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7. 有20张背面完全相同、正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回。经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在0.2，请你估计绿色卡片的数量。
答案
7. 解:设绿色卡片有x张,由题意得，
$\frac{20-x}{20}=0.2$，
解得$x=16$。
故估计绿色卡片有16张。
$\frac{20-x}{20}=0.2$，
解得$x=16$。
故估计绿色卡片有16张。
解析
【分析】
大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在对应概率的附近，因此可以用抽到红色卡片的频率0.2估计抽到红色卡片的概率。我们可以设绿色卡片有x张，那么红色卡片的数量为(20-x)张，再结合“概率=对应事件的数量÷总数量”的公式列方程求解即可，也可以先算出红色卡片的数量，再用总卡片数减去红色卡片数得到绿色卡片的数量。
【解析】
解：设绿色卡片有x张，则红色卡片有(20-x)张。
根据大量重复试验中频率与概率的关系，可知抽到红色卡片的概率约为0.2，根据概率计算公式得：
$\frac{20-x}{20}=0.2$
方程两边同时乘20，得：$20-x=4$
解得：$x=16$
【答案】
估计绿色卡片有16张
【知识点】
用频率估计概率，概率计算，一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础类题目，解题的关键是明确大量重复试验下频率的稳定值即为事件的概率，再结合概率公式列式计算即可，考查了学生对统计概率基础概念的理解和简单应用能力。
【难度系数】
0.85
大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在对应概率的附近，因此可以用抽到红色卡片的频率0.2估计抽到红色卡片的概率。我们可以设绿色卡片有x张，那么红色卡片的数量为(20-x)张，再结合“概率=对应事件的数量÷总数量”的公式列方程求解即可，也可以先算出红色卡片的数量，再用总卡片数减去红色卡片数得到绿色卡片的数量。
【解析】
解：设绿色卡片有x张，则红色卡片有(20-x)张。
根据大量重复试验中频率与概率的关系，可知抽到红色卡片的概率约为0.2，根据概率计算公式得：
$\frac{20-x}{20}=0.2$
方程两边同时乘20，得：$20-x=4$
解得：$x=16$
【答案】
估计绿色卡片有16张
【知识点】
用频率估计概率，概率计算，一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础类题目，解题的关键是明确大量重复试验下频率的稳定值即为事件的概率，再结合概率公式列式计算即可，考查了学生对统计概率基础概念的理解和简单应用能力。
【难度系数】
0.85
8. 某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球有多少个,在不将袋中球倒出来的情况下,分小组进行摸球试验,两人一组,共20组。其中一位学生摸球,另一位学生记录所摸球的颜色,记录颜色后将球放回袋中摇匀,每一组做400次试验,汇总起来后,摸到红球的次数为6 000次。
(1)估计从袋中任意摸出一个球,恰好是红球的概率是多少；
(2)估计袋中红球有多少个。
(1)估计从袋中任意摸出一个球,恰好是红球的概率是多少；
(2)估计袋中红球有多少个。
答案
8. 解:(1)因为$20×400=8\ 000$，
所以摸到红球的频率为$\frac{6\ 000}{8\ 000}=0.75$。
因为试验次数很多，大量试验时，频率接近于理论概率，
所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75。
(2)设袋中红球有x个，根据题意得，
$\frac{x}{x+5}=0.75$,解得$x=15$。
经检验$x=15$是原方程的解。
故估计袋中红球有15个。
所以摸到红球的频率为$\frac{6\ 000}{8\ 000}=0.75$。
因为试验次数很多，大量试验时，频率接近于理论概率，
所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75。
(2)设袋中红球有x个，根据题意得，
$\frac{x}{x+5}=0.75$,解得$x=15$。
经检验$x=15$是原方程的解。
故估计袋中红球有15个。
解析
【分析】
本题解题思路清晰，分为两步推导：(1)首先计算总的摸球试验次数，用摸到红球的次数除以总试验次数得到红球出现的频率，根据大量重复试验时频率可近似等于理论概率的原理，即可得到摸出红球的概率；(2)设红球个数为未知数，结合概率公式（概率=所求情况数÷总情况数）列分式方程，求解后检验解的合理性即可得到红球的估计数量。
【解析】
(1) 先计算总摸球试验次数：$20×400=8000$（次）
摸到红球的频率为：$\frac{6000}{8000}=0.75$
本次试验次数足够多，大量重复试验时频率接近于理论概率，因此估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75。
(2) 设袋中红球有$x$个，袋中总球数为$(x+5)$个，根据概率公式列方程：
$\frac{x}{x+5}=0.75$
解方程：
$x=0.75(x+5)$
$x=0.75x+3.75$
$0.25x=3.75$
$x=15$
经检验，$x=15$时，分母$x+5=20≠0$，是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1) 0.75；(2) 15个
【知识点】
用频率估计概率；概率公式；分式方程应用
【点评】
本题结合实际摸球试验场景，考查频率与概率的关系，以及利用概率公式列方程求解未知量的能力，解题时需注意只有大量重复试验的频率才能用来估计概率，分式方程求解后要检验解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
本题解题思路清晰，分为两步推导：(1)首先计算总的摸球试验次数，用摸到红球的次数除以总试验次数得到红球出现的频率，根据大量重复试验时频率可近似等于理论概率的原理，即可得到摸出红球的概率；(2)设红球个数为未知数，结合概率公式（概率=所求情况数÷总情况数）列分式方程，求解后检验解的合理性即可得到红球的估计数量。
【解析】
(1) 先计算总摸球试验次数：$20×400=8000$（次）
摸到红球的频率为：$\frac{6000}{8000}=0.75$
本次试验次数足够多，大量重复试验时频率接近于理论概率，因此估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75。
(2) 设袋中红球有$x$个，袋中总球数为$(x+5)$个，根据概率公式列方程：
$\frac{x}{x+5}=0.75$
解方程：
$x=0.75(x+5)$
$x=0.75x+3.75$
$0.25x=3.75$
$x=15$
经检验，$x=15$时，分母$x+5=20≠0$，是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1) 0.75；(2) 15个
【知识点】
用频率估计概率；概率公式；分式方程应用
【点评】
本题结合实际摸球试验场景，考查频率与概率的关系，以及利用概率公式列方程求解未知量的能力，解题时需注意只有大量重复试验的频率才能用来估计概率，分式方程求解后要检验解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
9. 一个不透明的口袋中放着若干个蓝色幸运星和红色幸运星，这两种幸运星除颜色外没有其他任何区别。袋中的幸运星已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个幸运星，经过很多次试验发现摸到红色幸运星的频率逐渐稳定在$\frac{1}{6}$。
(1)估计摸到蓝色幸运星的概率是
(2)如果袋中原有红色幸运星7个，又放入n个红色幸运星，再经过很多次试验发现摸到红色幸运星的频率逐渐稳定在$\frac{2}{3}$，估计n的值。
9. 一个不透明的口袋中放着若干个蓝色幸运星和红色幸运星，这两种幸运星除颜色外没有其他任何区别。袋中的幸运星已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个幸运星，经过很多次试验发现摸到红色幸运星的频率逐渐稳定在$\frac{1}{6}$。
(1)估计摸到蓝色幸运星的概率是
$\frac{5}{6}$
；(2)如果袋中原有红色幸运星7个，又放入n个红色幸运星，再经过很多次试验发现摸到红色幸运星的频率逐渐稳定在$\frac{2}{3}$，估计n的值。
答案
9. 解:(1)$\frac{5}{6}$
(2)$\because7÷\frac{1}{6}=42$(个)，
∴估计袋中原有蓝色幸运星和红色幸运星共42个。
又放入n个红色幸运星，红色幸运星的频率逐渐稳定在$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{7+n}{42+n}=\frac{2}{3}$,解得$n=63$。
经检验$n=63$是原方程的解。
∴估计n的值为63。
(2)$\because7÷\frac{1}{6}=42$(个)，
∴估计袋中原有蓝色幸运星和红色幸运星共42个。
又放入n个红色幸运星，红色幸运星的频率逐渐稳定在$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{7+n}{42+n}=\frac{2}{3}$,解得$n=63$。
经检验$n=63$是原方程的解。
∴估计n的值为63。
解析
【分析】
(1) 口袋中只有红色和蓝色两种幸运星，摸到红色和蓝色幸运星是对立事件，二者概率之和为1，已知摸到红色幸运星的概率可直接求出摸到蓝色的概率；(2) 当试验次数足够多时，频率稳定值等于概率，先根据原有红色幸运星的数量和摸到红色的概率求出袋中幸运星的总数量，再放入n个红色幸运星后，结合新的摸到红色的概率列出分式方程，求解后检验即可得到n的值。
【解析】
(1) 由于摸到红色幸运星和蓝色幸运星是互斥且必有一个发生的事件，因此摸到蓝色幸运星的概率为：
$1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
(2) 首先根据原有红色幸运星数量和对应概率计算总数量：
原有红色幸运星7个，摸到红色的概率为$\frac{1}{6}$，因此袋中原有幸运星总数为 $7÷\frac{1}{6}=42$（个）
放入n个红色幸运星后，红色幸运星总数为$(7+n)$个，袋中幸运星总数量为$(42+n)$个，此时摸到红色幸运星的概率为$\frac{2}{3}$，可列方程：
$\frac{7+n}{42+n}=\frac{2}{3}$
交叉相乘得：$3(7+n)=2(42+n)$
展开计算：$21+3n=84+2n$
移项解得：$n=63$
检验：当$n=63$时，分母$42+n=105≠0$，因此$n=63$是原方程的解。
【答案】
(1) $\frac{5}{6}$；(2) $63$
【知识点】
用频率估计概率，概率的基本性质，分式方程应用
【点评】
本题结合实际试验场景考查了概率的相关计算，解题核心是明确大量重复试验下频率的稳定值即为事件发生的概率，再结合概率计算公式列出等式求解，属于概率章节的常规应用题型。
【难度系数】
0.8
(1) 口袋中只有红色和蓝色两种幸运星，摸到红色和蓝色幸运星是对立事件，二者概率之和为1，已知摸到红色幸运星的概率可直接求出摸到蓝色的概率；(2) 当试验次数足够多时，频率稳定值等于概率，先根据原有红色幸运星的数量和摸到红色的概率求出袋中幸运星的总数量，再放入n个红色幸运星后，结合新的摸到红色的概率列出分式方程，求解后检验即可得到n的值。
【解析】
(1) 由于摸到红色幸运星和蓝色幸运星是互斥且必有一个发生的事件，因此摸到蓝色幸运星的概率为：
$1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
(2) 首先根据原有红色幸运星数量和对应概率计算总数量：
原有红色幸运星7个，摸到红色的概率为$\frac{1}{6}$，因此袋中原有幸运星总数为 $7÷\frac{1}{6}=42$（个）
放入n个红色幸运星后，红色幸运星总数为$(7+n)$个，袋中幸运星总数量为$(42+n)$个，此时摸到红色幸运星的概率为$\frac{2}{3}$，可列方程：
$\frac{7+n}{42+n}=\frac{2}{3}$
交叉相乘得：$3(7+n)=2(42+n)$
展开计算：$21+3n=84+2n$
移项解得：$n=63$
检验：当$n=63$时，分母$42+n=105≠0$，因此$n=63$是原方程的解。
【答案】
(1) $\frac{5}{6}$；(2) $63$
【知识点】
用频率估计概率，概率的基本性质，分式方程应用
【点评】
本题结合实际试验场景考查了概率的相关计算，解题核心是明确大量重复试验下频率的稳定值即为事件发生的概率，再结合概率计算公式列出等式求解，属于概率章节的常规应用题型。
【难度系数】
0.8
10. 如图6-2-2，两个转盘A，B都被分成了3个全等的扇形，在每一个扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘A，B，两个转盘停止转动后观察两个指针所指扇形内的数（若指针停在扇形的边线上，就再转动一次转盘）。
（1）用列表法（或画树状图法）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数的所有可能结果。
（2）小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数及频率如表6-2-2：
表6-2-2
如果试验继续进行下去，根据表6-2-2中数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率。
（3）根据（2），若0＜x＜y，试求出x与y的值。
图6-2-2
（1）用列表法（或画树状图法）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数的所有可能结果。
（2）小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数及频率如表6-2-2：
表6-2-2
如果试验继续进行下去，根据表6-2-2中数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率。
（3）根据（2），若0＜x＜y，试求出x与y的值。
图6-2-2
答案
10. 解:(1)列表如下：
答表6-2-1
| A | B | | |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| | y | 4 | 5 |
| x | $(x,y)$ | $(x,4)$ | $(x,5)$ |
| 2 | $(2,y)$ | $(2,4)$ | $(2,5)$ |
| 3 | $(3,y)$ | $(3,4)$ | $(3,5)$ |
(2)由于出现“和为7”的频率稳定在0.33附近，故估计出现“和为7”的概率为0.33。
(3)出现“和为7”的概率约为0.33，答表6-2-1中共9种等可能的结果，和为7的结果有$9×0.33\approx3$(种)，因为$(2,5),(3,4)$和为7，所以$(x,5),(x,4),(x,y),(2,y),(3,y)$中有一组和为7。
又$0＜x＜y$，所以
①$x+5=7,x=2,y=3,6,7,8,9,\dots$
②$x+4=7,x=3,y=6,7,8,9,\dots$
③$x+y=7,x=1,y=6;$
④$2+y=7,y=5,x=4,1;$
⑤$3+y=7,y=4,x=1。$
由于在每一个扇形内均标有不同的自然数，故只有③成立。
答表6-2-1
| A | B | | |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| | y | 4 | 5 |
| x | $(x,y)$ | $(x,4)$ | $(x,5)$ |
| 2 | $(2,y)$ | $(2,4)$ | $(2,5)$ |
| 3 | $(3,y)$ | $(3,4)$ | $(3,5)$ |
(2)由于出现“和为7”的频率稳定在0.33附近，故估计出现“和为7”的概率为0.33。
(3)出现“和为7”的概率约为0.33，答表6-2-1中共9种等可能的结果，和为7的结果有$9×0.33\approx3$(种)，因为$(2,5),(3,4)$和为7，所以$(x,5),(x,4),(x,y),(2,y),(3,y)$中有一组和为7。
又$0＜x＜y$，所以
①$x+5=7,x=2,y=3,6,7,8,9,\dots$
②$x+4=7,x=3,y=6,7,8,9,\dots$
③$x+y=7,x=1,y=6;$
④$2+y=7,y=5,x=4,1;$
⑤$3+y=7,y=4,x=1。$
由于在每一个扇形内均标有不同的自然数，故只有③成立。
解析
【分析】
（1）第一问需列出两个转盘指针所指数字的所有等可能结果，两个转盘各有3种等可能结果，选择列表法，将转盘A的数字x、2、3作为行，转盘B的数字y、4、5作为列，依次写出所有组合即可。
（2）第二问考查用频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率的变化趋势，最终稳定在0.33左右，即可估算对应概率。
（3）第三问结合概率计算公式，总共有9种等可能结果，结合第二问的概率可算出和为7的情况约有3种。先找出已有的和为7的组合：2+5=7、3+4=7，共2种，因此剩余5种组合中还需1种和为7，再结合0＜x＜y、所有数字为不同自然数的限定条件，逐一排查符合条件的x、y值即可。
【解析】
（1）列表如下：
| A\B | y | 4 | 5 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| x | (x,y) | (x,4) | (x,5) |
| 2 | (2,y) | (2,4) | (2,5) |
| 3 | (3,y) | (3,4) | (3,5) |
共9种等可能的结果。
（2）随着试验次数增加，出现“和为7”的频率稳定在0.33附近，根据频率估计概率的原理，估计出现“和为7”的概率为0.33。
（3）总共有9种等可能的结果，结合（2）的概率，和为7的结果数约为$9×0.33\approx3$种。
已知现有2种和为7的组合：$2+5=7$、$3+4=7$，因此剩余的$(x,y)、(x,4)、(x,5)、(2,y)、(3,y)$中仅有1种和为7，结合$0＜x＜y$、所有数字为不同自然数的条件逐一分析：
① 若$x+5=7$，得$x=2$，与转盘A已有数字2重复，不符合要求；
② 若$x+4=7$，得$x=3$，与转盘A已有数字3重复，不符合要求；
③ 若$x+y=7$，结合$0＜x＜y$且x、y与2、3、4、5均不同，得$x=1,y=6$，符合要求；
④ 若$2+y=7$，得$y=5$，与转盘B已有数字5重复，不符合要求；
⑤ 若$3+y=7$，得$y=4$，与转盘B已有数字4重复，不符合要求。
综上仅$x=1,y=6$符合条件。
【答案】
（1）所有可能结果见上述列表；
（2）估计出现“和为7”的概率为$\boldsymbol{0.33}$；
（3）$\boldsymbol{x=1}$，$\boldsymbol{y=6}$。
【知识点】
列表法列举事件，频率估计概率，概率公式应用
【点评】
本题综合考查概率相关知识，前两问为基础考点，第三问需要结合概率值推导符合要求的事件数，再结合限定条件筛选整数解，解题时要注意“所有数字为不同自然数”“$0＜x＜y$”等隐含条件，避免多解错解。
【难度系数】
0.55
（1）第一问需列出两个转盘指针所指数字的所有等可能结果，两个转盘各有3种等可能结果，选择列表法，将转盘A的数字x、2、3作为行，转盘B的数字y、4、5作为列，依次写出所有组合即可。
（2）第二问考查用频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率的变化趋势，最终稳定在0.33左右，即可估算对应概率。
（3）第三问结合概率计算公式，总共有9种等可能结果，结合第二问的概率可算出和为7的情况约有3种。先找出已有的和为7的组合：2+5=7、3+4=7，共2种，因此剩余5种组合中还需1种和为7，再结合0＜x＜y、所有数字为不同自然数的限定条件，逐一排查符合条件的x、y值即可。
【解析】
（1）列表如下：
| A\B | y | 4 | 5 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| x | (x,y) | (x,4) | (x,5) |
| 2 | (2,y) | (2,4) | (2,5) |
| 3 | (3,y) | (3,4) | (3,5) |
共9种等可能的结果。
（2）随着试验次数增加，出现“和为7”的频率稳定在0.33附近，根据频率估计概率的原理，估计出现“和为7”的概率为0.33。
（3）总共有9种等可能的结果，结合（2）的概率，和为7的结果数约为$9×0.33\approx3$种。
已知现有2种和为7的组合：$2+5=7$、$3+4=7$，因此剩余的$(x,y)、(x,4)、(x,5)、(2,y)、(3,y)$中仅有1种和为7，结合$0＜x＜y$、所有数字为不同自然数的条件逐一分析：
① 若$x+5=7$，得$x=2$，与转盘A已有数字2重复，不符合要求；
② 若$x+4=7$，得$x=3$，与转盘A已有数字3重复，不符合要求；
③ 若$x+y=7$，结合$0＜x＜y$且x、y与2、3、4、5均不同，得$x=1,y=6$，符合要求；
④ 若$2+y=7$，得$y=5$，与转盘B已有数字5重复，不符合要求；
⑤ 若$3+y=7$，得$y=4$，与转盘B已有数字4重复，不符合要求。
综上仅$x=1,y=6$符合条件。
【答案】
（1）所有可能结果见上述列表；
（2）估计出现“和为7”的概率为$\boldsymbol{0.33}$；
（3）$\boldsymbol{x=1}$，$\boldsymbol{y=6}$。
【知识点】
列表法列举事件，频率估计概率，概率公式应用
【点评】
本题综合考查概率相关知识，前两问为基础考点，第三问需要结合概率值推导符合要求的事件数，再结合限定条件筛选整数解，解题时要注意“所有数字为不同自然数”“$0＜x＜y$”等隐含条件，避免多解错解。
【难度系数】
0.55
