【典例2】(教材再开发·P59“尝试·思考”拓展)
在数学兴趣小组中,同学们从书上学到了很多有趣的数学知识.其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣.根据$a^n = b$,知道$a,n$可以求$b$的值.如果知道$a,b$可以求$n$的值吗?他们为此进行了研究,规定:若$a^n = b$,那么$f(a,b)=n$.例如:$5^3 = 125$,则$f(5,125)=3$.
(1)填空:$f(2,32)=$,$f(4,64)=$;
(2)计算:$f(2,8)+f(2,64)$.

【自主解答】(1)因为$2^5=32$，$4^3=64$，
所以$f(2,32)=5$，$f(4,64)=3$；
答案:5 3
(2)$f(2,8)+f(2,64)=3+6=9$。

1.《孙子算经》中记载“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”.大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢…….文中的鸟巢共有（）

A.$9^3$个
B.$10^3$个
C.$9^4$个
D.$10^4$个

1.C $9×9×9×9=9^4$(个)。

2.(2025·清远期中)《庄子》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完.那么第7次截取后剩下的木棒有多长？

【解析】$(\dfrac{1}{2})^7=\dfrac{1}{128}$，因此第7次截取后剩下的木棒有$\dfrac{1}{128}$尺。

阅读理解
有理数的除方
小明是一个聪明而又富有想象力的孩子.学习了“有理数的乘方”后，他就使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念.规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫作除方，如$5÷5÷5$，$(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)$等，类比有理数的乘方.小明把$5÷5÷5$记作$f(3,5)$，则$f(3,5)=5÷5÷5=5×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}=\frac{1}{5}$，又如$(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)$记作$f(4,-2)$，则$f(4,-2)=(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)=(-2)×(-\frac{1}{2})×(-\frac{1}{2})×(-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$.
(1)直接写出计算结果：$f(4,-3)=$；
(2)关于“有理数的除方”，下列说法正确的是；(填序号)
①$f(6,3)=f(3,6)$；
②$f(2,a)=-1(a≠0)$；
③$f(n,a)=\frac{1}{a^{n-2}}(n为正整数,a≠0,n＞2)$.
(3)计算：$f(5,\frac{1}{3})×f(4,3)×f(5,-2)×f(6,\frac{1}{2})$.

【解析】(1)$f(4,-3)=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=1×\dfrac{1}{3}×\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$；
答案：$\dfrac{1}{9}$
(2)因为$f(6,3)=3÷3÷3÷3÷3÷3=\dfrac{1}{3^4}$，$f(3,6)=6÷6÷6=\dfrac{1}{6}$，
所以$f(6,3)≠ f(3,6)$，故①错误，不符合题意；
因为$f(2,a)=a÷ a=1(a≠0)$，故②错误，不符合题意；
因为$f(n,a)=\underbrace{a÷ a÷ a÷ \dots ÷ a}_{n个a}=1× \underbrace{\dfrac{1}{a}× \dfrac{1}{a}× \dots × \dfrac{1}{a}}_{(n-2)个\frac{1}{a}}=\dfrac{1}{a^{n-2}}$($n$为正整数，$a≠0$，$n＞2$)，故③正确，符合题意；
答案：③
(3)原式$=3^{5-2}×\dfrac{1}{3^{4-2}}×(-\dfrac{1}{2})^{5-2}×2^{6-2}$
$=27×\dfrac{1}{9}×(-\dfrac{1}{8})×16$
$=-6$。