1. （2026·杭州期中）如图①，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=9\ \mathrm{cm}$，$AC=12\ \mathrm{cm}$，$AB=15\ \mathrm{cm}$，现有一动点$P$，从点$A$出发，沿着三角形的边$AC\rightarrow CB\rightarrow BA$运动，回到点$A$停止，速度为$3\ \mathrm{cm/s}$，设运动时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1) 如图①，当$t=$时，$△ APC$的面积等于$△ ABC$面积的一半.
(2) 如图②，在$△ DEF$中，$∠ E=90°$，$DE=4\ \mathrm{cm}$，$DF=5\ \mathrm{cm}$，$∠ D=∠ A$. 在$△ ABC$的边上，若另外有一个动点$Q$，与点$P$同时从点$A$出发，沿着边$AB\rightarrow BC\rightarrow CA$运动，回到点$A$停止. 在两点运动过程中的某一时刻，恰好$△ APQ≌△ DEF$，求点$Q$的运动速度.

1.(1) 5.5或9.5 解析:
∵ 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=9 cm,AC=12 cm,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC · BC=54\ \mathrm{cm^2}$,
∴ $S_{△APC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=27\ \mathrm{cm^2}$.分类讨论:①当点 P 在 AC 上时,△APC 不存在;②当点 P 在 CB 上时,此时 CP = (3t-12) cm,如图①,,
∴ $S_{△APC}=\frac{1}{2}CP · AC=\frac{1}{2}(3t-12)×12=27$,
∴ t=5.5;
③当点 P 在 BA 上时,此时 BP = (3t-12-9) cm,如图②,
∵ △APC 的面积等于△ABC 面积的一半,
∴ $AP=BP=\frac{1}{2}AB$,
∴ $3t-12-9=\frac{1}{2}×15$,
∴ t=9.5.综上可知,当 t=5.5 或 t=9.5 时,△APC 的面积等于△ABC 面积的一半.
(2)
∵ △APQ≌△DEF,
∴ 只存在两种情况:①当点 P 位于 AC 上,点 Q 位于 AB 上时;②当点 Q 位于 AC 上,点 P 位于 AB 上时.设点 Q 的运动速度为 x cm/s,①当点 P 位于 AC 上,点 Q 位于 AB 上时,此时 AP=3t cm,AQ=xt cm,如图③,,
∵ △APQ≌△DEF,
∴ AP=DE=4 cm,AQ=DF=5 cm,
∴ 3t=4,xt=5,解得 $t=\frac{4}{3}$,$x=\frac{15}{4}$,
∴ 此时点 Q 的运动速度为$\frac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$;
②当点 Q 位于 AC 上,点 P 位于 AB 上时,此时 AP=[15-(3t-12-9)]=(36-3t) cm,AQ=[12-(xt-15-9)]=(36-xt) cm,如图④,
∵ △APQ≌△DEF,
∴ AP=DE=4 cm,AQ=DF=5 cm,
∴ 36-3t=4,36-xt=5,解得 $t=\frac{32}{3}$,$x=\frac{93}{32}$,
∴ 此时点 Q 的运动速度为$\frac{93}{32}\ \mathrm{cm/s}$.综上,点 Q 的运动速度为$\frac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$或$\frac{93}{32}\ \mathrm{cm/s}$.

2. （2026·宜春期中）如图，在$△ ABC$中，$BC=5$，高$AD$，$BE$相交于点$O$，$BD=2$，且$AE=BE$。
(1) 请证明$△ AOE ≌ △ BCE$。
(2) 动点$P$从点$O$出发，沿线段$OA$以每秒1个单位长度的速度向终点$A$运动，动点$Q$从点$B$出发，沿射线$BC$以每秒4个单位长度的速度运动，$P$，$Q$两点同时出发，当点$P$到达点$A$时，$P$，$Q$两点同时停止运动。设点$P$的运动时间为$t$秒，当$△ AOQ$的面积为3时，求$t$的值。
(3) 在(2)的条件下，点$F$是直线$AC$上的一点，且$CF=BO$。当以点$B$，$O$，$P$为顶点的三角形与以点$F$，$C$，$Q$为顶点的三角形全等时，求$t$的值。

2.(1)
∵ AD 是高,
∴ ∠ADC=90°.
∵ BE 是高,
∴ ∠AEB=∠BEC=90°,
∴ ∠EAO+∠ACD=90°,∠EBC+∠ECB=90°,
∴ ∠EAO=∠EBC.在△AOE 和△BCE 中,$\begin{cases} ∠EAO=∠EBC,\\ AE=BE,\\ ∠AEO=∠BEC, \end{cases}$
∴ △AOE≌△BCE(ASA).
(2) 由(1)知△AOE≌△BCE(ASA),
∴ OA=BC=5.
∵ BD=2,
∴ CD=3.由题意知 OP=t,BQ=4t.①当点 Q 在线段 BD 上时,QD=2-4t,
∴ $S_{△AOQ}=\frac{1}{2}×OA · QD=\frac{1}{2}×5×(2-4t)=3$,解得 $t=\frac{1}{5}$;②当点 Q 在 BD 延长线上时,DQ=4t-2,
∴ $S_{△AOQ}=\frac{1}{2}×OA · QD=\frac{1}{2}×5×(4t-2)=3$,解得 $t=\frac{4}{5}$.综上,当△AOQ 的面积为3时,t 的值为$\frac{1}{5}$或$\frac{4}{5}$.
(3) ①如图①,,
∵ △AOE≌△BCE,
∴ ∠AOE=∠BCE,
∴ ∠POB=∠QCF.当 OP=CQ 时,
∵ OB=CF,∠POB=∠QCF,
∴ △BOP≌△FCQ(SAS).
∴ CQ=OP,
∴ 5-4t=t,解得 t=1.
②如图②,,
∵ △AOE≌△BCE,
∴ ∠AOE=∠BCE,
∴ ∠POB=∠QCF.当 OP=CQ 时,
∵ OB=CF,∠POB=∠QCF,
∴ △BOP≌△FCQ(SAS),
∴ CQ=OP,
∴ 4t-5=t,解得 $t=\frac{5}{3}$.综上所述,t=1 或 $\frac{5}{3}$时,以点 B,O,P 为顶点的三角形与以点 F,C,Q 为顶点的三角形全等.