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1.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的
（
A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三条边的垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点
（
D
）A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三条边的垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先明确题干要求：找出三角形中到三条边距离都相等的点。接下来逐一回忆各选项对应交点的性质，将性质与题干要求匹配即可。首先梳理各交点的核心性质：①中线交点（重心）的作用是分中线为2:1的两段，与到边的距离无关；②高的交点（垂心）是三条高线的公共点，无到三边距离相等的性质；③边的垂直平分线交点（外心）的性质是到三个顶点的距离相等，不符合到边距离相等的要求；④角平分线的性质为角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三条角平分线的交点到三角形三条边的距离都相等，符合题干要求。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 三条中线的交点是三角形的重心，仅满足分每条中线为长度比2:1的两段，不具备到三条边距离相等的性质，故A错误；
B. 三条高的交点是三角形的垂心，没有到三条边距离相等的性质，故B错误；
C. 三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，不是到三条边的距离相等，故C错误；
D. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形三条角平分线的交点到三条边的距离均相等，符合题干要求，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；三角形特殊交点的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点区分三角形不同重要线段交点的性质，学习时要清晰记忆各特殊点的特征，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题干要求：找出三角形中到三条边距离都相等的点。接下来逐一回忆各选项对应交点的性质，将性质与题干要求匹配即可。首先梳理各交点的核心性质：①中线交点（重心）的作用是分中线为2:1的两段，与到边的距离无关；②高的交点（垂心）是三条高线的公共点，无到三边距离相等的性质；③边的垂直平分线交点（外心）的性质是到三个顶点的距离相等，不符合到边距离相等的要求；④角平分线的性质为角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三条角平分线的交点到三角形三条边的距离都相等，符合题干要求。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 三条中线的交点是三角形的重心，仅满足分每条中线为长度比2:1的两段，不具备到三条边距离相等的性质，故A错误；
B. 三条高的交点是三角形的垂心，没有到三条边距离相等的性质，故B错误；
C. 三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，不是到三条边的距离相等，故C错误；
D. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形三条角平分线的交点到三条边的距离均相等，符合题干要求，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；三角形特殊交点的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点区分三角形不同重要线段交点的性质，学习时要清晰记忆各特殊点的特征，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2.如图，$△ ABC$的三边$AB$，$BC$，$AC$的长分别为12，18，24，$O$是$△ ABC$三条角平分线的交点，则$S_{△ OAB}:S_{△ OBC}:S_{△ OAC}$等于（
A.$1:1:1$
B.$1:2:3$
C.$2:3:4$
D.$3:4:5$
C
）A.$1:1:1$
B.$1:2:3$
C.$2:3:4$
D.$3:4:5$
答案
2.C
解析
【分析】首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。因为O是△ABC三条角平分线的交点，所以O到三边AB、BC、AC的距离相等，即三个小△OAB、△OBC、△OAC的高相等。根据三角形面积公式，当高相同时，面积的比值等于对应底边长的比值，因此只需要计算三边AB、BC、AC的长度比，化简后即可得到三个三角形的面积比。
【解析】解：
∵O是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到AB、BC、AC三边的距离相等，设该距离为h。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△OAB}=\frac{1}{2}×AB×h$，$S_{△OBC}=\frac{1}{2}×BC×h$，$S_{△OAC}=\frac{1}{2}×AC×h$
∴$S_{△OAB}:S_{△OBC}:S_{△OAC}=AB:BC:AC$
已知AB=12，BC=18，AC=24，代入得：
$12:18:24=2:3:4$
故选C。
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】本题重点考查角平分线性质的灵活应用，解题的突破口是理解角平分线交点到三角形三边距离相等，将面积比转化为三边长的比，计算难度低，掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】0.8
【解析】解：
∵O是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到AB、BC、AC三边的距离相等，设该距离为h。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△OAB}=\frac{1}{2}×AB×h$，$S_{△OBC}=\frac{1}{2}×BC×h$，$S_{△OAC}=\frac{1}{2}×AC×h$
∴$S_{△OAB}:S_{△OBC}:S_{△OAC}=AB:BC:AC$
已知AB=12，BC=18，AC=24，代入得：
$12:18:24=2:3:4$
故选C。
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】本题重点考查角平分线性质的灵活应用，解题的突破口是理解角平分线交点到三角形三边距离相等，将面积比转化为三边长的比，计算难度低，掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】0.8
3.如图，O是$△ ABC$内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离$OF=OD=OE$. $∠ BAC=70°$，求$∠ BOC$的度数.
答案
3. 解:$\because$ 点 $O$ 到三边 $A B, B C, C A$ 的距离 $O F=O D=O E, \therefore B O, C O$ 分别平分 $∠ A B C$ 和 $∠ A C B . \because ∠ B A C=70°, \therefore ∠ A B C+∠ A C B=180°-70°= 110°, ∠ O B C+∠ O C B=\frac{1}{2}(∠ A B C+∠ A C B)=\frac{1}{2} × 110°=55°, \therefore ∠ B O C=180°-(∠ O B C+∠ O C B)=180°-55°=125°.$
解析
【分析】
解题时首先根据已知条件“O到三边AB、BC、CA的距离相等”，结合角平分线的判定定理，可推出BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线；接下来利用三角形内角和为180°，结合已知∠BAC=70°，先求出∠ABC与∠ACB的和；再根据角平分线的定义，得到∠OBC+∠OCB等于∠ABC+∠ACB和的一半；最后在△BOC中再次利用三角形内角和定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵ 点O到三边AB，BC，CA的距离$OF=OD=OE$，
∴ $BO$，$CO$分别平分$∠ABC$和$∠ACB$。
∵ $∠BAC=70°$，
∴ $∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°$，
∴ $∠OBC+∠OCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=\frac{1}{2} × 110°=55°$，
∴ $∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-55°=125°$。
【答案】
$125°$
【知识点】
角平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是角平分线相关知识与三角形内角和的综合应用题，解题的突破口是根据点到三角形三边距离相等判断出该点是三角形内角平分线的交点，整体解题思路清晰，是角平分线应用部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知条件“O到三边AB、BC、CA的距离相等”，结合角平分线的判定定理，可推出BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线；接下来利用三角形内角和为180°，结合已知∠BAC=70°，先求出∠ABC与∠ACB的和；再根据角平分线的定义，得到∠OBC+∠OCB等于∠ABC+∠ACB和的一半；最后在△BOC中再次利用三角形内角和定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵ 点O到三边AB，BC，CA的距离$OF=OD=OE$，
∴ $BO$，$CO$分别平分$∠ABC$和$∠ACB$。
∵ $∠BAC=70°$，
∴ $∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°$，
∴ $∠OBC+∠OCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=\frac{1}{2} × 110°=55°$，
∴ $∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-55°=125°$。
【答案】
$125°$
【知识点】
角平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是角平分线相关知识与三角形内角和的综合应用题，解题的突破口是根据点到三角形三边距离相等判断出该点是三角形内角平分线的交点，整体解题思路清晰，是角平分线应用部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
4.如图，已知$AB+AC=18$，$O$为$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线的交点，且$OD⊥ BC$于点
D.若$OD=3$，则四边形$ABOC$的面积是（
A.36
B.27
C.20
D.18
D.若$OD=3$，则四边形$ABOC$的面积是（
B
）A.36
B.27
C.20
D.18
答案
4.B
解析
【分析】
求解本题的核心是将不规则的四边形ABOC的面积转化为两个三角形面积之和。已知O是∠ABC与∠ACB的角平分线交点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此O到AB、AC的距离都等于OD=3，作为两个三角形的高，再结合AB+AC=18的条件，代入三角形面积公式即可算出总面积。
【解析】
过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵BO是∠ABC的角平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴根据角平分线的性质，得OE=OD=3。
同理，CO是∠ACB的角平分线，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OF=OD=3。
四边形ABOC的面积可拆分为△ABO和△ACO的面积之和，即：
$S_{四边形ABOC}=S_{△ ABO}+S_{△ ACO}$
$=\frac{1}{2}× AB× OE + \frac{1}{2}× AC× OF$
代入OE=OF=3，得：
$=\frac{3}{2}AB + \frac{3}{2}AC = \frac{3}{2}(AB+AC)$
已知AB+AC=18，代入计算：
$=\frac{3}{2}×18=27$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题关键是通过作辅助线得到O到AB、AC的距离，将不规则图形面积转化为两个规则三角形的面积之和，整体解题思路清晰，侧重对基础性质和转化思想的考察。
【难度系数】
0.7
求解本题的核心是将不规则的四边形ABOC的面积转化为两个三角形面积之和。已知O是∠ABC与∠ACB的角平分线交点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此O到AB、AC的距离都等于OD=3，作为两个三角形的高，再结合AB+AC=18的条件，代入三角形面积公式即可算出总面积。
【解析】
过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵BO是∠ABC的角平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴根据角平分线的性质，得OE=OD=3。
同理，CO是∠ACB的角平分线，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OF=OD=3。
四边形ABOC的面积可拆分为△ABO和△ACO的面积之和，即：
$S_{四边形ABOC}=S_{△ ABO}+S_{△ ACO}$
$=\frac{1}{2}× AB× OE + \frac{1}{2}× AC× OF$
代入OE=OF=3，得：
$=\frac{3}{2}AB + \frac{3}{2}AC = \frac{3}{2}(AB+AC)$
已知AB+AC=18，代入计算：
$=\frac{3}{2}×18=27$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题关键是通过作辅助线得到O到AB、AC的距离，将不规则图形面积转化为两个规则三角形的面积之和，整体解题思路清晰，侧重对基础性质和转化思想的考察。
【难度系数】
0.7
5.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB＞90°$，$△ ABC$的面积为18，$AB=9$，$BD$平分$∠ ABC$，$E,F$分别是$BD,BC$上的动点，则$CE+EF$的最小值为
4
。答案
5.4
解析
【分析】
本题属于线段和的最值问题，解题思路如下：①首先利用角平分线的轴对称性，将EF转化为其对称线段：由于BD平分∠ABC，作BC上点F关于BD的对称点，该对称点一定落在AB上，记为F'，根据轴对称性质可得EF=EF'，因此CE+EF=CE+EF'；②根据两点之间线段最短，CE+EF'的最小值为点C到AB上的点的连线的长度；③再结合垂线段最短可知，点C到AB的垂线段长度就是所求的最小值，最后利用三角形面积公式计算该垂线段长度即可。
【解析】
过点C作CH⊥AB，垂足为H。
∵BD平分∠ABC，点F关于BD的对称点F'在AB上，
∴由轴对称的性质得EF=EF'，
∴CE+EF=CE+EF'≥CF'，当C、E、F'三点共线时取等号。
根据垂线段最短可知，CF'的最小值为CH的长度，即△ABC中AB边上的高。
已知△ABC的面积为18，AB=9，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CH$，代入得：
$\frac{1}{2} × 9 × CH = 18$
解得$CH=4$，即CE+EF的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短，三角形面积计算
【点评】
本题是几何最值类的典型题型，核心考查转化思想的应用，通过角平分线的对称性将两条线段的和转化为点到直线的距离，结合垂线段最短即可快速求解，对学生的图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题属于线段和的最值问题，解题思路如下：①首先利用角平分线的轴对称性，将EF转化为其对称线段：由于BD平分∠ABC，作BC上点F关于BD的对称点，该对称点一定落在AB上，记为F'，根据轴对称性质可得EF=EF'，因此CE+EF=CE+EF'；②根据两点之间线段最短，CE+EF'的最小值为点C到AB上的点的连线的长度；③再结合垂线段最短可知，点C到AB的垂线段长度就是所求的最小值，最后利用三角形面积公式计算该垂线段长度即可。
【解析】
过点C作CH⊥AB，垂足为H。
∵BD平分∠ABC，点F关于BD的对称点F'在AB上，
∴由轴对称的性质得EF=EF'，
∴CE+EF=CE+EF'≥CF'，当C、E、F'三点共线时取等号。
根据垂线段最短可知，CF'的最小值为CH的长度，即△ABC中AB边上的高。
已知△ABC的面积为18，AB=9，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CH$，代入得：
$\frac{1}{2} × 9 × CH = 18$
解得$CH=4$，即CE+EF的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短，三角形面积计算
【点评】
本题是几何最值类的典型题型，核心考查转化思想的应用，通过角平分线的对称性将两条线段的和转化为点到直线的距离，结合垂线段最短即可快速求解，对学生的图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6.(合肥市模拟)如图①,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF//BC,交AB于点E,交AC于点F.
(1)若AB=4,AC=5,则△AEF的周长为
(2)过点O作OH⊥BC于点H,连接OA,如图②.当∠BAC=60°时,试探究OH与OA的数量关系,并说明理由.
(1)若AB=4,AC=5,则△AEF的周长为
9
.(2)过点O作OH⊥BC于点H,连接OA,如图②.当∠BAC=60°时,试探究OH与OA的数量关系,并说明理由.
答案
6. (1)9 (2)解:$O H=\frac{1}{2} O A$. 理由如下:过点 $O$ 作 $O G ⊥ A B$ 于点 $G, O Q ⊥ A C$ 于点 $Q . \because B O$ 平分 $∠ A B C$, $O H ⊥ B C, O G ⊥ A B, \therefore O H=O G$. 同理可得 $O H=O Q . \therefore O G=O Q . \therefore A O$ 平分$∠ B A C . \therefore ∠ G A O=\frac{1}{2} ∠ B A C=30° . \therefore O G=\frac{1}{2} O A$, 即 $O H=\frac{1}{2} O A.$
解析
【分析】
(1) 求解△AEF的周长时，可结合角平分线和平行线的性质推导等腰三角形，实现线段的等量转化：由BO平分∠ABC、EF//BC可推出∠EBO=∠EOB，得到EB=EO，同理可得FC=FO，即可将△AEF的周长转化为AB与AC的和，代入数值计算即可。
(2) 探究OH与OA的数量关系时，利用角平分线的性质作辅助线：过O作AB、AC的垂线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得OG=OH=OQ，进而推出AO平分∠BAC，得到∠GAO=30°，再结合含30°角的直角三角形的性质，即可得到OH与OA的数量关系。
【解析】
(1)
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠CBO，
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠CBO，
∴∠EBO=∠EOB，
∴EB=EO，
同理可得：FC=FO，
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+EO+OF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC，
∵AB=4，AC=5，
∴△AEF的周长=4+5=9。
(2) $OH=\frac{1}{2}OA$，理由如下：
过点$O$作$OG ⊥ AB$于点$G$，$OQ ⊥ AC$于点$Q$。
∵$BO$平分$∠ABC$，$OH ⊥ BC$，$OG ⊥ AB$，
∴根据角平分线的性质，得$OH=OG$。
同理可得$OH=OQ$，
∴$OG=OQ$，
∴根据角平分线的判定，$AO$平分$∠BAC$，
∴$∠GAO=\frac{1}{2} ∠BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
在$Rt△AGO$中，$∠GAO=30°$，
∴$OG=\frac{1}{2}OA$，
又
∵$OG=OH$，
∴$OH=\frac{1}{2}OA$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$；(2) $\boldsymbol{OH=\frac{1}{2}OA}$
【知识点】
角平分线的性质与判定；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形的综合基础题，核心考查角平分线相关性质与判定、等腰三角形的推导以及特殊直角三角形的线段关系，其中“角平分线+平行线推导等腰三角形”是几何题的经典模型，熟练掌握该模型和角平分线的性质可快速破题。
【难度系数】
0.7
(1) 求解△AEF的周长时，可结合角平分线和平行线的性质推导等腰三角形，实现线段的等量转化：由BO平分∠ABC、EF//BC可推出∠EBO=∠EOB，得到EB=EO，同理可得FC=FO，即可将△AEF的周长转化为AB与AC的和，代入数值计算即可。
(2) 探究OH与OA的数量关系时，利用角平分线的性质作辅助线：过O作AB、AC的垂线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得OG=OH=OQ，进而推出AO平分∠BAC，得到∠GAO=30°，再结合含30°角的直角三角形的性质，即可得到OH与OA的数量关系。
【解析】
(1)
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠CBO，
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠CBO，
∴∠EBO=∠EOB，
∴EB=EO，
同理可得：FC=FO，
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+EO+OF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC，
∵AB=4，AC=5，
∴△AEF的周长=4+5=9。
(2) $OH=\frac{1}{2}OA$，理由如下：
过点$O$作$OG ⊥ AB$于点$G$，$OQ ⊥ AC$于点$Q$。
∵$BO$平分$∠ABC$，$OH ⊥ BC$，$OG ⊥ AB$，
∴根据角平分线的性质，得$OH=OG$。
同理可得$OH=OQ$，
∴$OG=OQ$，
∴根据角平分线的判定，$AO$平分$∠BAC$，
∴$∠GAO=\frac{1}{2} ∠BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
在$Rt△AGO$中，$∠GAO=30°$，
∴$OG=\frac{1}{2}OA$，
又
∵$OG=OH$，
∴$OH=\frac{1}{2}OA$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$；(2) $\boldsymbol{OH=\frac{1}{2}OA}$
【知识点】
角平分线的性质与判定；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形的综合基础题，核心考查角平分线相关性质与判定、等腰三角形的推导以及特殊直角三角形的线段关系，其中“角平分线+平行线推导等腰三角形”是几何题的经典模型，熟练掌握该模型和角平分线的性质可快速破题。
【难度系数】
0.7
