1. 如图,在平面直角坐标系中,长方形ABCD的四条边与两条坐标轴平行,已知点$A(-1,2)$,点$C(1,-1)$.点P从点A出发,沿长方形的边顺时针运动,速度为每秒2个单位长度;点Q从点A出发,沿长方形的边逆时针运动,速度为每秒3个单位长度.记P,Q在长方形边上第一次相遇时的点为$M_1$,第二次相遇时的点为$M_2$,…,则$M_{499}$的坐标为 ()

A.$(1,0)$
B.$(-1,0)$
C.$(1,2)$
D.$(0,-1)$

1. D

2. 如图，弹性小球从点$P(0,3)$出发，沿图中所示方向运动，每当小球碰到长方形$OABC$的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时，记为点$P_1$，第2次碰到长方形的边时，记为点$P_2$，…，第$n$次碰到长方形的边时，记为点$P_n$，则点$P_5$的坐标是；点$P_{999}$的坐标是。

2. $(1,4)\ \ (8,3)$

3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(-3,0)$，$B(0,4)$，对$△ OAB$连续作旋转变换，依次得到$△ _{1}$，$△ _{2}$，$△ _{3}$，$△ _{4}$，…，那么$△ _{20}$的直角顶点的坐标为。

3. $(\dfrac{396}{5},\dfrac{12}{5})$
解析:
∵ A(-3,0),B(0,4),
∴ OA=3,OB=4,
∴ AB= $\sqrt{OA^2+OB^2}$ = 5,
由旋转得 $O_1A_2=OA=3,O_1B_1=OB=4,A_2B_1=AB=5.$
∵ $S_{△O_1A_2B_1}= \dfrac{1}{2}O_1D · A_2B_1 = \dfrac{1}{2}O_1A_2 · O_1B_1$ ,
∴ $O_1D = \dfrac{12}{5}$ ,
∴ $B_1D = \sqrt{{O_1B_1}^2-{O_1D}^2} = \dfrac{16}{5}$ ,
∴ $OD=OB_1+B_1D=\dfrac{36}{5}.$
∵ 第一次旋转变换后直角顶点坐标为(0,0),
∴ 第二次旋转变换后直角顶点坐标为 $(\dfrac{36}{5},\dfrac{12}{5})$ ,第三次旋转变换后直角顶点坐标为(12,0),第四次旋转变换后直角顶点坐标为(12,0),第五次旋转变换后直角顶点坐标为 $(\dfrac{96}{5},\dfrac{12}{5})$ ,…,
∴ 由图可知,每三个三角形为一个循环组依次循环.
∵ 20÷3 = 6……2,
∴ $△_{20}$ 的直角顶点是第6个循环组后第二个三角形的直角顶点.
∵ 一个循环组横坐标前进的长度为4+5+3 = 12,
∴ 6×12+$\dfrac{36}{5}$=$\dfrac{396}{5}$,
∴ $△_{20}$ 的直角顶点的坐标为 $(\dfrac{396}{5},\dfrac{12}{5})$ .

4. 在平面直角坐标系$xOy$中，对于点$P(x,y)$，我们把$P_1(y-1,-x-1)$叫作点$P$的友好点，已知点$A_1$的友好点为$A_2$，点$A_2$的友好点为$A_3$，点$A_3$的友好点为$A_4$……这样依次得到点$A_n$（$n$为正整数）。
(1)若点$A_1$的坐标为$(2,1)$，则点$A_3$的坐标为，点$A_{100}$的坐标为。
(2)若点$A_{100}$的坐标为$(-3,2)$，设点$A_1(x,y)$，求$x+y$的值。

4. (1)$(-4,-1)\ \ (-2,3)$
解析:观察发现规律:点$A_1(2,1),A_2(0,-3),A_3(-4,-1),A_4(-2,3),A_5(2,1),\dots,\therefore A_{4n+1}(2,1),A_{4n+2}(0,-3),A_{4n+3}(-4,-1),A_{4n+4}(-2,3)$($n$ 为自然数).
∵ 100=25×4,
∴ 点 $A_{100}$ 的坐标为 $(-2,3)$.
(2)
∵ 点 $A_{100}$ 的坐标为 $(-3,2)$ ,
∴ $A_{101}(1,2)$ ,$A_1(1,2)$ ,
∴ $x+y=3$.