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1. 关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（
A.频率等于概率
B.当试验次数很多时，频率稳定在概率附近
C.当试验次数很多时，概率稳定在频率附近
D.试验得到的频率与概率不可能相等
B
）。A.频率等于概率
B.当试验次数很多时，频率稳定在概率附近
C.当试验次数很多时，概率稳定在频率附近
D.试验得到的频率与概率不可能相等
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先要明确频率和概率的核心概念：概率是随机事件本身固有的、固定不变的属性，反映事件发生的可能性大小；频率是重复试验中，事件发生的次数与试验总次数的比值，会随试验次数变化产生波动。再结合用频率估计概率的原理逐一判断选项：①先判断二者是否恒等，排除A；②分清是频率还是概率会稳定在另一个附近，排除C；③举反例验证是否可能相等，排除D，最终确定正确选项。
【解析】
首先明确相关概念：概率是随机事件发生可能性大小的固定数值，不随试验次数改变；频率是重复试验中事件发生次数与试验总次数的比值，具有随机性。
对各选项逐一分析：
A选项：频率是随试验变化的波动值，概率是固定值，二者不一定相等，该选项错误；
B选项：根据用频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，该选项正确；
C选项：概率是固定不变的，不存在“稳定在频率附近”的说法，表述颠倒，该选项错误；
D选项：试验得到的频率有可能与概率相等，例如抛2次硬币恰好1次正面朝上，此时正面朝上的频率为0.5，和抛硬币正面朝上的概率相等，该选项错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.频率与概率的关系
2.用频率估计概率
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分频率的随机性和概率的确定性，掌握用频率估计概率的基本结论即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确频率和概率的核心概念：概率是随机事件本身固有的、固定不变的属性，反映事件发生的可能性大小；频率是重复试验中，事件发生的次数与试验总次数的比值，会随试验次数变化产生波动。再结合用频率估计概率的原理逐一判断选项：①先判断二者是否恒等，排除A；②分清是频率还是概率会稳定在另一个附近，排除C；③举反例验证是否可能相等，排除D，最终确定正确选项。
【解析】
首先明确相关概念：概率是随机事件发生可能性大小的固定数值，不随试验次数改变；频率是重复试验中事件发生次数与试验总次数的比值，具有随机性。
对各选项逐一分析：
A选项：频率是随试验变化的波动值，概率是固定值，二者不一定相等，该选项错误；
B选项：根据用频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，该选项正确；
C选项：概率是固定不变的，不存在“稳定在频率附近”的说法，表述颠倒，该选项错误；
D选项：试验得到的频率有可能与概率相等，例如抛2次硬币恰好1次正面朝上，此时正面朝上的频率为0.5，和抛硬币正面朝上的概率相等，该选项错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.频率与概率的关系
2.用频率估计概率
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分频率的随机性和概率的确定性，掌握用频率估计概率的基本结论即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图6-2-1所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能是(
A.袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
B.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2
D.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C
)。A.袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
B.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2
D.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先要明确：在大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近，因此我们可以先通过折线图判断频率的稳定值，再分别计算四个选项对应事件的概率，找到概率与频率稳定值最接近的选项即可。具体步骤：第一步观察折线图，确定频率的稳定范围；第二步逐一计算各选项事件的概率；第三步对比选出符合的选项。
【解析】
观察折线图可知，随着试验次数增加，该事件的频率逐渐稳定在0.16~0.17之间，即该事件的概率约为$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{6}\approx0.167$）。
逐一计算各选项事件的概率：
A选项：袋中共有$1+2=3$个球，随机取一个是黄球的概率为$\frac{2}{3}\approx0.667$，与稳定频率不符，排除；
B选项：掷质地均匀的硬币，正面向上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，与稳定频率不符，排除；
C选项：掷正六面体骰子，朝上点数为2的概率为$\frac{1}{6}\approx0.167$，与稳定频率接近，符合要求；
D选项：“石头、剪刀、布”中随机出剪刀的概率为$\frac{1}{3}\approx0.333$，与稳定频率不符，排除。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率；简单事件概率计算；频率的稳定性
【点评】
本题核心是利用频率估计概率的原理，需要学生能从折线图中提取频率稳定值的信息，同时熟练掌握简单随机事件的概率计算方法，整体难度不大，是频率估计概率类的典型基础题。
【难度系数】
0.75
解题时首先要明确：在大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近，因此我们可以先通过折线图判断频率的稳定值，再分别计算四个选项对应事件的概率，找到概率与频率稳定值最接近的选项即可。具体步骤：第一步观察折线图，确定频率的稳定范围；第二步逐一计算各选项事件的概率；第三步对比选出符合的选项。
【解析】
观察折线图可知，随着试验次数增加，该事件的频率逐渐稳定在0.16~0.17之间，即该事件的概率约为$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{6}\approx0.167$）。
逐一计算各选项事件的概率：
A选项：袋中共有$1+2=3$个球，随机取一个是黄球的概率为$\frac{2}{3}\approx0.667$，与稳定频率不符，排除；
B选项：掷质地均匀的硬币，正面向上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，与稳定频率不符，排除；
C选项：掷正六面体骰子，朝上点数为2的概率为$\frac{1}{6}\approx0.167$，与稳定频率接近，符合要求；
D选项：“石头、剪刀、布”中随机出剪刀的概率为$\frac{1}{3}\approx0.333$，与稳定频率不符，排除。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率；简单事件概率计算；频率的稳定性
【点评】
本题核心是利用频率估计概率的原理，需要学生能从折线图中提取频率稳定值的信息，同时熟练掌握简单随机事件的概率计算方法，整体难度不大，是频率估计概率类的典型基础题。
【难度系数】
0.75
3. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表6-2-1：
表6-2-1
估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是
表6-2-1
估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是
0.82
。答案
3.0.82
解析
【分析】
要估计运动员射击一次“射中9环以上”的概率，需用到“大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值”这一原理。首先观察表格中不同射击次数对应的频率：随着射击次数不断增加，频率从0.90、0.85逐渐波动，最后多次稳定在0.82，说明频率的稳定值为0.82，因此用这个稳定值估计概率即可。
【解析】
根据用频率估计概率的方法：当试验次数足够大时，事件发生的频率近似等于其发生的概率。
观察表格数据，随着射击次数逐渐增加，“射中9环以上”的频率逐渐稳定在0.82附近，因此估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为0.82。
【答案】
0.82
【知识点】
用频率估计概率；频率与概率的关系
【点评】
本题考查频率估计概率的实际应用，解题核心是找到大量重复试验下频率的稳定值，牢记频率稳定值即为概率的估计值是得分关键。
【难度系数】
0.9
要估计运动员射击一次“射中9环以上”的概率，需用到“大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值”这一原理。首先观察表格中不同射击次数对应的频率：随着射击次数不断增加，频率从0.90、0.85逐渐波动，最后多次稳定在0.82，说明频率的稳定值为0.82，因此用这个稳定值估计概率即可。
【解析】
根据用频率估计概率的方法：当试验次数足够大时，事件发生的频率近似等于其发生的概率。
观察表格数据，随着射击次数逐渐增加，“射中9环以上”的频率逐渐稳定在0.82附近，因此估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为0.82。
【答案】
0.82
【知识点】
用频率估计概率；频率与概率的关系
【点评】
本题考查频率估计概率的实际应用，解题核心是找到大量重复试验下频率的稳定值，牢记频率稳定值即为概率的估计值是得分关键。
【难度系数】
0.9
4. 在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有6个黑球。从袋中随机摸出一球，记下其颜色，称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球。经过很多次试验，得到摸出黑球的频率在0.5附近波动，由此可以估计出n的值是
12
。答案
4.12
解析
【分析】
当进行大量重复摸球试验时，摸出黑球的频率会稳定在摸出黑球的概率附近，因此可将频率0.5作为摸出黑球概率的估计值。接下来根据概率计算公式：摸出黑球的概率=黑球个数÷袋中球的总个数，把已知的黑球数6、概率0.5代入公式，即可列出关于n的方程，解方程后检验解是否符合实际意义就能得到结果。
【解析】
解：
∵大量重复试验中，摸出黑球的频率在0.5附近波动，
∴估计摸出黑球的概率为0.5。
根据概率公式列方程得：$\frac{6}{n}=0.5$
解得：$n=12$
检验：当$n=12$时，$n≠0$，且符合球的总数为正整数的实际意义，因此$n=12$是原方程的解。
【答案】
12
【知识点】
用频率估计概率；概率公式
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题关键是掌握大量重复试验下频率与概率的关系，结合概率公式列方程求解即可，求解后要注意检验解是否符合实际场景要求。
【难度系数】
0.8
当进行大量重复摸球试验时，摸出黑球的频率会稳定在摸出黑球的概率附近，因此可将频率0.5作为摸出黑球概率的估计值。接下来根据概率计算公式：摸出黑球的概率=黑球个数÷袋中球的总个数，把已知的黑球数6、概率0.5代入公式，即可列出关于n的方程，解方程后检验解是否符合实际意义就能得到结果。
【解析】
解：
∵大量重复试验中，摸出黑球的频率在0.5附近波动，
∴估计摸出黑球的概率为0.5。
根据概率公式列方程得：$\frac{6}{n}=0.5$
解得：$n=12$
检验：当$n=12$时，$n≠0$，且符合球的总数为正整数的实际意义，因此$n=12$是原方程的解。
【答案】
12
【知识点】
用频率估计概率；概率公式
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题关键是掌握大量重复试验下频率与概率的关系，结合概率公式列方程求解即可，求解后要注意检验解是否符合实际场景要求。
【难度系数】
0.8
5. 在一个不透明的盒子中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从盒子中随机摸出一球，记下颜色后放回盒子中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色……如此大量摸球试验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20％，摸出黑球的频率稳定于50％。对此试验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球试验，摸出白球的频率稳定于30％；②若从盒子中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球。其中正确的是
①②
。（填序号）答案
5.①②
解析
【分析】
解题时首先要明确：大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在某个固定值附近，这个固定值就是该事件发生的概率，且所有互斥事件的概率之和为1。我们可以先根据已知的红球、黑球的稳定频率求出白球的稳定频率，再逐一判断三个结论的正误：①利用总概率为1计算白球的频率稳定值即可判断；②比较三种球的概率大小即可判断；③明确频率是大量试验下的趋势，有限次试验的结果具有随机性，据此判断。
【解析】
①已知大量摸球试验中，摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，由于所有事件的频率之和为1，因此摸出白球的频率稳定于$1 - 20\% - 50\% = 30\%$，故①正确；
②三种球对应的概率分别为：红球20%，黑球50%，白球30%，对比可知黑球的概率最大，因此任意摸出一个球，是黑球的概率最大，故②正确；
③摸出红球的频率稳定于20%，是大量重复试验下的统计规律，仅说明摸出红球的可能性约为20%，再摸100次属于有限次试验，结果具有随机性，不一定恰好有20次摸出红球，故③错误。
综上，正确的结论是①②。
【答案】
①②
【知识点】
用频率估计概率、概率的意义
【点评】
本题重点考查频率与概率的联系与区别，解题的关键是理解“大量重复试验下频率稳定于概率”的含义，注意不能将概率值直接等同于有限次试验中事件必然发生的次数。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在某个固定值附近，这个固定值就是该事件发生的概率，且所有互斥事件的概率之和为1。我们可以先根据已知的红球、黑球的稳定频率求出白球的稳定频率，再逐一判断三个结论的正误：①利用总概率为1计算白球的频率稳定值即可判断；②比较三种球的概率大小即可判断；③明确频率是大量试验下的趋势，有限次试验的结果具有随机性，据此判断。
【解析】
①已知大量摸球试验中，摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，由于所有事件的频率之和为1，因此摸出白球的频率稳定于$1 - 20\% - 50\% = 30\%$，故①正确；
②三种球对应的概率分别为：红球20%，黑球50%，白球30%，对比可知黑球的概率最大，因此任意摸出一个球，是黑球的概率最大，故②正确；
③摸出红球的频率稳定于20%，是大量重复试验下的统计规律，仅说明摸出红球的可能性约为20%，再摸100次属于有限次试验，结果具有随机性，不一定恰好有20次摸出红球，故③错误。
综上，正确的结论是①②。
【答案】
①②
【知识点】
用频率估计概率、概率的意义
【点评】
本题重点考查频率与概率的联系与区别，解题的关键是理解“大量重复试验下频率稳定于概率”的含义，注意不能将概率值直接等同于有限次试验中事件必然发生的次数。
【难度系数】
0.7
6. 王叔叔为了与客户签订购销合同，对自己鱼塘中鱼的总数量进行了估计。第一次捞出100条，并将每条鱼做上记号放入水中，当它们完全混合于鱼群后，又捞出200条，带有记号的鱼有20条。估计王叔叔的鱼塘中有多少条鱼。
答案
6. 解:
∵捞出的200条鱼中带有记号的鱼有20条，
∴做记号的鱼被捞出的概率约为$\frac{20}{200}=0.1$，
∴池塘中总共约有$100÷0.1=1000$(条)鱼。
故估计王叔叔的鱼塘中有1 000条鱼。
∵捞出的200条鱼中带有记号的鱼有20条，
∴做记号的鱼被捞出的概率约为$\frac{20}{200}=0.1$，
∴池塘中总共约有$100÷0.1=1000$(条)鱼。
故估计王叔叔的鱼塘中有1 000条鱼。
解析
【分析】
这道题利用样本估计总体的思想估算鱼塘总鱼数，解题思路如下：首先明确鱼塘中做记号的鱼总共有100条，当记号鱼完全混合后，第二次捞出的鱼可看作随机样本，样本中带记号鱼的频率可近似等于整个鱼塘里带记号鱼占总鱼数的概率，最后用做记号的鱼的总数量除以这个概率，就能得到鱼塘的总鱼数。
【解析】
解：已知第二次捞出的200条鱼中带有记号的鱼有20条，
因此样本中带记号的鱼的频率为$\frac{20}{200}=0.1$，
根据用频率估计概率的原理，可近似认为鱼塘中带记号的鱼占总鱼数的概率为0.1，
又已知鱼塘中共有100条做了记号的鱼，
因此鱼塘中鱼的总数量约为$100÷0.1=1000$（条）。
【答案】
估计王叔叔的鱼塘中有1000条鱼。
【知识点】
1.用频率估计概率 2.样本估计总体
【点评】
本题是概率知识在实际生产中的典型应用，只要掌握“大样本下样本频率可近似代替总体概率”的核心原理，结合已知的标记总量就能快速求解。
【难度系数】
0.8
这道题利用样本估计总体的思想估算鱼塘总鱼数，解题思路如下：首先明确鱼塘中做记号的鱼总共有100条，当记号鱼完全混合后，第二次捞出的鱼可看作随机样本，样本中带记号鱼的频率可近似等于整个鱼塘里带记号鱼占总鱼数的概率，最后用做记号的鱼的总数量除以这个概率，就能得到鱼塘的总鱼数。
【解析】
解：已知第二次捞出的200条鱼中带有记号的鱼有20条，
因此样本中带记号的鱼的频率为$\frac{20}{200}=0.1$，
根据用频率估计概率的原理，可近似认为鱼塘中带记号的鱼占总鱼数的概率为0.1，
又已知鱼塘中共有100条做了记号的鱼，
因此鱼塘中鱼的总数量约为$100÷0.1=1000$（条）。
【答案】
估计王叔叔的鱼塘中有1000条鱼。
【知识点】
1.用频率估计概率 2.样本估计总体
【点评】
本题是概率知识在实际生产中的典型应用，只要掌握“大样本下样本频率可近似代替总体概率”的核心原理，结合已知的标记总量就能快速求解。
【难度系数】
0.8
