10. 如图，$∠ ACB=90°$，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论不一定正确的是 （）

A.$∠ BDE=∠ BAC$
B.$∠ BAD=∠ B$
C.$DE=DC$
D.$AE=AC$

第10题图 第11题图

10.B

【分析】
首先识别尺规作图的含义：图中痕迹表明AD是∠BAC的角平分线，DE是点D到AB的垂线段。解题时先结合角平分线的性质得到DC与DE的关系，再通过全等三角形、直角三角形余角的性质逐一验证四个选项的结论是否恒成立，最终选出不一定正确的选项。
【解析】
由尺规作图痕迹可得：AD平分∠BAC，DE⊥AB，已知∠ACB=90°，即DC⊥AC。
1. 对选项C：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此D到AC、AB的距离相等，即DE=DC，C一定正确。
2. 对选项D：在Rt△ACD和Rt△AED中，$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DC=DE\end{array} $，由HL可证Rt△ACD≌Rt△AED，因此对应边AE=AC，D一定正确。
3. 对选项A：在Rt△BDE中，∠BDE+∠B=90°；在Rt△ABC中，∠BAC+∠B=90°，根据同角的余角相等，可得∠BDE=∠BAC，A一定正确。
4. 对选项B：∠BAD是∠BAC的一半，仅当∠BAC=2∠B（即∠B=30°）时才有∠BAD=∠B，题目未给出该特殊条件，因此该结论不一定正确。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定、直角三角形的性质
【点评】
本题将尺规作图与几何性质考查相结合，解题的核心是先准确判断作图得到的线段的性质，再结合所学几何定理逐一分析选项，注意审清题干要求，避免误选一定正确的选项。
【难度系数】
0.7

11.如图,在$∠ AOB$的边$OA$、$OB$上取点$M$、$N$,连接$MN$,$MP$平分$∠ AMN$,$NP$平分$∠ MNB$,若$MN=1$,$△ PMN$的面积是$1$,
(1)点$P$到$OA$的距离为________;
(2)若$△ OMN$的面积是$4$,则$OM+ON$的长是________.

11.(1)2 (2)5

【分析】
(1) 解题先用到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，可得点P到OA、MN、OB的距离完全相等。结合△PMN的面积和MN的边长，先算出点P到MN的距离，即可直接得到点P到OA的距离。
(2) 由角平分线性质可知点P到OA、OB的距离和(1)中所求距离相等，连接OP后，四边形OMNP的面积可以拆分为△OMP与△ONP的面积和，也可以拆分为△OMN与△PMN的面积和，据此建立等式就能求出OM+ON的长度。
【解析】
(1) 过点P作PE⊥OA于E，PF⊥MN于F，PG⊥OB于G。
∵ MP平分∠AMN，PE⊥OA，PF⊥MN，
∴ PE=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ NP平分∠MNB，PF⊥MN，PG⊥OB，
∴ PF=PG，
∴ PE=PF=PG。
已知$S_{△ PMN}=1$，$MN=1$，
由三角形面积公式$S_{△ PMN}=\frac{1}{2} × MN × PF$，
代入得$1=\frac{1}{2} × 1 × PF$，解得$PF=2$，
因此$PE=2$，即点P到OA的距离为2。
(2) 连接OP，
∵ $PE=PG=2$，
∴ $S_{△ OMP}=\frac{1}{2} × OM × PE = OM$，$S_{△ ONP}=\frac{1}{2} × ON × PG = ON$，
又
∵ $S_{四边形OMNP}=S_{△ OMP}+S_{△ ONP}=S_{△ OMN}+S_{△ PMN}$，
已知$S_{△ OMN}=4$，$S_{△ PMN}=1$，
代入得$OM+ON=4+1=5$。
【答案】
(1)2 (2)5
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题核心是角平分线性质的应用，解题的关键是通过角平分线的性质得到点P到OA、OB、MN三条线的距离相等，再结合三角形面积公式拆分图形面积建立等量关系求解，熟练掌握角平分线性质是快速解题的核心。
【难度系数】
0.6

12. 如图，$∠ B = ∠ C = 90°$, $AE$ 平分 $∠ BAD$, $DE$ 平分 $∠ ADC$.
(1)若点 $E$ 到 $AD$ 的距离为 4,求 $BC$ 的长;
(2)【参数法】若 $S_{△ CDE}: S_{△ ABE}=2: 3$, 求 $S_{△ ADE}: S_{△ DCE}$.

12. (1)解:如图,过点$E$作$EF⊥ AD$于$F$. $\because ∠ B=∠ C=90°$,$AE$平分$∠ BAD$,$DE$平分$∠ ADC$,$\therefore BE=EF=EC$. $\because$ 点$E$到$AD$的距离为4,即$EF=4$,$\therefore BC=BE+EC=2EF=8$.
(2)由条件易得 $△ ABE ≌ △ AFE$,(AAS),$△ ECD≌△ EFD$,(AAS),$\therefore S_{△ ABE} = S_{△ AFE}$ , $S_{△ EFD} = S_{△ ECD}$.设$S_{△ CDE}=2k$,$S_{△ ABE}=3k$,则$S_{△ ADE} = S_{△ AFE} + S_{△ EFD} = S_{△ ABE} + S_{△ CDE} =3k+2k=5k$. $\therefore S_{△ ADE}: S_{△ DCE} =5k : 2k=5 : 2$.

【分析】
(1) 要求BC的长，BC可拆分为BE+EC，已知条件包含角平分线和直角，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过E作AD的垂线EF，可将BE、EC都与E到AD的距离EF建立等量关系，进而求出BC的长度。
(2) 要求两个三角形的面积比，已知△CDE和△ABE的面积比，首先通过角平分线、直角和公共边证明△ABE与△AFE全等、△CDE与△FDE全等，得到对应三角形面积相等，再用参数法设两个已知面积的三角形面积分别为2k和3k，将△ADE的面积用k表示后即可求出比值。
【解析】
(1) 如图,过点$E$作$EF⊥ AD$于$F$.
$\because ∠ B=∠ C=90°$，即$AB⊥BC$，$DC⊥BC$，
又$\because AE$平分$∠ BAD$，$DE$平分$∠ ADC$，
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$BE=EF$，$EC=EF$，
$\therefore BE=EF=EC$.
$\because$ 点$E$到$AD$的距离为4，即$EF=4$，
$\therefore BC=BE+EC=4+4=8$.
(2) 在$△ ABE$和$△ AFE$中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠AFE=90° \\∠BAE=∠FAE \\AE=AE\end{array} $
$\therefore △ ABE ≌ △ AFE$（AAS），同理可得$△ ECD≌△ EFD$（AAS），
$\therefore S_{△ ABE} = S_{△ AFE}$ , $S_{△ EFD} = S_{△ ECD}$.
设$S_{△ CDE}=2k$，$S_{△ ABE}=3k$，
则$S_{△ ADE} = S_{△ AFE} + S_{△ EFD} = S_{△ ABE} + S_{△ CDE} =3k+2k=5k$，
$\therefore S_{△ ADE}: S_{△ DCE} =5k : 2k=5 : 2$.
【答案】
(1) $BC$的长为8；(2) $S_{△ ADE}: S_{△ DCE}=5:2$，辅助线如图
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 面积比计算
【点评】
本题考查角平分线性质和全等三角形的综合应用，解题关键是正确作出AD边上的垂线，利用角平分线性质得到相等线段和全等三角形，第二问采用参数法能简化比例计算，避免了设具体数值的繁琐，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7

13.【核心素养·几何直观】如图,在$△ ABC$中,BD平分$∠ ABC$且交AC于点D,过点D作$DF⊥ BC$于点F,E为BC上一点,连接AE,DE.已知$∠ AEB=110°,∠ FDE=55°$.
(1)求证:ED平分$∠ AEC$;
(2)求证:AC是$∠ EAG$的平分线;
(3)若$AE+EC=10,AB=6,S_{△ AEC}=10$,求$S_{△ ABD}$.

13. (1)证明: $\because DF⊥ BC,\therefore ∠ DFE=90°$,$\because ∠ FDE=55°$,$\therefore ∠ DEF=180°-∠ DFE-∠ FDE=35°$. $\because ∠ AEB=110°$. $\therefore ∠ AED=180°-∠ AEB-∠ DEF=35°$,$\therefore ∠ AED = ∠ DEF = 35°$,$\therefore ED$ 平分$∠ AEC$；
(2)证明:过点$D$作$DH⊥ AE$于点$H$,$DI⊥ BG$于点$I$,$\because BD$平分$∠ ABC$,$\therefore DI=DF$,由(1)知$ED$平分$∠ AEC$,$\therefore DH=DF$,$\therefore DI=DH$,$\therefore AC$ 是$∠ EAG$的平分线；
(3)解:由(2)知,$DI=DH = DF$,$\because AE+EC=10$,$S_{△ AEC} =10$,$\therefore S_{△ AEC} = S_{△ AED} + S_{△ DEC} = \frac{1}{2} AE · DH + \frac{1}{2} EC · DF = \frac{1}{2} DH · (AE+EC) = \frac{1}{2} DH × 10 =10$,解得$DH=2$. $\because AB=6$,$\therefore S_{△ ABD} = \frac{1}{2} AB · DI =6$.

【分析】
(1) 要证明ED平分∠AEC，只需证明∠AED=∠DEF即可。先在Rt△DFE中利用三角形内角和求出∠DEF的度数，再结合平角为180°计算出∠AED的度数，对比两个角的度数即可得证。
(2) 要证明AC是∠EAG的平分线，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AE、AG两边的距离相等即可。过D作DH⊥AE于H、DI⊥BG于I，先利用BD平分∠ABC得DI=DF，再结合(1)的结论得DH=DF，等量代换得DI=DH，即可完成证明。
(3) 要求$S_{△ABD}$，已知AB的长度，只需算出AB边上的高DI即可。将$S_{△AEC}$拆分为△AED和△DEC的面积和，结合DH=DF，代入已知的AE+EC和$S_{△AEC}$的值求出DH的长度，也就是DI的长度，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：$\because DF⊥ BC,\therefore ∠ DFE=90°$，
$\because ∠ FDE=55°$，$\therefore ∠ DEF=180°-∠ DFE-∠ FDE=35°$，
$\because ∠ AEB=110°$，$\therefore ∠ AED=180°-∠ AEB-∠ DEF=35°$，
$\therefore ∠ AED = ∠ DEF = 35°$，$\therefore ED$ 平分$∠ AEC$。
(2) 证明：过点$D$作$DH⊥ AE$于点$H$，$DI⊥ BG$于点$I$，
$\because BD$平分$∠ ABC$，$DF⊥BC$，$DI⊥BG$，根据角平分线的性质得$DI=DF$，
由(1)知$ED$平分$∠ AEC$，$DF⊥BC$，$DH⊥AE$，根据角平分线的性质得$DH=DF$，
$\therefore DI=DH$，根据角平分线的判定定理，得$AC$ 是$∠ EAG$的平分线。
(3) 解：由(2)知，$DI=DH = DF$，
$\because S_{△ AEC} = S_{△ AED} + S_{△ DEC} = \frac{1}{2} AE · DH + \frac{1}{2} EC · DF = \frac{1}{2} DH · (AE+EC)$，
将$AE+EC=10$，$S_{△ AEC}=10$代入得：$\frac{1}{2} × DH × 10 =10$，解得$DH=2$，
$\therefore DI=2$，又$\because AB=6$，$\therefore S_{△ ABD} = \frac{1}{2} AB · DI = \frac{1}{2}×6×2=6$。
【答案】
(1) ED平分∠AEC，得证；
(2) AC是∠EAG的平分线，得证；
(3) $S_{△ABD}=6$
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的判定，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查角平分线的性质与判定的应用，以及三角形面积的计算，解题关键是合理作辅助线，利用角平分线的性质得到相等的垂线段，结合面积拆分求解，能较好地考查几何推理能力和直观想象能力。
【难度系数】
0.6