的灵活应用，也考查了一次函数的基本计算能力。
【难度系数】0.7